1、考点整合与训练第十三章 选考部分第2节 第1课时 绝对值不等式第2节不等式选讲第1课时绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，b，cR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.知 识 梳 理1.绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab| |a|b|，当且仅当ab0时，等号成立；定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a
2、的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.3.|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.微点提醒1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.2.绝对值三角不等式|ab|a|b|
3、，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(选修45P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|x1|
4、x2|，存在实数解，则实数a的取值范围是_.解析由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，|x1|x2|的最小值为3，要使原不等式有解，只需|a|3，即a3或a3.答案(，33，)3.(选修45P20习题T7改编)不等式3|52x|1原不等式的解集为R，故选D.答案D5.(2019榆林二模)已知函数f(x)|x2|.(1)求不等式f(x)x240的解集；(2)设g(x)|x7|3m，若关于x的不等式f(x)0，解得x2，当x0，解得x2或x1.(2)问题等价于|x2|x7|9，m3.故实数m的取值范围是(3，).6.(2019东北三省三校模拟)已知不等式|2x5|2x1|ax1.(1)当a1时，
5、求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求a的取值范围.解(1)令f(x)|2x5|2x1|，则f(x)|2x5|2x1|因为a1，所以当x时，由4x4x1，解得x，当x时，由6x1，解得x，当x时，由4x4x1，解得x.综上得，所求不等式的解集为R.(2)由(1)作函数f(x)的图象，点A，令yax1，则其过定点P(0，1)，如图所示，由不等式|2x5|2x1|ax1的解集为R，可得4a，即4a.所以，所求实数a的取值范围为.考点一绝对值不等式的解法【例11】 (2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)时不等式f(x)x成
6、立，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)则当x1时，f(x)21恒成立，所以x1；当1x1，所以x1；当x1时，f(x)21的解集为.(2)当x(0，1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0，2.【例12】 (2019邯郸一模)已知函数f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若直线ykx2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围.解(1)由f(x)2，得或或解得0x5，故不等式f(x)2的解集为0，5.(2)f(x)|x4|x1|3作出函数f(x)
7、的图象，如图所示，直线ykx2过定点C(0，2)，当此直线经过点B(4，0)时，k；当此直线与直线AD平行时，k2.故由图可知，k(，2).规律方法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解【训练1】 (1)解不等式|x3|2x1|1.(2)(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.当a1时，求不等式f(x)0的解集；若f(x)1，求a的取值范围.解(1)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，
8、所以x3；当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，所以3x.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)2，所以x2；综上可知，原不等式的解集为.(2)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3.f(x)1等价于|xa|x2|4.又|xa|x2|a2|，且当x2或xa时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).考点二绝对值不等式性质的应用【例2】 (1)若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值.(2)若a2，xR，证明：|x1a|xa|3.(1)解由|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3
9、|y1|7，得|2x3y1|的最大值为7.(2)证明因为|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，即|x1a|xa|3成立.规律方法绝对值不等式性质的应用利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b，cR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可以证明不等式【训练2】 对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围.解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|(3a3b)|3a3b|a|36，则|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a
10、3b2|max6，m的取值范围是6，).考点三绝对值不等式的综合应用【例31】 (2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.【例32】 (2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.解(1)f(x)|x1|x2|
11、当x1时，f(x)31无解；当1x2时，2x11，解得x1，则1x1，若x(1，1)使f(x)x2mx3成立，求实数m的取值范围.解(1)f(x)|x1|xm|m1|，只需要|m1|2，m12或m12，所以实数m的取值范围是(，31，).(2)m1，当x(1，1)时，f(x)m1，不等式f(x)x2mx3，即mx2mx2，m(1x)x22，m，令g(x)(1x)2，01xa有解f(x)maxa.(2)f(x)a恒成立f(x)mina.(3)f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解【训练3】 (1)已知函数f(x)|xa|x3a|.若f(x)的最小值为2，求a的值；若对xR，a1
12、，1，使得不等式m2|m|f(x)9；设关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，BxR|2x1|3，如果ABA，求实数a的取值范围.解(1)|xa|x3a|(xa)(x3a)|2a|，当且仅当x取介于a和3a之间的数时，等号成立，故f(x)的最小值为2|a|，所以a1.由知f(x)的最小值为2|a|，故a1，1，使m2|m|2|a|成立，即m2|m|2，所以(|m|1)(|m|2)0.所以2m9，得2x39，解得x3；当5x9，得79，此时不等式无解；当x9，得2x39，解得x9的解集为xR|x3.因为ABA，所以BA.又BxR|2x1|3xR|1x2，关于x的不等式f(x)|x4|的解集为
13、A，所以当1x2时，f(x)|x4|恒成立.由f(x)|x4|得|xa|2.所以当1x2时，|xa|2恒成立，即2xa2x恒成立.所以实数a的取值范围为1，0.思维升华1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法2不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决易错防范1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.(1)求不等式|x1|x2|5的解集；(2)若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，求a的值.解(1)当x2时，不等式等价于(x1)(
14、x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2.(2)|ax2|3，1ax0时，x，且无解；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x，且，解得a3.2.已知函数f(x)的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x3|2x2n4.解(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以|x1|x3|m0恒成立，设函数g(x)|x1|x3|，则m不大于函数g(x)的最小值，又|x1|x3|(x1)(x3)|4，即g(x)的最小值为4.所以m4，故实数m的取值
15、范围是(，4.(2)当m取最大值4时，原不等式等价于|x3|2x4，所以或解得x3或x3.所以原不等式的解集为.3.已知函数f(x)|x1|x|a.(1)若a0，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x有三个不同的解，求实数a的取值范围.解(1)当a0时，f(x)|x1|x|所以当x1时，f(x)10，不合题意；当1x0时，f(x)2x10，解得x0，符合题意.综上可得f(x)0的解集为.(2)设u(x)|x1|x|，yu(x)的图象和yx的图象如图所示.易知yu(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与yx的图象始终有3个交点，从而1a0.所以实数a的取值范围为(1，0)
16、.4.(2019合肥质检)已知函数f(x)|x1|a(aR).(1)若f(x)的最小值不小于3，求a的最大值；(2)若g(x)f(x)2|xa|a的最小值为3，求a的值.解(1)因为f(x)minf(1)a，所以a3，解得a3，即amax3.(2)g(x)f(x)2|xa|a|x1|2|xa|.当a1时，g(x)3|x1|0，03，所以a1不符合题意；当a1时，同理可知g(x)ming(a)a13，解得a2.综上，a2或4.5.(一题多解)(2019济宁模拟)已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切
17、实数x恒成立，求实数m的取值范围.解法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，即g(x)minm，则m的取值范围为(，5.法二(1)同法一.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5).由|x2|x3|x2x3|5，当且仅当3x2时等号成立，得g(x)的最小值为5，从而，若f
18、(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立.则m的取值范围为(，5.6.(2018石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)|x1x2|y1y2|，已知A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三点.(1)若L(A，B)L(A，C)，求x的取值范围；(2)当xR时，不等式L(A，B)tL(A，C)恒成立，求t的最小值.解(1)由定义得|x1|1|x5|1，则|x1|x5|，两边平方得8x24，解得x3.故x的取值范围为(3，).(2)当xR时，不等式|x1|x5|t恒成立，也就是t|x1|x5|恒成立，即t(|x1|x5|)m
19、ax，因为|x1|x5|(x1)(x5)|4，当且仅当x5时等号成立，所以t4，tmin4.故t的最小值为4.能力提升题组(建议用时：20分钟)7.(2019江西分宜中学等九校联考)已知函数f(x)|2x|x3|.(1)若对于任意的实数x，都有f(x)2m27m成立，求m的取值范围；(2)若g(x)ax，方程f(x)g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.解(1)由于f(x)|2x|x3|所以f(x)的最小值为f(0)3.又因为对任意的实数x，都有f(x)2m27m成立，所以只需2m27m3，即2m27m30，解得m3，故m的取值范围为.(2)方程f(x)g(x)有两个不同的实数根，即函数
20、yf(x)与yg(x)的图象有两个不同的交点，作出这两个函数的图象，由图象可知，a的取值范围是(1，1)2.8.(2018西安模拟)已知函数f(x)|x2|，g(x)|x1|x.(1)解不等式f(x)g(x)；(2)若存在实数x，使不等式mg(x)f(x)x(mR)成立，求实数m的最小值.解(1)原不等式f(x)g(x)化为|x2|x|x1|，当x(x1)，解得x3，即3xx1，解得x1，即1x2时，x2xx1，解得x3，即x3.综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为x|3x3.(2)由mg(x)f(x)x(mR)可得m|x2|x1|，由题意知m(|x2|x1|)min，|x2|x1|x2(x1)|3，当且仅当1x2时取等号，m3，故实数m的最小值是3.
