1、一元一次方程应用题的解法一元一次方程应用题的解法一、直列法。即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。例1 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？分析：显然，人员调动完成后，甲处人数2乙处人数。解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：27+x=2(19+20-x)，解之得x1720-x20173（人）答：应调往甲处17人，乙处3人。二、公式法。学生熟识的公式诸如“路程速度时间”、“工作总量工作效率工作时间”、“利润售价进价”、“利润率利润/进价”等都是解答相关
2、方程应用题的工具。例2 商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？分析：根据利润率公式，列出方程即可。解：设最低可打x折。据题意有：5%=（2250x-1800）/1800，解之得x0.84答：最低可打8.4折。三、总分法。即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。例3 “过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子
3、老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄各部分年龄的和即可得出解答。解：设丢番图活了x年。据题意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x84答：丢番图共活了84岁。由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。四、同一法。这类题目的解题原理是：如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。例4 一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.
4、5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？（报信时间忽略不计）分析：该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。解：设学校到部队的距离是x千米。据题意得：(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，解之得：x15.5答：学校到部队的距离是15.5千米。当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程速度时间”。并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：解：设人员
5、分配后乙处人数为x人，甲处为2x人。分配后的总人数为27+19+2066人，据题意有：x+2x27+19+20，解之得x22，2x44，故442717（人），221939（人）答：应调往甲处17人，乙处3人。可见，方程应用题方法论的训练，不仅使大多数学生在解答相关问题时能“按图索骥”，而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义，使一题多解成为可能。分式方程应用题1)有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？（2）为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公
6、路，甲、乙两工程队承包此项工程如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成问原来规定修好这条公路需多长时间？（3）某人生产一种零件,计划在30天完成,若每天多生产6个,则25天完成且还多生产10个,问原计划每天生产多少个零件?（4）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数（5）市某乡
7、积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修若甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元若只选一个公司单独完成从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理由（6）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_小时。（7）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，求原计划每天挖多少米？（8）为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施
8、工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？（9）某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?（10）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?应用题归纳1. 列方程解比较容易的两步应用题(1)列方程解应
9、用题的步骤弄清题意，找出未知数并用x表示；找出应用题中数量间的相等关系，列方程；解方程；检查，写出答案。(2)列方程解应用题的关键弄清题意后，找出应用题中数量间的相等关系，恰当地设未知数，列出方程。(3)运用一般的数量关系列方程解应用题列方程解加、减法应用题。如：甲乙两人年龄的和为29岁，已知甲比乙小3岁，甲、乙两人各多少岁？数量间的等量关系：甲的年龄 + 乙的年龄 = 甲乙二人的年龄和解：设甲的年龄是x岁，则乙的年龄为：(x+3)岁。x+(x+3)=29x+x+3=292x=29-3x=26 2x=13甲的年龄13+3=16(岁)乙的年龄答：甲的年龄是13岁，乙的年龄是16岁。列方程解乘、除
10、法应用题。如：学校图书馆买来故事书240本，相当于科技书的3倍，买来科技书多少本？科技书的本数 3 = 故事书的本数解：设买来科技书x本3x=240x=80答：买来科技书80本。(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系，列方程解应用题一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。( 长 + 宽 ) 2=周长解：设宽是x米，则长是(1.4x)米。(1.4x+x) 2=2402.4x=240 2x=120 2.4x=50长方形的宽50 1.4=70(米) 长方形的长70 50=3500(平方米)答：长方形的面积是3500平方米。三角形ABC中，角A是角B的2倍，角A
11、与角B的和比角C小18。求三个角的度数。这是一个什么三角形？角A + 角B + 角C = 180度解：设角B是x度，则角A是(2x)度，角C是(2x+x)+18度。2x+x+(2x+x)+18=1806x+18=1806x=180-18x=162 6x=27角B的度数27 2=54(度)角A的度数54+27+18=99(度)角C的度数答：角A是54度，角B是27度，角C是99度。因为：角B角A角C，90角C180，所以这个三角形是钝角三角形。一个两位数，十位数字与个位数字的和是6。若以原数减去7，十位数与个位数字相同，求原数。十位上的数字 个位上的数字解：设原数的个位数字为x。则原数十位上的数
12、字为：6-x；若从原数中减去7，则个位上的数字变为：10+x-7、十位上的数字变为：6-x-1。6-x-1=10+x-75-x=3+x2x=2x=1原数的个位数字6-1=5原数的十位上的数因此，原数是：51。2列方程解二、三步计算的应用题广水电影院原有座位32排，平均每排坐38人；扩建后增加到40排，可比原来多坐584人。扩建后平均每排可以坐多少人？解：设扩建后平均每排坐x人。x 40-38 32=58440x-1216=58440x=584+1216x=1800 40x=45答：扩建后平均每排可以坐45人。3列方程解含有两个未知数的应用题某班学生合买一种纪念品，每人出1元，多4元6角；每人出
13、9角，就差5角。求这件纪念品多少钱？这个班共有多少名学生？解：设这个班共有x名学生x-4.6=9 10 x+5 10x-4.6=0.9x+0.50.1x=5.1x=51这个班学生人数51-4.6=46.4(元) 纪念品的单价答：这件纪念品46.4元；这个班共有学生51名。4.用方程解和用算术法解应用题的比较用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别，它们之间的主要区别在于思路不同。用方程解应用题，要设未知数x，并且把未知数x与已知数放在一起，分析应用题所叙述的数量关系，再根据数量关系和方程的意义，列出方程式。用算术法解应用题，要把已知数集中起来，加以分析，找出已知数与未知数之间的联系，列出算式
14、表示未知数。例如：小华身高160厘米，比小兰高15厘米。小兰的身高是多少厘米？用方程解：解：设小兰的身高x厘米160-x=15x=160-15x=145或：x+15=160x=160-15x=145用算术法解：160-15=145通过比较，同学们可以看出，这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式之中。列算术式，是根据题中的条件，由已知推出未知，用已知数之间的关系来表示未知数。未知数是运算的结果，已知与未知数用等号隔开。列方程式，是根据题目叙述的顺序，未知数参加列式，未知数与已知数用运算符号相连接，从整体上反映数量关系的各个方面，所以，解题方式灵活多样，适用面广，用来解答那些反叙的问题更显得
15、方便。【典型例剖析】例1 甲乙两桶油，甲桶里有油45千克，乙桶里有油24千克，问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里，才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍？分析：根据变动以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”，可以列出等量关系式：现在乙桶里油的重量 1.5 = 现在甲桶里油的重量设从甲桶里倒x千克的油到乙桶里，那么，现在甲桶里的油是(45-x)千克，现在乙桶里的油是(24+x)千克。解：设从甲桶里倒x千克油到乙桶里。(24+x) 1.5=45-x36+1.5x=45-x36+1.5x+x=4536+2.5x=45x=(45-36) 2.5x=3.6答：从甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里，才能使甲桶
16、里油的重量是乙桶的5倍。例2 一位三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？分析：原三位数中只知道个位数字，百位和十位上的数字都不知道。如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，则原三位数可表示为“10x+5”，那么新数就可以表示为“5 100+x”。解：设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，可得方程：10x+5=5 100+x+10810x-x=500+108-59x=603x=6710 67+5=675原三位数答：原三位数是675。例3 某校附小举行了两次数学
17、竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？分析：本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数，而第二次的参赛人数与第一次参赛人数有直接关系的条件，总人数又不变。所以我们设第一次参赛的不及格人数为x人，那么第一次参赛及格的人数可以用“(3x+4)”人来表示，总数是(4x+4)人，第二次参赛及格的人数是(3x+4+5)人，不及格的人数是(x-5)人，根据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”，这一等量关系，可列方程。解：设第一次参赛不及格的人数为x，依据题意可得方程：3x+4+5=(x-5) 63x+9=6x-303x=39
18、x=13则 4x+4=13 4+4=56参加竞赛的人数答：参加竞赛的有56人。【易错题解举例】例1 吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？错误：设经济作物有x公顷x=(84-2)4x=824x=20.5答：经济作物有20.5公顷。分析：这题列出的式子是一个算术式，不是方程。错误在于没有弄清方程和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数，如本题的“x=(84-2) 4”；而在方程里，未知数则是参加运算的，本题中的“x”则没有参加运算。改正：设经济作物有x公顷4x+2=84(或4x=84-2)4x=82x=20.5答：经济作物有20.5公顷。
19、例2 食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？错误：设每天比原计划节约x千克28x=210 24x=180210-180=30(千克)答：改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。分析：题中所设未知数x与方程式中的x所表示的意义不同。题目中的方程式的“x”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”，并不表示“节约”的数。本题可以采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。改正：(1)间接设未知数解：设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约(210-x)千克。28x=210 2428x=5040x=180210
20、-x=210-180=30(2)直接设未知数解：设改进炉灶后平均每天比原计划节约x千克。(210-x) 28=210 24210-x=180x=210-180x=30答：改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。例3 王兰有64画片，雷江又送给她12，这时王兰和雷江的画片数相等。雷江原有画片多少？(用方程解)错误：设雷江原有画片xx-12=64x=76分析：雷江送12画片给王兰后，两人的画片数才相等。也就是说，雷江减少12，王兰增加12之后，他们的画片数才同样多。此解法把等量关系弄错了，误认为雷江的画片减少12后与王兰原有的画片数相等。改正：设雷江原有画片x。x-12=64+12x=76+12x
21、=88答：雷江原有画片88。【解题技巧指点】1. 列方程解应用题时，往往列出来的是一个算术式，误以为是方程。如：广水市吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？解：设经济作物有x公顷x=(84-2) 4x=82 4x=20.5答：经济作物有20.5公顷。本题中的“x=(84-2) 4”是一个算术式。出现上述错误，原因在于没有弄清方程式和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数；而在方程里，未知数则是参加运算的。本题的方程应该列为：4x+2=84或4x=84-2或84-4x=22按照题意，恰当地设未知数。如：第一教工食堂运来一批煤，原计划每天烧
22、煤210千克，可烧24天，改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？设未知数时一般有两种方法：一种是直接设未知数为x，题目中问什么，就设什么为x；另一种是间接设未知数为x，再通过这个量与所求问题的关系，求出应用题中要求的未知量。如果按直接设未知数为x的方法解答，那么本题中所列方程应该是：解：设每天比原计划节约x千克煤(210-x) 28=210 24210-x=180x=210-180x=30如果采用间接设未知数x的方法：解：设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约(210-x)千克。28x=210 24x=180210-180=30(千克)答：每天比原计划
23、节约30千克。解一元一次方程应用题的方法一一般在解决问题时第一步就是要设出未知数,未知数的设法主要有以下几种:1,有比较关系时,如甲比乙多8,我们一般设较小的为X,这样计算时主要用的是加法不易出错;2,有倍数关系时,如数学小组人数是英语小组的5倍,我们设一倍量为X,用乘法表示其余量利于计算;3,在分数应用题中,我们设单位1为X,4,在有比的问题中,我们设一份数为X,5,在有和的问题中,我们设其中任意一个为X都可以,比如说两个班共有50人.解应用题的基本步骤有:1,依据题目要求设出合适的未知数;2,根据题目实际情况找出等量关系,用文字关系式表示出来;3,依据等量关系,把关系式中的每一项用数或者未
24、知数表示出来列出方程;4,解方程,依据题目问题计算;5,把方程的解代入原题目检验.其中的难点是第二步,找出等量关系,有些题目中的关系是比较明显的,而有的则是隐含的,需要大家去用心体会,下面我给大家示例两题:1: 爷爷与子下棋，爷爷赢一盘记1分，子赢一盘记3分，两人下了12盘（未出现和棋）后，得分相同，他们各赢了多少盘？分析:属于和的问题,所以任意设一个为X,设爷爷赢了X题,则子赢了(12-X)盘,题目中的等量关系是爷爷得分=子得分,爷爷得分用X表示,子得分用3(12-X)表示,所以本题方程为 X=3(12-X),解之得X=9,则12-X=12-9=3,所以爷爷赢9盘,子赢3盘.2:在一只底面直径为30cm，高为8cm，的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10cm的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？分析:本题没有明显类型所以直接设问题,设圆柱形容器中的水有X厘米,题目中的等量关系是隐含的,是圆锥形容器中的水的体积=圆柱形容器中水的体积,分别表示后有方程1/3*3.14*(30/2)(30/2)*8=3.14(10/2)(10/2)X,解之得X=24.
