1、高考数学理科一轮复习讲义第6章 不等式 第2讲第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲解读1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(重点)2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容预测2020年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题试题以客观题形式呈现，属中档题型.1二元一次不等式(组)表示的平面区域2线性规划相关概念3重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点
2、，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)不等式组表示的平面区域是()答案B解析x3y60表示直线x3y60及其下方部分，xy20表示直线xy2
3、0上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.(2)已知点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围为()A(7,24)B(，7)(24，)C(24,7)D(，24)(7，)答案A解析由题意可知(92a)(1212a)0，所以(a7)(a24)0，所以7a24.(3)已知实数x，y满足则zx2y的最小值为_答案5解析由题意可得可行域为如图所示(含边界)，zx2y，即yxz，则在点A处取得最小值，联立解得A(1,2)代入zx2y得最小值5.(4)(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_答案9解析不等式组表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C
4、(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数zxy的最大值在顶点A处取得，即当x5，y4时，zmax9.题型 二元一次不等式(组)表示的平面区域1若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()Aa B0a1C1a D00，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2答案A解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)当直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.角度3非线性目标函数的最值问题3已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范围解作出可行域，如图阴影部分所示通过联立方程，解得A(1,3)，B
5、(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方过点M作AC的垂线，垂足为点N，故|MN|，|MN|22.故z的最小值为.(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍因为kQA，kQB，所以z的范围是.求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方
6、程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题如举例说明3.对形如z(ac0)型的目标函数，可先变形为 z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等如举例说明3.对形如z|AxByC|型的目标，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线AxBy
7、C0的距离的倍的最值 1(2018北京高考)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_答案3解析x1y2x，等价于不等式组画出可行域如图，令z2yx，化为斜截式得yxz，直线斜率为，在y轴上的截距为z，直线越往下，z越小，z越小，由得最优解为(1,2)，所以z2yx的最小值为3.2(2018安徽皖江最后一卷)已知x，y满足条件则点(0,0)到点(x，y)的距离的最小值是_答案解析z，如图所示，原点到点P(1,1)的距离最小，且为 .3(2018福州五校二联)已知实数x，y满足若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数多个，则zxay的最大值为_答案解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部
8、分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.当a0时，yxz，作直线l0：yx，平移l0，易知当直线yxz与4xy80重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax3；当a0时，数形结合知，目标函数zxay取得最小值的最优解不可能有无数多个综上所述zmax.题型 线性规划的实际应用(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现
9、有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元答案216000解析设生产产品A x件，产品B y件，依题意，得设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E2100x900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则Emax216000.线性规划解决实际问题的一般步骤(1)能建立线性规划模型的实际问题给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少(2)解决线性规划实际问题的一般步骤转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化
10、为数学上的线性规划问题；求解：解决这个纯数学的线性规划问题；作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31200元 B36000元 C36800元 D38400元答案C解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为目标函数为z1600x2400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N时，取得最小值，由解得故N(5,12)，故zmin16
11、00524001236800(元)高频考点线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有三类：目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题典例1(2018吉林省实验中学模拟)已知x，y满足若zx2y有最大值4，则实数m的值为()A4 B2 C1 D1答案B解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x2y4，如图所示，结合图形可知，当且仅当直线2xym过直线x2y4与xy2的交点(0,2)时，才满足题意，于是有202m，即m2，选B.典例2(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_答案3解析作出可行域如图阴影部分由图可知目标函数在直线x2y40与x2的交点(2,3)处取得最大值3.
