1、第四章 图形的认识练习师第四章 图形初步认识（一）多姿多彩的图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆、多边形等. 主视图-从正面看 2、几何体的三视图 左视图-从左边看 俯视图-从上面看 （1）会判断简单物体（棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的. （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、平面展开图，根据展开图判断和制作立体模型. 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2、线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体. （2）点动成线，线动成面，面动成体.立体图形的展开图练习 想一想 下面图1中（1）（6）是否为正方体的展开图，如果是正方体的展开图，请把 3 、-1 、4 、-2 、7、-5这六个数字分别填入以下正方体的展开图的小正方形格内，使折叠成正方体后，正方体相对面的数字之和都等于2图1猜一猜请同学们猜想图2中哪一个可以折叠成多面体？并说出折叠出来的多面体名称练一练1、图3是一个自制骰子的展开图，请根据要求回答问题：（1）如果6点在多面体的底部，那么哪一点会在上面？（2）如果1点在前面，从左面看是 2
3、点，那么哪一点会在上面？（3）如果从右面看是4点，5点在后面，那么哪一点会在上面？ 图32、图4是几幅自制骰子的展开图，其中有两幅展开图不带骰子的圆点你能添上吗?图4 4、有一正方体木块，它的六个面分别标上数字16，图5这个正方体木块从不同面所观察到的数字情况请问数字1和5对面的数字各是多少？图5 （二）直线、射线、线段1、基本概念名称直线射线线段图形aBAaABaBA端点个数无一个两个表示法直线a直线AB（BA）射线a射线AB线段a线段AB（BA）作法叙述作直线a作直线AB；作射线a作射线AB作线段a；作线段AB；连接AB延长向两端无限延长向一端无限延长不可延长2、直线的性质经过两点有一条直
4、线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 3、画一条线段等于已知线段（1）度量法（2）用尺规作图法4、线段的长短比较方法（1）度量法（2）叠合法（3）圆规截取法5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.图形： A M B符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM.6、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.7、两点的距离连接两点的线段的长度叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）.8、点与直线的位置关系（1）点在直线上（或者直线经过点）（2）点在直线外（或者直线不经过点）.
5、 9、垂直平分线：垂直平分线上任意一点到该直线两端点的距离相等。 直线、射线、线段拓展1：经过平面上的4个点中的任意两个点画直线，可以画几条？最多可以画几条？（由于四个点的位置不同，会产生不同的结果）如图： 1条直线 4条直线 6条直线 （从而最多画6条直线）拓展2 经过平面上的n个点中的任意两点画直线，最多可以画多少条直线？有两种解释方式 第一种方式：（1）首先画2个点的情况； （2）再画3个点的情况； 最多可以画1条直线 最多可以画3条直线；（3）画4个点的情况： （4）当有5个点时： 最多有6条直线 最多有10条直线；观察上述点数和直线条数之间的关系，可以发现当有n个点时应有条直线第二种
6、：当n个点没有任意三点在一条直线上时，确定的直线最多，由于n个点中任意两条都可以确定一条直线，因此先任取其中一个点，则可以和剩余的（n1）个点画（n1）条直线，一共有n个点，所有可以画n（n1）条直线，有任意两个点重复一条直线，因此共可以画条直线拓展3： 直线上有n个点，则共有多少条线段？拓展4： 已知线段AB=10,点C在直线AB上，且AC=4,若点D是AB的中点，求DC的长可以考虑点C在A的左和右两种情况，当在左侧时，如图：此时AD =5,AC =4，所有DC9当点C在A右侧时，如图：此时AD =5,AC =4,所有DC =1教师活动设计：本问题主要考察学生对问题的理解，能否发现需要讨论的
7、事实，若不能发现教师可以适当提醒、启发，以达到解决问题的目的（1）当点C在点A左侧时，因为点D是AB的中点，所以AD=，又 AB10，所以AD=5，所以DC=AD+AC9， （2）当点C在点A右侧时，因为点D是AB的中点，所以AD=，又 AB10，所以AD =5，所以DC=ADAC1 两点之间线段最短的探究与思考探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示） 解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。如图所示。线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
8、（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。首先，作点B关于L的对称点（如图所示），因为L是BB的垂直平分线，所以PB=PB。因此，求AP+BP就相当于求AP+PB。例2：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。 探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。连接DE（如图所示），我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时
9、的周长是最短的。总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。下面我们看一看四边形一边确定。探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。（如图所示） 解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。如图。ABCD便是周长最小的。探究问题五： 求点A到点C的最短路径是那一条。（如图3-1） 图3-1 图3-2两条最短路径：ABCC和ACDC。还可以得出6条最短路径来 图3-3 图3-4 图3-5 分别为：ABCC、ACDC、ADDC、ABBC、AADC、AABC。那长方体的最
10、短路径呢？我们来看一下这题（如图4-1）从A到C，不经过ABCD和ABCD两面，怎样走最近？图4-1我们不如先不考虑第二个条件，从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同长方体各面不相等，因此我们需比较那条路径最短。观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就可以了（如图4-23）。解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得：= = = 2xy2xz2yz 平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图5-1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图5-2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB。图5-1 图5-2从
11、上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考。而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径。这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！ （三）角1、角：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（四种）：表示方法A图例记法适用范围用三个大写字母表示OBAOB或BOA任何情况下都适应。表示端点的字母必须写在中间。用一个大写字母表示AA以这个点为顶点的角只有一个。用数字表示11任何情况下都适用。但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母。用希腊字母表示3、角的度量单位及换算（度”、分”、秒”）60进制1=60=3600
12、， 1=60； 1=()， 1=()=()4、角的分类锐角直角钝角平角周角范围090=9090180=180=3605、对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向 延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。 两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。6、角的比较方法（1）度量法（2）叠合法7、角的四则运算：角的和、差、倍、分及其近似值8、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15的倍数的角，在0180之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.9、角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线（
13、若OB是AOC的平分线，则AOB=BOC=AOC, AOC=2AOB =2BOC）.性质：角平分线上的任意一点到两边的距离相等。10、互余、互补（1）若1+2=90，则1与2互为余角.其中1是2的余角，2是1的余角.（2）若1+2=180，则1与2互为补角.其中1是2的补角，2是1的补角.（3）1的余角可以用90-1表示；1的补角可以用180-1表示.（4）余角的性质：同角(等角)的余角相等；补角的性质：同角(等角)的补角相等11、方向角 （1）正方向（2）南或北写在前面，东或西写在后面12、注意： （1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可； （2）由
14、于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关； （3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍. 有关角问题的探究探究问题一：（1）从点O 引2条射线，此时图中共有多少个角？（2）引3条射线时，共有多少个角？（3）引n条射线，共有多少个角？于是，n条射线：123（n1）个角当有n条射线时，取其中任意条射线，与剩下的n1条射线组成（n1）角，共有n条射线，于是可以组成n（n1）个角，注意每一条射线重复了一次，所有当有n条射线时，共有个角问题9
15、：钟表在生活当中相当常见，瑞士的钟表更以其精密而文明世界.在钟表当中，时针与分针具有一定的关系，在不同的时刻它们有着一定的夹角，我们把这个夹角叫做钟面角，那么如何计算某一时刻的钟面角呢？研究在4时11分的钟面角（此时时针在分针的前面）钟面的数字是从1到12，共有12个大格，60个小格，而1周角=360度，所以钟面的每个大格对应360o12=30o，每个小格对应360o60=6o，于是我们可以计算在4时11分时，时针从数字12走到这个时刻时共走了（ 4+）30o =125.5o,分针从数字12走到11分共116o=66o所以时针与分针的夹角为（4+）30o -116o =59.5o当时针在分针的前面时，若时刻为m时n分则钟面角的计算公式为： 钟面角=（m +）300n60同样可以研究分针在时针前面时的钟面角为n6（m +）300
