1、北京市大兴区2013年高三一摸练习数学（理科）一、选择题（1）复数的值是 （A）2 （B） （C） （D）（2）若集合，则(A) (B) (C) (D)是否结束开始 s=1,i=1输入n输出s?（3）执行如图所示的程序框图若，则输出的值是 （A）-21 （B） 11 （C）43 （D） 86(4)双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 （A） （B） （C） （D）(5)已知平面，直线，下列命题中不正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则(6)函数 （A）在上递增 （B）在上递增，在上递减 （C）在上递减 （D）在上递减，在上递增（7）若实数满足，则关于的方程有实数根的
2、概率是 （A） （B） （C） （D）（8）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 （A）1 （B）8 （C） （D）二、填空题（9）函数的最大值是 。（10）已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则（11） 已知矩形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，则等于 （12）设，则 。（13） 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），,垂足为F若，则 。（14） 已知函数，定义,，(,)把满足（）的x的个数称为函数的“周期点”则的周期点是 ；周期点是 三、解答题(15)（本小
3、题满分13分） 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,，()求a的值；()求及的面积(16)（本小题满分13分） 期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：学生数学8991939597物理8789899293（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。（1） 从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值(17)（本小题满分13分） 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点 （）求证：A1B/平面
4、ADC1； （）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值(18)（本小题满分14分） 已知函数，()求函数的单调区间；()函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由19.（本小题满分14分） 已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。()求曲线C的方程；()若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求证，A、D、N三点共线。(20)（本小题满分13分） 已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时
5、称数列为k阶完备数列。性质2 若记，且对于任意，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。（）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。2013年高三统一练习高三数学（理科）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）C （3）A （4）D （5）C （6）D （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题
6、5分，共30分） （9） （10） （12） （13） （14），三、解答题（共6小题，共80分）（15）（本小题共13分）解:（）因为,所以 由正弦定理: 知 得: （）在中, 的面积为: （16）（本小题共13分）解：（）5名学生数学成绩的平均分为: 5名学生数学成绩的方差为: 5名学生物理成绩的平均分为: 5名学生物理成绩的方差为: 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. （）由题意可知，随机变量的分布列是X012P（X）（17）（本题满分13分）证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。连结交于O，则O是的中点，又D是BC的
7、中点，所以在中，。因为平面，平面，所以平面。（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：，.则，设平面的法向量为。由，得到，令，则，所以.又，得。所以设与平面所成角为，则。所以与平面所成角的正弦值为。（18）（本题满分14分）解：（I），.由，得，或.当，即时，在上，单调递减；当，即时，在上，单调递增，在上，单调递减。 综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为。（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值； （2）当时， 若，即时，在上单调递减，不存在最小值； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，且当时，所以时
8、，。又因为，所以当，即时，有最小值；，即时， 没有最小值。综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。（19）（本题满分14分）解：（I）设P点坐标，则（），（），由已知，化简得：.所求曲线C的方程为（）。（II）由已知直线AQ的斜率存在，且不等于0，设方程为，由，消去得：（1）.因为，是方程（1）的两个根，所以，得，又，所以。当，得，即。又直线BQ的斜率为，方程为，当时，得，即。直线BM的斜率为，方程为。由，消去得：（2）.因为2，是方程（2）的两个根，所以， 得，又，即。由上述计算：，。因为，所以。所以A、D、N三点共线。(20)(本题满分13分)解：（）； 为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列； （）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有，即，其中，必有，所以仅存在唯一一组（）使成立，即数列为阶完备数列； ，对，则，因为，则，所以，即 （）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为，。 下面用数学归纳法证明显然时命题成立，假设当（时命题成立，即当时，只需证由于对称性只写出了元素正的部分，其中既中正的部分的个元素统一为，其中则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示其中中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，所以当时命题成立。即为阶完美数列， 12
