1、章末检测二圆锥曲线与方程人教A版高中数学选修21优化练习章末检测(二)圆锥曲线与方程时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线1的右焦点到渐近线的距离是()A. BC3 D6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即b.答案：B2设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于()A4 B6C7 D8解析：由渐近线方程yx，且b3，得a2，由双曲线的定义，得|PF2|PF1|4，又|PF1|3，|PF2|7.答案：C3方
2、程(xy)2(xy1)20的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：(xy)2(xy1)20或答案：C4已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5C4 D3解析：根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a16，故所求的第三边的长度为16106.答案：A5已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析：由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，a2246，因此椭圆方程为1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周
3、上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|k|OF|，P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆答案：A7从抛物线y24x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|5，则MPF的面积为()A5 B.C20 D10解析：由题意，设P，则|PF|PM|15，所以y04，所以SMPF|PM|y0|10.答案：D8椭圆1的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A3x2y40 B4x6y70C
4、3x2y20 D4x6y10解析：依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为，所求直线的斜率等于，所以所求直线方程是y(x1)，即4x6y70，选B.答案：B9已知定点A(2,0)，它与抛物线y2x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()Ay22(x1) By24(x1)Cy2x1 Dy2(x1)解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则，所以，由于yx0，所以4y22x2，即y2(x1)答案：D10设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，的值等于()A0 B2C4 D2解析：易知当P，Q分别在椭圆
5、短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大此时，F1(，0)，F2(，0)，P(0,1)，(，1)，(，1)，2.答案：D11已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为()A2 B3C. D.解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：A12过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右
6、焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：由题意：B，k1e，1e，e0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故A，B，所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：16. 已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|
7、FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案：1(y0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程解析：当直线l的斜率不存在时，x1与对称轴平行，有一个交点；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y2k(x1)，与y2x2联立，得2x2kxk20，由k28(k2)0得k4，所以直线l的方程为y4x2.综上，直线l的方程为x1或y4x2.18(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2, 0)作斜率为 的直线，交双曲
8、线于M，N两点，且|MN|4，求双曲线方程解析：设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由右焦点为F(2,0)知c2，b24a2，则双曲线方程为1.直线MN的方程为：y(x2)，代入双曲线方程整理，得(208a2)x212a2x5a432a20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|MN| 4.解得：a21，b2413.故所求双曲线方程为：x21.19(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P(2,2)，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(1)求抛物线的方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切解析：
9、(1)设抛物线y22px(p0)，将点(2,2)代入得p1.y22x为所求抛物线的方程(2)证明：设lAB的方程为：xty，代入y22x得：x2(12t2)x0，设AB的中点为M(x0，y0)，则x0.点M到准线l的距离dx01t2，又ABx1x2p12t2122t2，dAB，故以AB为直径的圆与准线l相切20(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px2
10、0，整理得(x1x2)(x1x22p)0.因为x10，x20,2p0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.所以|AB|2y14p.21(13分)已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上若右焦点F到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围解析：(1)依题意，可设椭圆方程为y21，则右焦点为F(，0)由题意，知3，解得a23.故所求椭圆的方程为y21.(2)设点M，N的坐标分别为M(xM，yM)，N(xN，yN
11、)，弦MN的中点为P(xP，yP)由得(3k21)x26mkx3(m21)0.直线ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点，(6mk)24(3k21)3(m21)0m23k21， xP，从而yPkxPm，kAP.又|AM|AN|，APMN，则，即2m3k21， 把代入，得m22m，解得0m0，解得m.综上可得，m的取值范围是mb0)，其右焦点为F2(1,0)，点P在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)两点M，N.问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解析：(1)椭圆E的右焦点为F2(1,0)，c1，左焦点为F1(1,0)，点P在椭圆E上2a|PF1|PF2|4.a2，b.椭圆E的方程为1.(2)由(1)知A点坐标为(2,0)，设直线AM的方程为yk(x2)，则由(34k2)x216k2x16k2120，解得M，同理可得N.若，则得k21，即直线MN的方程为x，此时过x轴上一点Q.当k21时，假设直线MN过x轴上一定点Q(m,0)，则，又，则由，解得m.直线MN过x轴上一定点Q.
