1、完整word高等代数北大版第8章习题参考答案第八章 矩阵13221)o2)2531200003)004)2000(1)223223212235)423532234242123014360226)0620101003312200解 1)对矩阵作初等变换 ,有A()3223253253230221. 化下列矩阵成标准形00 3 10 2 3 = B( )00( 1)203 -10 2 -3020020002)对矩阵作初等变换 , 有221001212A ( )002 2 22200( 1)1 2 2 212B( ) 即为所求。10000= B( ) ，B( ) 即为所求。2003）因为 00 的行
2、列式因子为00 (1) D1 =1,D2 = ( 1),D 3 =2( 1)，所以d 1 :=1,dD22 =(1),d 3 =:D3 =(1)2，D1D2从而200100A()000(1)0=B()，00 (1)200(1)2B(）即为所求。000200204）因为的行:列式因子为0(1)2002000D1 =1,D2=(1),D 3 =2(1)2,D 4 =4(1)，所以d2 = DDi1), dDD21)，d4 =D2(1)2从而000002A()0(1)202002000B(),3232A( )42353243222142332222427621 2 2 32 2 3 42122132
3、3 2 2 4 5 0 10 012322 4 5 0100110032001001= B( ) ，1B( ) 即为所求。6)对 矩阵作初等变换 , 有A( )12200010 0 0 2 20 0 2 01 0 1 0 00 1 0 0 000010000002010000010000001000020000100000100000010000020000100000100010000020000000 ,0001000001在最后一个行列式中D 3 =1, D 4 =(1),D 5 =3(1)2，所以d 1 =d 2=d 3 =1, d 4:D4=(1),d 5 =D5 =2(1) OD3
4、D4故所求标准形为1000001000B()=001000000(1)000002(1)2.求下列矩阵的不变因子10021 00101) 02 12)00100 25432D 1 =1, D 2 =1, D 3 = ( 2),故该 矩阵的不变因子为D3 =D2=D 1 =1,D4 = 42 33 24 5，故矩阵的不变因子为d 1 =:d 2=d 3 =1,d4 = 42 33 24 503)当 0时，有D4 =11=(2 2 2 )2 2 ,且在矩阵中有一个、三阶子式11 00 1 =2 ()0于是由2 (),D 3=1可得D 3 = 1 ,故该矩阵的不变因子为d 1=d 2 =d 3=1,
5、 d 4 =()22 20当0时，由D1=1,D2 =1,D 3 =()2,D4= ( )4 ,2)因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为从而d i =d 2 =1, d 3 = ( )2, d 4 = D4 = ( )2。Da4)因为所给矩阵的左上角三阶子式为 1,所以其行列式因子为D i =1, D 2 =1, D 3 =1, D 4 = ( 2)4，从而所求不变因子为Da =1, D4 = ( 2 1)( 2 4)，故所求不变因子为3.证明：0 0 0 0 an1 0 0 0 an 10 1 0 0 a n 20 0 1 0 an 3因为矩阵左下角的n 1阶子式M n勺
6、=(1)n 1,所以Dn 1 = 1,从而Dn 2 = 1 ,故所给矩阵的不变因子为即证。4设A是数域P上一个n n阶矩阵，证明A与A相似。证设A =311321312322a1 n32n3n13n23nna113213n1a12322an2则A=31 na2n3nn因为A与A相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子 ，所以只需证明E A与EA有相同的不变因子即可。注意到 E A与 E A对应的k级子式互为转置，因而对应的k级子式相等，故E A 与 E A有相同的各级行列式因子，从而有相同的不变因子，即证A与A相似。5.设0 0A =1001求Ak。解因为kkk k 1k(k1) k 200k
7、210 =0kkk 10100k所以001010Ak =10 = 01=01010000kkkk k1k(k1) k 220kkk 100kk00. k 1kk0 ok(k 1) k 2kk 1k26.求下列复系数矩阵的若尔当标准形1201316161)0202) 5762216873084523)3164) 22120511137311 25)2526)33 6410322 411142 107)3338)43 722231 7033830149)18610)61992141062311310 012 34410 001 2311)712 112)00 12761 000 0101 0001
8、30 300 100260 1300 00013)031 314)120 800 00110 000解1 ）设原矩阵为A ,贝U12001 0002)0 10 0(1)(1)(于是A的初等因子是1,1,2，故A的若尔当标准形为100J =010。0022）设原矩阵为A ,则于是A的初等因子是(1)2, 3,故A的若尔当标准形为300J=010。0113) 设原矩阵为 A ,则308112E A = 3162162052051001000(1)2001 2( 1)02( 1)1020 ( 1)210001000(1)2A 的初等因子是 1, (1)2,故A的若尔当标准形为100J=010。011
9、4) 设原矩阵为 A ,则452152E A =2212111101113110021022210110111001000110100(1)2000(1)3A 的初等因子是 (1)3，故A的若尔当标准形为100J=1100115) 设原矩阵为 A ,则37E A = 2 54 101 17 051 101 0 00 1 00 0 ( 1)(于是 A 的初等因子是 1, i ,37220531 1036117020523017 72 6 32 1), 从而 A的若尔当标准形为100J=0i000i6) 设原矩阵为A , 则112EA= 3362241000(2)2021000000(2)于是 A
10、 的初等因子是1 1 23 3 62241 0 00 2 2 2002, 从而 A 的若尔当标准形为000J=000。0027) 设原矩阵为 A ,则111E A =3332221113 3 32 2 2100010000000J = 0 0 0 。0108) 设原矩阵为 A ,则4210137E A =43734731724101001000351014012420224022410001000( 2)3A 的初等因子是 (2)3,故 A 的若尔当标准形为200J= 120。0129) 设原矩阵为 A ,则33186E A =186332141021410100100028363014621
11、0 6022202(1)2于是 A 的初等因子是2( 1) 2,故 A 的若尔当标准形为10）设原矩阵为A，则8 30E A= 6 196 231 00 40 23 41 0 00 1 00 0 3 30设 3 30 8 =( 1)( 2)(141231119119981130146010020221940 2 215 42 483),则由“卡当”公式可解得1 3 4 .1016 3 4 .101634 J016234 .101623 4 .101634 1016其中1.3.i .22于是A的初等因子是为33,故A的若尔当标准形11）设原矩阵为A，则310 0410 0E A =7121761
12、10000 (1)2000621010(1)20O100002 2 100042106 11110000(1)2000001010 (1)2010 0 00 10 00 0 1 00 0 0 ( 1)410001100J =。0110001112）设原矩阵为A ,则12340123E A =00120001因为三阶子式无公共非零因式,所以EA的行列式因子为D3 =1,D 4 =EA(1)4，于是d 4 =(1)4,d3 =d2 =d1 =1,于是A的初等因子是（1）4,故A的若尔当标准形为因此A的初等因子是（1）4,故A的若尔当标准形为1 0001 100J =。_ 0 1100 011佝设原
13、矩阵为A则130826013EA =031312081000020230313021029 110000310020102102 1110100003000001003152 ,33 190100001000010000(1)(730)( 7 . 30)所以A的初等因子是1,1,73057,30,故A的若尔当标准形为10000100Jif 。007 3000007.3014）设原矩阵为A ,则100001000000EA0001于是 E A有一个n 1阶子式1)n1 ,所以E A的行列式因子为D 1 = D 2 =Dn1= 1 ,1 0Dn =0100000100n 1=(1)(0 00 00 010ai)( a?) ( an i),1,a1,a2,7a n 1，故A的若尔当标准形为100000a100000a200J =000an-200000a n-1其中1, ai,a2, ,an i是n个n次单位根，所以A的初等因子为注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得7.把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,留给读者作为练习。,试写出它们的有理标准形。
