1、完整版高中数学通用模型解题方法技巧总结高中数学通用模型解题方法1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。显然，这里很容易解出 A=-1,3. 而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。根据 条件， 可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心， 还有一个 B 为空集的情况， 也就是 a=
2、0, 不要把它搞忘记了。3.注意下列性质：要知道它的来历： 若 B 为 A 的子集， 则对于元素 a1来说，有 2种选择 (在或者不在) 同样，对于元素 a2, a3, an,都有 2种选择，所以，总共有种选择， 即集合 A有个子集。当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况， 故真子集个数为，非空真子集个数为(3)德摩根定律：有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4.你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)的取值范围。注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f(x)=ax 2+bx+c(a0) 在上单调递减， 在上单
3、调递增， 就应该马上知道函数对称轴是 x=1. 或者， 我说在上 ，也应该马上可以想到 m，n实际上就是方程 的 2个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”( )，“且” ( )和“非”( ).命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。 ）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，则是的充分非必要条件；则是的必要非充分条件； 则是的充要条件； 则是的既非充分又非必要条件；7.对映射的概念了解吗？映射 f：A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元 素的唯
4、一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ） 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。函数的图象与直线交点的个数为 个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 （两点必须同时具备 ）9.求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一
5、； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数余切函数 反三角函数的定义域 函数 y arcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是， 函数 yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 yarctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 y arcctgx 的定义域是 R ，值域是 （0, ） .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量 的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10.如何求复合函数的定义域？义域是 。复合函数定义域的求法： 已知的定义域为，求的定义域， 可由解出 x 的范围，即为的定 义域。例 若函数的定义域为，
6、则的定义域为 。分析： 由函数的定义域为可知： ；所以中有。解： 依题意知：解之，得 的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=的值域2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=-2x+5 ，x-1 ，2 的值域。3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行 化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y=值域。5、
7、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就 是三角函数的单调性。例求函数 y=，的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=（2x10）的值域7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。例求函数 y=x+的值域。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目
8、。22例：已知点 P（x.y ）在圆 x2+y 2=1上，例求函数 y=+的值域。 解：原函数可化简得： y= x-2 +x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点 P在线段 AB上时， y=x-2+x+8=AB=10当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时， y=x-2+x+8 AB=10 故所求函数的值域为： 10 ，+） 例求函数 y=+ 的值域 解：原函数可变形为： y=+上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点 P为线段与 x 轴的交点时， y= AB= =
9、，故所求函数的值域为 ，+）。例求函数 y= - 的值域 解：将函数变形为： y= -上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0 ）的距离与定点 B（ -2 ，1）到点 P（ x，0）的距离之差。即：y= AP - BP 由图可知：（1）当点 P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P1，则构成 ABP1，根据三角形两边 之差小于第三边，有AP1-BP1 AB= =即：-y（2）当点 P恰好为直线 AB与 x轴的交点时，有 AP- BP = AB= 。 综上所述，可知函数的值域为： （-，-）。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使 A，B两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要
10、使两点 A，B在 x轴的同侧。9 、不等式法利用基本不等式 a+b2，a+b+c3（a，b， c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积 为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例： 2x （x x把它倒过来之后，你会发现另一番境况倒数法 有时，直接看不出函数的值域时， 例 求函数 y= 的值域 多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记
11、：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不 要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂13.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换 x 、y；注明定义域）在更多时候， 反函数的求法只是在选择题中出现， 这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了 大方便。请看这个例题：Ay=x22x+2(x1) By=x22x+2(x1)Cy=x22x (x=1. 排除选项 C,D. 现在看值域。原函数 至于为 y=1, 则反函数定义域为 x=1, 答案为 B.我题目已经做完了， 好像没有动笔(除非你拿来写 * 书)。思路能不能明白呢？14.
12、反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y )2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x )3、 反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称(难怪点( x,y)和点( y，x )关于直线 y=x 对称1互为反函数的图象关于直线 yx 对称；2保存了原来函数的单调性、奇函数性；由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如( 04. 上海春季高考)已知函数，则方程的解 .1对于这一类题目， 其实方法特别简单， 呵呵。已知反函数的 y,不就是原函数的 x 吗？那 代进去阿，答案是不是已经
13、出来了呢？ (也可能是告诉你反函数的 x 值，那方法也一样， 呵呵。 自己想想，不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得 x1,x 2，找出 f(x 1),f(x 2) 之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与 1 的关系(2)参照图象：1若函数 f(x) 的图象关于点 (a ，b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a ，0)的对称区间具 有相同的单调性； (特例：奇函数)2若函数 f(x) 的图象关于直线 x a对称，则函数 f(x) 在关于点 (a ，0)的对称区间 里具有相反的单调性。 (特例：偶
14、函数)(3) 利用单调函数的性质：1函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 ) 是同向变化的2函数 f(x) 与 cf(x)(c 是常数 )，当 c 0时，它们是同向变化的；当 c0 且 a 1） f（ x y） f（x ） f（ y）； f（） f（x） f（y）5.三角函数型的抽象函数f（x） tgx f（x y）f（ x） cotx f（ xy）例 1已知函数 f（ x）对任意实数 x、y均有 f（ x y） f（ x） f（ y），且当 x0 时，f （x）0 ， f（1） 2求f（x）在区间2,1上的值域 .分析：先证明函数 f（ x）在 R 上是增函数（注意到 f（x2） f
15、（ x2 x1） x1f（x2 x1） f（x1）；再根据区间求其值域 .例 2已知函数 f（ x）对任意实数 x、y均有 f（x y） 2 f（ x） f（ y），且当 x0 时， f（x）2，f（3） 5，求不等式 f（a22a2）3 的解 .分析：先证明函数 f（ x）在R 上是增函数（仿例 1）；再求出 f（1）3；最后脱去函数 符号.例3已知函数 f（x）对任意实数 x、y都有 f（xy）f（x）f（y），且 f（1）1，f（27） 9，当 0x0,x N； f （a b） f（a）f （b），a、bN； f（2） 4.同时成立？若存在，求出 f（ x）的解析式，若不存在，说明 理由
16、.分析：先猜出 f（x） 2x；再用数学归纳法证明 .例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足 f（ xy） f（ x） f（y），f（3） 1，求：（1）f（1）；（2）若 f（ x） f（ x8） 2，求 x 的取值范围分析：（1）利用 3 1 3；（ 2）利用函数的单调性和已知关系式 .例 7 设函数 y f（ x）的反函数是 y g（x） .如果 f（ ab） f（a）f（b），那么 g（a b） g（a） g（ b）是否正确，试说明理由 .分析：设 f（a）m，f（b）n，则 g（ m） a， g（ n） b， 进而 mnf（a）f（b） f（ ab） f g（m）
17、g（n）.例 8 已知函数 f（ x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1、x2 是定义域中的数时，有 f（x1x2） ； f（a） 1（ a 0，a 是定义域中的一个数） ；3当 0x2a时，f（x）0）（1） 先令 xy 1，再令 xy 1；（2） 令 y 1；（3） 由 f（x）为偶函数，则 f（x） f（|x|）.例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足 f（0） 0，f（xy）f（x）f（y），且当 x 1，求证：（1） 当 x0 时， 0f（x）1；（2） f（ x）在 xR 上是减函数 . 分析：（ 1）先令 xy0得 f（0） 1，再令 yx；（ 3）
18、受指数函数单调性的启发：由 f（xy） f（x）f（y）可得 f（x y）， 进而由 x1 1.练习题：1.已知： f（xy） f（ x） f （y）对任意实数 x、 y都成立，则（ ）（A）f（0） 0 （B）f（0） 1（C）f（0）0或 1 （D）以上都不对2.若对任意实数 x、y 总有 f（ xy） f（ x） f（ y），则下列各式中错误的是（ ）（A）f（1） 0 （ B） f（） f（x）（C）f（） f（x） f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满足： f（0） 0，f（xy） f（x）f（y），且当 x 1，则当 x0 时， f（x）的取值范围是（ ）（ A）（ 1，） （B ）（， 1）（C）（0，1） （D）（ 1，）4.函数 f（ x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的 x1、x2都有f（ x1x2），则 f（ x）为（ ）参考答案：1A2B3C4A5B23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （和三角形的面积公式很相似，可以比较记忆 .要知道圆锥展开图面积的求法 ）
