1、sect41 单因素方差分析4.1 单因素方差分析单因变量的单因素方差分析主要解决多于两个总体样本或变量间均值的比较问题。是一种对多个（大于两个）总体样本的均值是否存在显著差异的检验方法。其目的也是对不同的总体的数据的均值之间的差异是否显著进行检验。单因素方差分析的应用范围很广，涉及到工业、农业、商业、医学、社会学等多个方面。 单因素方差分析的应用条件：在不同的水平（因素变量取不同值）下，各总体应当服从方差相等的正态分布。例4，某企业需要一种零件，现有三个不同的地区的企业生产的同种零件可供选择，为了比较这三个零件的强度是否相同，每个地区的企业抽出6件产品进行强度测试，其值如表2.6所示。假设每
2、个企业零件的强度值服从正态分布，试检验这三个地区企业的零件强度是否存在显著差异。解：首先建立假设H0：三个地区的零件强度无显著差异；H1：三个地区的零件强度有显著差异。然后根据表2.6中数据，建立数据文件SY-6并进行单因素方差（One-Way ANOVA）分析。具体操作过程如下：表2.6 样本零件强度值 单位：百公斤123111611089298103853100118994115106735831079761051161021、单击Analyze Compare Means One-Way ANOVA，打开 One-Way ANOVA对话框。 图 2.7 单因素方差主对话框2、从左框中选择
3、因变量”零件强度”进入Dependent list框内，选择因素变量”地区”进入Factor框内。点击OK就可以得到方差分析表2.7。表2.7 ANOVA 方差分析表 百公斤 方差来源平方和Sum of Squares自由度Df均方Mean SquareF值P值Sig.Between Groups 组间1125.4442562.7225.591.015Within Groups 组内1509.66715100.644Total 总和2635.11117表2.7是方差分析表，由于F统计量值的P值明显小于显著性水平0.05，故拒绝假设H0，认为这三个地区的零件强度有显著差异。如果需要对各地区间的零
4、件强度进行进一步的比较和分析，可以通过按纽Option选项，contrast对照比较，Post Hoc多重比较去实现。3、单击Option按纽，打开Option对话框如图2.8所示：在Option选项中选择输出项。主要有不同水平下样本方差的齐性检验，缺失值的处理方式及均值的图形。 图2.8 单因素方差分析 Options 对话框本例中选择Homogeneity of variance test 进行不同水平间方差齐性的检验以及Descriptive 基本统计描述。在Missing Value栏中选择系统默认项。完成所有选择后返回主对话框，然后单击OK，就可以得到三个地区零件强度分析表2.8。表
5、2.8（a） Descriptives基本统计描述 NMeanStd. DeviationStd. Error95% Confidence Interval for MeanMinimumMaximum Lower BoundUpper Bound A16102.8312.2545.00389.97115.6983116A26110.005.8992.408103.81116.19103118A3690.8310.8154.41579.48102.1873102Total18101.2212.4502.93595.03107.4173118 表2.8（b）Test of Homogeneity
6、 of Variances方差齐性检验百公斤 Levene Statisticdf1df2Sig.1.203215.328从基本统计分析表2.8（a）可以得到均值、标准差等数据相应的统计特征值。从表2.8（b）中的统计检验可以得出，因素变量的各水平间的方差是没有显著差异的。4、Contrasts按纽可以用来进一步分析随着控制变量水平的变化，观测值变化的总体趋势以及进一步比较任意指定水平间的均值差异是否显著。单击Contrasts按纽，打开One-Way ANOVA：Contrasts对话框.见图2.9.图2.9 单因素方差分析 Contrasts对话框如果要对组间平方和进行趋势成分检验，选中P
7、olynomial多项式复选项，选中后激活Degree参数框，在Degree框中选择趋势检验多项式的阶数，有最高次数可达5 次。系统将给出指定阶数和低于指定阶次各阶次的自由度、F值和F检验的概率值。在Contrast栏，指定需要对照比较两个水平的均值。在Coefficients 框中输入一个系数，单击Add按纽，系数就进入到Coefficients 框中。重复上述，依次输入各组均值的系数。注意系数的和应当等于0。如；图2.9中就是指第一个水平与第三个水平的均值差比较。5、如果需要将水平间两两比较，可以单击Post Hoc 按纽，打开多重比较对话框。如图2.10 所示：在该对话框中列出了二十种多
8、重比较检验，涉及到许多的数理统计方法，在实际中只选用其中常用的方法即可。对话框下部的Significance level表示显著性水平，默认值是0.05，也可以根据需要重新输入其它值。 如果满足在水平间方差相等的条件，常用LSD（least-significant difference最小显著性差异法）,表示用 t 检验完成各组均值间的配对比较。 当方差不等的情况下，可以选择Tamhanes T2, 用t检验进行各组均值间的配对比较。图2.10 单因素方差分析 PHC 对话框选择多重比较方式后，点击OK，得到输出结果表2.9。表2.9 Multiple Comparisons多重比较Depen
9、dent Variable: 百公斤 LSD (I) 地区(J) 地区Mean Difference (I-J)Std. ErrorSig.95% Confidence IntervalLower BoundUpper BoundA1A2-7.175.792.235-19.515.18A312.005.792.056-.3524.35A2A17.175.792.235-5.1819.51A319.17(*)5.792.0056.8231.51A3A1-12.005.792.056-24.35.35A2-19.17(*)5.792.005-31.51-6.82* The mean differe
10、nce is significant at the .05 level.从表2.8中可以看出，地区2与地区3之间的差异是非常显著的，它们均值差的检验的尾概率为0.005，明显小于显著性水平0.05。4.2 双因素方差（Univariate）分析过程单因变量的双因素方差分析是对观察的现象（因变量）受两个因素或变量的影响进行分析，检验不同水平组合之间对因变量的影响是否显著。双因素方差分析的应用范围很广，如粮食产量受到气候、温度因素的影响；某生物产品的生产过程不仅受催化剂多少的影响、还受温度高低的影响等，甚至两因素变量之间的交互作用对因变量也有一定的影响。要分清楚哪个因素的影响作用比较大，就可以应用
11、双因素方差分析的方法来解决。 双因素方差分析应用条件：因变量和协变量必须是数值型变量，且因变量来自或近似来自正态总体。因素变量是分类变量，变量可以是数值型或字符型的。各水平下的总体假设服从正态分布，而且假设各水平下的方差是相等的。双因素方差分析过程可以分析出每一个因素的作用；各因素之间的交互作用；检验各总体间方差是否相等；还能够对因素的各水平间均值差异进行比较等。例5：表2.10是某商品S在不同地区和不同时期的销售量表。已知数据服从正态分布，则要检验地区因素及时间因素对销售量的影响是否显著。 表2.10 某商品S销售量表 单位：千件1234516.514.213.42.46.221.87.19
12、.41.54.833.610.87.21.74.943.78.98.62.34.657.612.67.52.85.2由于销售量受地区和时间两个因素的影响，这是一个双因素方差分析的问题，根据上表建立数据文件SY-7，具体分析的步骤如下：1、单击Analyze General linear Model Univariate，打开Univariate主对话框。如图2.11所示：图2.11 双因素方差分析对话框2、选择要分析的变量”销售量”进入Dependent Variable 框中，选择因素变量”地区”和”时期”进入Fixed Factor框中。3、单击Model按纽选择分析模型，得到Model对
13、话框。如图2.12所示：在Specify框中，指定模型类型。Full Factorial 选项为系统默认项，建立全模型，全模型中包括因素之间的交互作用。如果选择分析两个因素的交互作用，则必须在每种水平组合下，取得两个以上的实验数据，才能实现两个因素的交互作用的分析结果。如果不考虑因素间的交互作用时，应当选择自定义模型。图2.12 Univariate：Model对话框Custom选项为自定义模型，本例选择此项并激活下面的各项操作。先从左边框中选择因素变量进入Model框中，然后选择效应类型。一般不考虑交互作用时，选择主效应Main，考虑交互作用时，选择交互作用Interaction。可以通过单
14、击Build Term下面的小菜单完成，本例中选择主效应。最后在Sum of Square 中选择分解平方和的方法后返回在主对话框。一般选取默认项Type。单击OK就可以得到相应的双因素方差分析表2.11.表2.11 销售量的双因素方差分析检验表 Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: 商品S（千件） SourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected Model289.717(a)836.21514.679.000Intercept1015.06011015.060
15、411.438.000地区247.218461.80525.052.000时期42.498410.6254.307.015Error39.474162.467 Total1344.25025 Corrected Total329.19024 a R Squared = .880 (Adjusted R Squared = .820)表中用黑体字部分是一般统计学原理书中给出的双因素方差分析表。从表中数据可以看出，F值对应概率P值都小于显著性水平0.05，这说明地区和时期对销售量的影响都是显著的。4、如果需要进行特定的两水平间的均值比较，可单击Contrast比较按纽，打开Contrast对话框如
16、图2.13。在Factor框中显示所有在主对话框中选择的因素变量，括号中显示的是当前的比较方法，点击选中因素变量，可以改变均值的比较方法。图2.13 Univariate：Contrasts 对话框 Change Contrast栏中列出对比方法。在小菜单中供选择的方法依次是：None 不进行均数比较；Deviation 以观测量均值为标准进行比较；Simple 以第一个或最后一个水平的观察值均值为标准；Difference 各水平上观察值均值与前一个水平的均值进行比较；Hermert 各水平上观察值与最后一个水平的均值比较。选择了比较方法后，再点击Change按纽确定，将选中的比较方法显示在
17、选中的因素变量后的括号内。然后返回主对话框。图2.14 Univariate ：Profile Plots对话框5、如果需要进行图形展示，可单击Plots按纽，打开图形对话框如图2.14所示。选择作均值轮廓图（Profile)的参数。（1）在Factor框中选择因素变量进入横坐标Horizontal Axis框内，然后单击add按纽，可以得到该因素不同水平的因变量均值的分布。（2）如果要了解两个因素变量的交互作用，将一个因素变量送入横坐标后，将另一个因素变量送入Separate Lines分线框中，然后单击add按纽。就可以输出反映两个因素变量的交互图。本例中选择因素A为横坐标。6、如需要将因
18、素A各水平间均值进行两两比较，单击Post Hoc按纽，打开Post Hoc Multiple多重比较对话框如图2.15所示。从Factor框中选择因素变量进入Post Hoc Test for框中，然后选择多重比较方法。本例中各组方差相等，选择LSD方法。图2.15 Univariate：Post Hoc多重比较对话框7、单击Save 按纽，打开保存对话框，如图2.16所示。选择需要保存的变量。 图2.16 Univariate ：Save对话框 Predicted Value 预测值栏，选择此栏系统将给出根据模型计算的有关预测值的选择项。 Diagnostics 诊断异常值栏，有库克距离和
19、杠杆值（leverage value）。 Save to New File 保存新文件栏 Residual 残差栏，有非标准化和标准化残差、学生化和剔除残差等。本例中不作选择。8、单击Options按纽，打开Univariate：Options对话框，从中选择需要输出的显著性水平，默认值为0.05。本例中不作选择。在进行所有的选择后，单击OK，就可以得到输出结果。由多重比较LSD表中得到不同地区销售量的比较表2.12。 表2.12 Multiple Comparisons多重比较表Dependent Variable: 商品S LSD (I) 因素A(J) 因素AMean Difference
20、 (I-J)均值Ai-均值AjStd. Error标准误Sig.P值95% Confidence Interval95%的置信区间 Lower BoundUpper BoundA1A2-6.0800(*).99340.000-8.1859-3.9741A3-4.5800(*).99340.000-6.6859-2.4741A42.5000(*).99340.023.39414.6059A5-.5000.99340.622-2.60591.6059A2A16.0800(*).99340.0003.97418.1859A31.5000.99340.151-.60593.6059A48.5800(*
21、).99340.0006.474110.6859A55.5800(*).99340.0003.47417.6859A3A14.5800(*).99340.0002.47416.6859A2-1.5000.99340.151-3.6059.6059A47.0800(*).99340.0004.97419.1859A54.0800(*).99340.0011.97416.1859A4A1-2.5000(*).99340.023-4.6059-.3941A2-8.5800(*).99340.000-10.6859-6.4741A3-7.0800(*).99340.000-9.1859-4.9741A
22、5-3.0000(*).99340.008-5.1059-.8941A5A1.5000.99340.622-1.60592.6059A2-5.5800(*).99340.000-7.6859-3.4741A3-4.0800(*).99340.001-6.1859-1.9741A43.0000(*).99340.008.89415.1059Based on observed means.* The mean difference is significant at the .05 level.从表2.12中可以看到地区之间的差异比较结果，如A1与A2，A1与A3的差异就比较大，而A1和A5之间的
23、没有显著差异。 图2.17 因素A与因素B的交互作用图由图2.17可以看出，两个因素变量地区和时期的折线之间无交叉，因此两个因素之间基本上没有交互作用。实验练习题二1、为了比较两种材料的质量，选择15台不同设备对这两种材料进行特别处理，假设未处理前两种材料的指标数据均为10，一星期后经测量得到两种材料的指标数据如下：试根据下面的数据检验两种材料的质量有无显著差异？材料A7.67.08.38.25.29.37.98.57.87.56.18.96.19.49.1材料B8.06.48.87.96.89.16.37.5706.54.47.74.29.49.12、下面给出的是两个大文学家马克.吐温的8篇
24、小品文及斯诺特格拉斯的10篇小品文中由3个字母组成的词的比例。马克吐温0.2250.2620.2170.2400.2300.2290.2350.217斯诺特格拉斯0.2090.2050.1960.2100.2020.2070.2240.2230.2200.201设两组数据分别来自正态总体，试检验两位作家写的小品文稿中包含由3 个字母组成的词的比例是否有显著的差异？并且检验两组数据的方差是否相等？3、现有甲、乙、丙3家企业生产同一种型号电池，为评比其质量，从每个生产企业各随机抽取12只进行寿命测试，数据如下表所示：工厂 寿 命 （h）甲乙丙40 48 38 42 45 43 42 39 48 4
25、4 47 4326 31 30 34 34 35 29 28 37 32 37 3539 41 40 42 41 42 47 50 43 50 48 43试在显著性水平0.05下，检验三企业生产的电池的平均寿命1、2、3有无显著差异，并求1-2，1-3，2-3的95置信区间。4、下表中给出了某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下的得率，浓度（）温度（）1024385221410111113910124971087116106511131412131410假设在诸水平的搭配下的总体服从正态分布且方差相等，试在水平0.05下检验不同的浓度及不同的温度下的得率的差异是否显著？交互作用的效应是否显著？
