1、春华师版九年级数学下册262 二次函数的图象与性质二次函数的图象和性质教学目标1知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感教学重点难点1重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质2难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征教与学互动设计（一）创设情境 导入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的
2、图象又有何特征呢？导语二 展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流 解读探究1函数y=ax2 的图象画法及相关名称【探究 l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表描点连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：形状是开口向上的抛物线图象关于y轴对称由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：顶点；对称轴；开口及开口方向.
3、2函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：顶点相同，其坐标都为（0，0）.对称轴相同，都为y轴开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：形状都是抛物线.顶点相同，其坐标都为（0，0）.对称轴相同，都为y轴开口方向相同，它们的开
4、口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a0时，开口向上.a0时，开口向下.|a|越大，开口越小.（四）总结反思 拓展升华【总结】1.本节所学知识：二次函数y=ax2的图象的画法.二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x0时，y的值随x的增大而变化的情况解：(1)
5、将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a12 a=2.(2)根据函数y=2x2知x0时y随x的增大而减小.【点评】通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.结合图象知：x0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小.（五）当堂检测反馈1. 抛物线y=4x2中的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 .抛物线y=-x2的开口方向是 向下 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 .2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .【
6、分析】a与-2互为相反数3. 在同一坐标系中：y=，y=-x2，y=2x2这三个函数图象开口最大的是，最小的是y=2x2，开口向下的是y=-x2.解： |-1|2|,抛物线的开口最大，抛物线开口最小.函数y=-x2中，二次项系数为-10时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2, 此抛物线过点（-3，2），2=a(-3)2,即a=,.y=x2, 当x0时，y随x的增大而增大.二次函数yax2bxc的图像和性质 教学目标：经历描点法画函数图像的过程,学会观察、归纳、概括函数图像的特征；掌握型二次函数图像的特征；经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点： y=ax2+bx+
7、c(a0)型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，教学手段：实物投影教学过程：一、 复习引入前面我们学习了二次函数的三种表示方法，提问学生，教师展示投影：一般式y=ax2+bx+c(a0),顶点式y=a(x+k)2+h(a0),两根式y=a(x-x1)(x-x2) (a0)x-3-2-1120y-4-10-4-9-1xo12345y30-1038如;抛物线过A(-1,0),B(3,0),C(1,4)三点，求此二次函数解析式.学生完成。答案：y=-x2+2x+3二、 新课讲授例1、做出二次函数（1）y= - (x+1)2 与（2）y=(x-
8、2)2-1的图像；解：在同一坐标系中用描点法画出二次函数（1）y=(x+1)2 与（2）y=(x-2)2-1的图像问题： a) 无论x取何值，对于（1）来说，y的值有什么特征？对于（2）来说，又有什么特征？b) y 值相同时，自变量的取值有什么特征？目的：上面的两个函数图像概括出（1） 二次函数的图像的对称性：关于x=对称（2） 当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，函数有最小值；当a0可得证。（2）两个交点的距离即两个实根的距离。|x1-x2|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1x2=m2-2m+9=9得m=o,2目的：初步理解二次函数、二次方程的关系，为后面二次不
9、等式的学习打下基础。例3、求y=x2+4x在-1x1上的最值。解;对称轴x=-2,由图像可知，当-1x1时，x=-1,y取最小值-3.x=1时，y取最大值5目的；强化运用图像解决闭区间上最值问题，教师讲解时应变换区间，训练三种常见类型，可以根据实际情况添加字母参数。课堂练习：1、 抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求方程。2、 求y=2x2+4x-2的最值，对称轴及顶点。3、 抛物线y=x2-(m+2)x+4与x轴不相交，求m的范围？4、 求y=2x2-4x+3当-1x2时的最值。课堂小结：1、 认识了二次函数的图像何性质。2、 能用图像何性质解决有关最值问题。3、 数形结合思想，分类讨论思
10、想的渗透。课后巩固：1、 图像过（6，0）点，且当x=4时y有最小值8，求抛物线方程。2、 图像过（4，-3）点，当x=3时有最大值4，求抛物线方程。3、 求y=-x2+2x+4的顶点坐标及最值。4、 求y=x2+2ax-3在1x2时的最值。课题： 二次函数yax2bxc的图像和性质（学案）教学目标：经历描点法画函数图像的过程,学会观察、归纳、概括函数图像的特征；掌握型二次函数图像的特征；经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点： y=ax2+bx+c(a0)型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像复习引入前面我们学习了二次函数的
11、三种表示方法：一般式_顶点式 _ 两根式_如;抛物线过A(-1,0),B(3,0),C(1,4)三点，求此二次函数解析式例1、做出二次函数（1）y= - (x+1)2 与（2）y=(x-2)2-1的图像；问题： (1)无论x取何值，对于（1）来说，y的值有什么特征？对于（2）来说，又有什么特征？(2) y值相同时，自变量的取值有什么特征？练习：求函数y=-3x2-6x+2的顶点坐标，对称轴，最值例2、y=x2-(m-3)x-m (1)证：无论 m为何值，图像与x轴总有两个交点;(2)m为何值时，图像与x轴的两个交点间距离等于3例3、求y=x2+4x在-1x1上的最值课堂练习：1.抛物线顶点为（
12、2，3）过（3，1）,求方程2.求y=2x2+4x-2的最值，对称轴及顶点3.抛物线y=x2-(m+2)x+4与x轴不相交，求m的范围4.求y=2x2-4x+3当-1x2时的最值课堂小结：1,认识了二次函数的图像何性质2,能用图像何性质解决有关最值问题3,数形结合思想，分类讨论思想的渗透课后巩固：1,图像过（6，0）点，且当x=4时y有最小值8，求抛物线方程；2,图像过（4，-3）点，当x=3时有最大值4，求抛物线方程；3,求y=-x2+2x+4的顶点坐标及最值4,求y=x2+2ax-3在1x2时的最求二次函数的函数表达式教学内容求二次函数的函数表达式课型新授课主备人执教人教学目标会根据不同的
13、条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式教学重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式教学难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题一：问题引入一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？二、探索新知知识点1：设顶点式求二次函数关系式例1、已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1），求这条抛物线的解析式。练习：已知抛物线
14、的顶点在原点，且过点（2，8），求这条抛物线的解析式。知识点2：设一般式：求二次函数关系式例2、已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；求二次函数的关系式练习：已知抛物线过三点：（0，2）、（1，0）、（2，3），求该二次函数的关系式知识点3：设交点式求二次函数的关系式。例3、已知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），且经过点（2，10），求这个二次函数的解析式。练习：已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4，求该二次函数的关系式方法归纳：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的
15、条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求（3）交点式：，给出三点（其中两点为与x轴的两交点）时用此式来求三、课堂练习1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式(1)已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）2. 已知抛物线yax2bxc过三点：（1，1）、（0，2）、（1，1）（1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 3、已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点间的距离等于4,它在y轴的负半轴上的截距是6,则它的关系式.4. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m如图所示，把它的图形放在直角坐标系中（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
