1、数列知识点概论 数列1.数列的概念（1）按照一定的顺序排列的一列数称数列，数列中的每一个数叫做这个数的项,排在在第一位的数称为这个数的第一项，也叫首项。（2）数列的一般形式可以写成a1，a2,a3,an,其中an是数列的第n项，我们把上面的数简记为 an 。（3）如果数列 an 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an=f（n）（4）如果已知数列 an 的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列 an 的递推公式。
2、（5）数列的前n项和及通项的关系 Sn=a1+a2+a3+。+an an= S1(n=1) Sn-Sn-1(n2)2，数列的分类（1）按项数分类有穷数列：项数有限 无穷数列：项数无限（2）按项与项之间的大小关系分类：递增数列：an+1an 递减数列：an+10，则 an 为递增数列 an+1- an0（1（an+1/an1），则 an 为递增数列 an+1/an1），则 an 为递减数列4.已知数列的递推公式，求该数列的通项公式的常用方法。 （1）求出该数列的前若干项，归纳，猜想出它的通项公式。 （2）对于常见的简单的递推公式，可以采用迭代法或迭加法，累乘法求其通项公式。形如“an+1=an+
3、f（n）”的递推公式，可以采用迭加法，即由递推公式可得 a2= a1+f（1） a3= a2+f（2）a4= a3+f（3）。an= an-1+f（n-1）将上述各式相加得an= a1+f（1）+f（2）+。+f（n-1） 形如“an+1=anf（n）”的递推公式，一般采用累加乘法，即由递推公式可得 a2= a1f（1） a3= a2f（2） a4= a3f（3） 。 an= an-1f（n-1） 以上各式相乘得an= a1f（1）f（2）。f（n-1）形如“an+1=Aan+B”的递推公式，可以采用构造法，换元法求得通项公式，即由已知的递推公式得an+1-B/(1-A)=A(an-B/(1-
4、A)设bn=an-B/(1-A),则得bn+1=Abn，一下可以利用的方法求出bn，从而求得an斐波那契数列：一个数列中，从第3项起，每一项都是前相邻两项之和，即a1=1，a2=1，a3=2。an=an-1+an-2（n3）。5.由数列的前若干项求数列的通项公式 把数列的项看作项数的函数，这个函数的解析式即数列的通项公式an=f（n），因此，问题在于探求n经过怎样的算法得到an。（1）应了解常见的简单数列的通项公式，如： 1,2,3,4. an=n 2,4,6,8. an=2n 1,3,5,7. an=2n-1 1,4,9,16,. an=n2 1,8,27,64. an=n3 -1,1,-1
5、,1,. an=（-1）n 1,-1,1,-1. an=（-1）n+1 1，0，1，0. an=1-（-1）n/2 0，1，0,1. an=1+（-1）n/2(2)观察分析法 先对已知项的多方面进行观察分析，如符号特征，绝对值特征，公式的分子，分母的独立特征，分子，分母的关系特征，相邻项的变换特征，相邻项的比，差的特征等，再通过类比，猜想，归纳等方法进行尝试，调整，最后得以化归，具体的方法有：联想比较法。如：由-1,2，-3,4，-5.联想到数列-1,1，-1,1.及数列1,2,3,4,5.,可得an=n（-1）n 由3,6,11,18,27，.联想到数列1.4,9,16,25,.可得an=2
6、+n2由1/5,3/7,5/9,7/11.可知该数列中各项分式的分子为2n-1，而分母比分子多4，故an=（2n-1）/（2n+3）逐差法，如：1,3,5,7,9.,可发现3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是归纳得 an=2n-1逐商法，如：1,3,9,27,81，.可发现：3/1=9/3=27/9=81/27,于是归纳得 an=3n-1待定系数法，如：3,6,11,18,27,38，.一次逐差得数列3,5,7,9,11.二次逐差得数列2，2,2,2.一般地，逐差k次后可得常数数列，则通项公式可设为k次多项式，可猜想通项公式为an=an2+bn+c，令n=1,2,3，得a+b+c=34a+
7、2b+c=69a+3b+c=11解得a=1，b=0，c=2经检验适合，故an=n2+2方法技巧一，由递推关系求通项公式 已知首项a1=啊，递推关系为an+1=qan+b（nN*），求数列an的通项公式的关键是将an+1=qan+b转化为an+1+a=q（an+a）的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qan+b=an+1=qan+（q-1）a a=b/(q-1) q1例1.在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+1/n),则an等于 （ A ）A 2+Ln n B 2+(n-1)ln n C 2+nln n D 1+n+ln n提示;方法一：令n=1,2，。n-1，得n-1个等式所
8、有n-1个等式相加结论 方法二：原式变形为an+1-an=ln（n+1）-ln n利用叠加法求和结论解析 方法一：分别令n=1,2,3，.n-1，有 a2=a1+ln2 a3=a2+ln（1+1/2) . an=an-1+ln（1+1/(n-1) 以上各式相加得： an=a1+ln2+ln(3/2)+.+ln(n/(n-1)=2+ln n 方法二：由题意可知：an+1=an+ln(（n+1）/n) 即an+1-an=ln（n+1）-ln n， 于是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+.+(a2-a1)+a1 =ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+.+ln2-
9、ln1+2 =2+ln n二，利用Sn与an的关系求通项公式 数列的通项an与前你项和Sn的关系是an= S1(n=1) Sn-Sn-1 (n2)此公式经常使用，应引起足够的重视，已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一，当n2时求出an也适合n=1时的情形，可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示。例二，已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak2)由已知求k的范围，kN*确定整数k的值解析：an= S1(n=1） Sn-Sn-1（n2）则 an= -8 （n=1） -10+2n（n2） 得an=2n-10因为5ak8,所以52k-108,故15/2
10、k9又因为kN*，所以k=8趁热打铁(五年高考三年模拟p103）1.an中，an=n2-9n-100，则最小的项是（ ）A 第4项 B 第5项 C 第6项 D 第4项或第5项 2.数列an满足an+1= 2an，0an1/2， 2an-1,1/2an0,d0,则Sn存在最（ ）值；若a10,则Sn存在最（ ）值。8，等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若 an 是等差数列，则Sn/n也成（ ）数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的（ ） （2）Sm，S2m，S3m，分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成（ ）数列。 （3）关于等差数列奇
11、数项和与偶数项和的性质A，若项数位2n，则S偶-S奇=（ ），S奇/S偶=（ ）B，若项数为2n-1，则S偶=（n-1)an，S奇=（ ）an，S奇-S偶=（ ）， S奇/S偶=n/(n-1)(4)两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为an/bn=（ ） 重点难点 1.判断给点的数列an是等差数列的常用方法 （1）定义法：在所给数列an中，任取相邻两项，使得an-an-1=d(nN*且n2)，只需要说明d是一个与n无关的常数即可 （2）通项公式：对给定数列an，若能总结出它的通项公式an=bn+m（b，m为常数），书面an是n的一次函数即可 （3）求和公式法：若能求得数列an的
12、前n项和Sn=an2+bn（a，b为常数）是n的一个没有常数项的二次函数即可。 （4）等差中项：an+1+an-1=2an（nN*且n2)，2，求等差数列的通项公式常用的方法 （1)由定义采用迭加法 （2）由定义采用不完全归纳法 （3）根据an= S1， (n=1） Sn-Sn-1，（n2） 由Sn求通项公式an=f(n)时需分n=1与n2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况是否能用同一式子表示，若不能则用分段函数表示。3，常用的方法与技巧 （1）三数成等差数列的设法:a-d,a,a+d,d为公差； 四数成等差数列的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d。（2）会用方程的思想处
13、理等差数列的有关问题 等差数列的通项公式与前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二”），解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确。4，求等差数列的前n项和Sn的最大（小）值问题 方法一：从前n项和公式入手，可通过配方求最值，也可以用顶点坐标求最值。 方法二：依据等差数列公差d0或d0,d0时，无穷数列的前n项和才有最大值，而最大值是将所有非负项求和；只有当a10时，无穷数列的前n项和才有最小值，其最小值是将所有非正项求和。方法技巧一：等差数列性质的应用策略 等差数列在项
14、的关系及和的问题方面都有相应的性质，充分利用好性质，如从整体思想，方程思想考虑问题，可以大大减少运算，达到事半功倍的效果。例一：设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 （B)A 63 B 45 C 36 D 27分析：S3，S6-S3，S9-S6为等差数列可求出S9-S6结论解析：由于an是等差数列，S3，S6-S3，S9-S6为等差数列，即2（S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45，故选B二，等差数列前n项和最值问题的求解方法对于等差数列an，当a10,d0时，前n项和Sn有最大值，可由an0，求得n的值；当a10时，
15、前n项和Sn有最小值，可由an0，求得n的值。例2，已知数列an是等差数列，a1=50，d=-0.6（1）从第n项开始有an0,求n；（2）求次数列前n项和Sn的最大值。解析（1）a1=50，d=-0.6 an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6 令-0.6n+50.60，则n50.6/0.684.3 又nN*,故n85时，an0,d=-0.60,a850,S1S2.S85S86.,(Sn）最大=S84=5084+8483(-0.6)/2=2108.4练习题(5-3p107)1.在等差数列an中，a1=-2012，其前n项和为Sn，若S12/12-S10/10=2，则S2012的值等
16、于（ ）A -2011 B -2012 C -2010 D -20132，已知递减的等差数列an满足a12=a92，则数列an的前n项和Sn取最大值时n=（ ）A 3 B 4 C 4或5 D 5或63.等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a7+a9=15，则S11的值为（ ）A 55/2 B 50 C 55 D 1104.公差不为零的等差数列an的前三项a1，a4，a16成等比数列。则（a1+a3+a5）/(a2+a4+a6)的值是多少？ 等比数列知识清单1.如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。2.
17、如果a,G,b等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=( )3.等比数列的通项公式是（ ）4.等比数列前n项和公式Sn=（ ）5.对于正整数m，n，p，q，若m+n=p+q，则等比数列中am，an，ap，aq的关系为am an=apaq6.有关等比数列an满足a1o 0q1,或 a10 a10, 0q1,时，an是递增数列7，有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方。8，若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，。，S（m+1）k-Smk,.成等比数列（k1且k，mN*,公比q-1）。9，有关等比数列的一些结论 （1
18、）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列任然是等比数列。 （2）若an是等比数列，则an，|an|皆为等比数列，公比分别为q和|q|（为非零常数） （3）一个等比数列各项的k次幂，任然组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂 （4）若an是等比数列，若a1a2a3.an=Tn,则Tn=T2n/Tn，T3n/T2n，.成等比数列 （5）若an与bn均是等比数列，则m，an，bn与man/bn依然为等比数列，其中m是不为零的常数。10，当q0，q1时，Sn=k-kqn（k0，ka1/(1-q)是an成等比数列的充要条件。重点难点1.关于等比数列定义的理解（1）从第二项开
19、始（2)每一项与前一项的比（3）是同一常数(不为零）同时还需特别注意定义中隐含着任何一项不能是零（即没有为0的项），即q0是数列an为等比数列的必要条件2，可通过建立方程或方程组来求解通项公式，但具体问题还应具体分析，有时还可采用“整体思想”“设而不求的思想”方法，同时还要注意等比定理的运用，即q=a2/a1=a3/a2=.=an/an-1=(a2+a3+.)/(a1+a2+.+an-1)3.通项特征an是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项的积都相等，都等于首末两项之积4.等比数列的巧设项 设等比数列中的项，一般可设其通项，对于有穷数列，也可用“对称设”的方法。一般的，项数为奇数的等比数列
20、的“对称设”可设中间一个数为a，再以公比q向两边对称设其他项；当项数为偶数时，可设中间两项分别为a/去，aq，再以公比q2向两边对称设其他项。5.等差与等比数列的互化（1）正项等比数列anlogaan为等差数列（2）an为等比数列ban为等比数列6.等比数列前n项和问题（1）等比数列前n项和公式Sn= na1（q=1） a1（1-qn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) （q1）能“知三求二”注意讨论公比q是否为1a10（2）前n项和的性质设Sn是等比数列an的前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n满足关系式（S2n-Sn）2=Sn（S3n-S2n），但不能说Sn，S2n-Sn
21、，S3n-S2n成等比数列。若数列an的项数为2n，则S偶/S奇=q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和。方法技巧一，等比数列的基本运算技巧 对于有关等比数列的计算问题，可类比等差数列问题，即等比数列an中也有五个基本量a1，an，n，q，Sn，只要知道其中三个，就能求出其他两个（简称”知三求二“）不过在此特别注意的是q0，q1例一：设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5=（ ）A.15/2 B,31/4 C.33/4 D.17/2分析：由已知列出关于an，q的方程组求a1，q可求S5=解析：由an0,a2a4=a21q4=1,S3=a1+
22、a1q+a1q2=7, 解得a1=4，q=1/2或-1/3(舍弃）， 所以S5=a1（1-q5）/(1-q)=4(1-1/32)/(1-1/2)=31/42等比数列性质的应用策略 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1，q满足的方程组，求解方程组，但如果灵活运用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知中的”隐含条件“例二：（1）在等比数列an中a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值； (2)在等比数列an中，a2=2，a6=8，求a10解析（1）由等比数列的性质知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则（a3+a4）2=(a1+a2)(a5+a
23、6)a5+a6=4(2)2,6,10三数成等比数列 a2，a6，a10成等比数列。即a26=a2a10 故a10=821/2=32练习（5-3p108-111）1.已知an等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=（ ）A 7 B 5 C -5 D -72.公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=（ ）A4 B 7 C 6 D 73.已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）A 5 B 7 C 6 D 44,在等比数列an中，a1=1，公比|q|1，若am=a1a2a3a4a5,则m=（ ）
24、A 9 B 10 C 11 D 125，设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是（ ）A.X+Y=2Y B Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D Y(Y-X)=X(Z-X)6.设Sn为等比数列an的前你项和，8a2+a5=0，则S5/S2=( )A 11 B 5 C -8 D -117.设等比数列an的前你项和为Sn，若S6/S3=3，则S9/S6= ( )A 2 B 7/3 C 8/3 D 38.已知各项不为0的等差数列an满足2a2-a27+2a12=0，数列bn是等比数列，且b7=a7，则b3b11等于（ ）A 16 B
25、 8 C 4 D 29.已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-1/6,则x的值为（ ）A.1/3 B.-1/3 C.1/2 D.-1/210.设公比为q（q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=（ ）11，数列an的前n项之和为Sn，Sn=1-2an/3，则an=（ ）12已知两个等比数列an，bn，满足a1=a（a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3 (1)若a=1，求数列an的通项公式 （2）若数列an唯一，求a的值13.已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=13/3 (1)求数列an的通项公式 （2）若函数f（x）=Asin（2x+）（A0,0)在x=/6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
