1、第37练圆锥曲线中的探索性问题题型一定值、定点问题例1已知椭圆C：1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由破题切入点(1)待定系数法(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式，.把，用点A，B的横坐标表示出来，只要证明的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值解(1)依题意得b，e，a2b2c2，a2，c1，椭圆C的方程为1.(2)因直线l与y轴相交于点M，故
2、斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为yk(x1)，求得l与y轴交于M(0，k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.所以当直线l的倾斜角变化时，直线的值为定值.题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由破题切入
3、点假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解解方法一(1)依题意，点N的坐标为N(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立得消去y得x22pkx2p20.由根与系数的关系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，当k0时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，AC的中点为O，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则OHPQ，Q点的坐标为(，)OPAC，OH|2ay1p|，PH2OP2OH2(yp2)(2ay1p)2(a
4、)y1a(pa)，PQ2(2PH)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y，即抛物线的通径所在的直线方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得AB|x1x2|2p，又由点到直线的距离公式得d.从而SABNdAB2p 2p2.当k0时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，将直线方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，则x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有PQ|x3
5、x4| 2.令a0，得a，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y，即抛物线的通径所在的直线题型三定圆问题例3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由破题切入点(1)根据定义，待定系数法求方程(2)直接求(3)关键看长轴两端点解(1)设椭圆G的方程为1(ab0)，半焦距为c，则解得所以b2a2c236279.所以所求椭圆G的方程为1.(2)点Ak的坐标为(
6、k,2)，SAkF1F2|F1F2|2626.(3)若k0，由620212k0211512k0，可知点(6,0)在圆Ck外；若k0，可知点(6,0)在圆Ck外所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.即不存在圆Ck包围椭圆G.总结提高(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)(3)定直线问题一般都为特殊直线xx0或yy0型1在平面
7、直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，得直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24(k2)4k220，解得k.即k的取值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)所
8、以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入上式，解得k.由(1)知k，故不存在符合题意的常数k.2已知双曲线方程为x21，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由解显然x1不满足条件，设l：y1k(x1)联立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由0，得k，x1x2，由M(1,1)为PQ的中点，得1，解得k2，这与k0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，
9、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆E：1(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，则16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使，需使x1x2y1y20，即0，所以3m28k280，所以k
10、20.又8k2m240，所以所以m2，即m或m，因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r，r2，r，所求的圆为x2y2，此时圆的切线ykxm都满足m或m，而当切线的斜率不存在时切线为x与椭圆1的两个交点为(，)或(，)满足，综上，存在圆心在原点的圆x2y2，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.4(2014重庆)如图，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦
11、点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得DF1c，从而SDF1F2DF1F1F2c2，故c1，从而DF1.由DF1F1F2，得DFDFF1F，因此DF2.所以2aDF1DF22，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1
12、)，再由F1P1F2P2，得(x11)2y0.由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1F1P1，得1.而求得y1，故y0.圆C的半径CP1 .综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2(y)2.5(2014江西)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点
13、N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MNMN为定值，并求此定值(1)证明依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28.直线AO的方程为yx；BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2.因此动点D在定直线y2上(x0)(2)解依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y2得N1，N2的坐标为N1(a,2
14、)，N2(a，2)，则MNMN(a)242(a)28，即MNMN为定值8.6(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论解方法一(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A(x0,0)由得M(x0，3)又N(0,3)，所以圆心C(x0，3)，半径rMN|x0|，AB .所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变方法二(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，则|y(3)|2，依题意，点S(x，y)只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简，得曲线的方程为x24y.(2)同方法一
