1、届高三第一轮数学复习复数doc复数【基础知识】一.复数的概念内容意义备注复数的概念形如a +仞(aW R6E R)的数叫复数共中 实部为今虚部为。若6=0,则a+ln为实数;若a = 0且IV则al)为纯虚数复数相等a bi = c + di a = c 且b = d实部与实部、虚部与虚部对应相等共辄复数ci+ bi 与 c 4- d 共牠Ua = c 且 b = _ d(u, b. c、d R)实数的共牠复数是它本身内容意义备注复平面建立平面直角坐标 系来表示复数的平 面叫做复平面工轴 叫实轴，轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除 了原点外虚轴上的点都表 示纯虚数乞象限内的点都 表示虚数复数设(
2、龙对应的复数为 z = a + h.则向竝 的氏度叫做复数N = a + bi的模的模I z = | a+i| = Ju1 + G二、复数的几何意义1复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点。为起点的向量组成的集合也是一对应的,即(1) (2)复数z=a+b(a, bwR)二ZlAt应*平面向量0Z.复数z=a+b 对应A复平面内的点Z(a,b)(a, Z?eR).2复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义：若复数zi ,辺对应的向量0兀近不共线，则复数右+辺是以茗,堰 为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.(2 )复数减法的几
3、何意义：复数z1-z2OZ1-OZ2 = Z2Z,所对应的复数.三.复数的代数运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z=a + bi, z2 =c + dl(a,b,c,dw R),则1 加法：Z + z? = (o + /?i) + (c + di) = (d + c) + (/? + d)i ;2 减法:Z _z? =(a +方i)_(c + di) = (a_c) + (b_)i ;乘法：Z 2r2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ;除法：三二Z2d + bi (a + bi)(c-di) cic + bd + (
4、bc 小= =- = 厂亠 (c + diHO).c + di (c + di)(c - di) c1 + d (2) 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何N1 , G /丘C ,有Z| + Z? = Z2 + Z|,(可+ Z? ) + Z3 = Z| +(Z? + Z3 )(3) 复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意N1迈ZGC有召z1(z2 + z3) = z1z2 + zIz3.2常用结论. 1 + i 1-i(1)(1土i)2i ；IT?i ；市=-(2 ) -b + ai = i(a + bi).(3 ) i4w = 1, i4n+
5、, = i,严卄2 = _i,严卄3 = _i(nG n J .(4)( +j4“+i +f“+2 +卄3 nJ (5 )模的运算性质:|z|2=|z|2=z-z ;忖勾日引窗；|Z2 Z2 * Z1 X Zi * Z2 ) Z3 = Zr ( Z2 * Z3 ) I Z| | |22 I【知识运用】考向一复数的有关概念【答案】【变式】1 .若2 =些，贝愎数=()A. 2 i B 2 + i C. 2 / D. 2 + i【例1】复数z =匕2( i为虚数单位)的虚部为(【答案】D【解析】= = + z故选D.i i2 .已知复数z二(1 + i)(2 +引)(i为虚数单位)，则z的共觇复数
6、乏=()A. 1 + i B. 1-iC. - 5 + i D. -5-i【答案】D【解析】因为 z=(l + i)(2 + 3i) = (2 3) + (2 + 3)i = 5 + i , r.z=-5-i，故选 D.3i是虚数单位，复数蛙等于()-iA. l + 2i B.2 + 4iC. 1 2i D. 2 - i【答案】A考向二复数的几何意义【例2】已知复数z满足z(2-i) (i为虚数单位)，则|z|等于A. 2 B. V5 C. 5 D. 8【答案】B【解析】因为z“(2 i) = l + 2i,所以忖= 7471=75，故选B.【变式】1复数z = |(V3-zj/| + r,8
7、 (i为虚数单位)，则忖=()A. 2 B. V3 C. 1 D. V2【答案】C【解析】z = |l + V3i| + i2016+2=2 + i3 =2-1 = 1考点三象限问题【例3】复数厶一严7在复平面内对应的点在14-ZA. 1-/ _ 1 3.(l + z)(l-/)_Z-22Z第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限倭数1:厂-严17在复平面内对应的点在第四象限故选D.【变式】1、若复数Z满足z（-l + 2i）=|l + 3汗（i为虚数单位），则复数Z的共觇复数为（）【答案】D【解析】复数右4A. -2-4i B. -2 + 4/ C. 4 + 2/ D. 4-2i【
8、答案】B【解析】由z（-1 + 2归1 + 3讦，得z =黑=（_鳥）：2旷=亠组，则复数Z的共觇复数为-2 + 4i .故选：B .2 在复平面内，复数可和Z2对应的点分别是A（2,l）和B（O,l）,则三=（）Z2A. 1 2/ B. l + 2i C. 1 2z D. l + 2i7 0 -i- /【答案】c【解析】由复数召和Z2对应的点分别是A（2,l）和B（O,1）得：Z严2 + i , S=i，故4 = =1-2/ , - z2 I故选C.3若复数z满足z（2-z） = l + 7z，则z =（）A. a/5 B. V10 C. 2V2 D. 2【答案】B 解析】穿冑嚮十 R考点四
9、数的分类【答案】c【解析】A. z(1 + /)2=/(2z) = -2 ; B、上心= - = -2 ；所以纯虚数的是C。故选C。 i i2 + 4/關已知，是虚数单位，吐百 廐的共嗨n在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】“帚-寻二字二警U一加=2 + ,所期应点在第-象限故选A2已知Z是纯虚数，若（G + i）Z二引1 ,则实数0的值为（）A. 1 B. 3 C. -1 D. -3【答案】B【解析】由题意，设z = bi, beR/.(tz + z)-bi = 3z-l，即abi-b = 3z-l ,b = 1 c ，Q = 3故
10、选：Bab = 3B . 1-iC-1+iD . -1-i【答案】Dric-1 (l + i) (l + i) l + i+2i 站汪 c【解析】才一 =才*(1 + 1)J / (l + i) = _l_i，故选D.(1一1) (1一1) l + r-2i【变式】1复数z = -4t ( i是虚数单位)的共觇复数乏=( )2 + rA. 2-i B. 2 + i C. -2-i D. -2 + i【答案】A【解析】由题可得：z = - = 2 + zz=2-z2-i【课堂练习】1.若复数z满足(2-i)z = i f其中i为虚数单位，则三= 1 2【答案】-i-z2 .已知复数z = 严，其
11、中，是虚数单位,则z的实部是 1-13 .复数z = (1 + 20 (3 0 ,其中i为虚数单位，则z的虚部为 【答案】5【解析】因为z = (l + 2/)(3-z)=5 + 5z-，所以z的虚部为5.4 已知理*为虚数单位若它为纯虚数则。的值为2-i 已知为虚数单位则ITT2_ J(2_i)(l_i)二 l_3i7+7- (l + z)(I-z)6 .若复数z满足4i）z二4+犬则z|二 A . 3-4iB . -3 + 4i【答案】1【强化练习】1 已知i为虚数单位,则复数上12 .已知复数z = i（4-3i2017）,则复数z的共觇复数为C 4 3i D . -4-3i3 .复平面
12、内，复数（1 +的0对应的点位于A第一象限 B第二象限C.第三象限 D.第四象限4 .已知复数z = 土艺，则复数z的虚部为4 + 7165476547.165A.第一象限C.第三象限6下列命题中为真命题的是A实数不是复数C. 1 + V3i不是纯虚数B第二象限D.第四象限B . 3 + i的共觇复数是-3-iD . zz = z5 .如果复数z = sin& + icos&在复平面内对应的点位于第四象限，那么角&所在的象限是7.已知z = /_i + （加2_3 + 2）i（応R,i为虚数单位），则m = -V是z为纯虚数的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也
13、不必要条件8 .若复数罕21-1（i为虚数单位）为实数，则实数加等于D -2C -19 若i为虚数单位，z = ,则|z|二1+1A . 410 设为实数，若复数上呂= l + i，则A a = ,h = 2 21 3C . a = ,b = D . a = l,b = 32 2a 2 - i口已知复数Z = o. + / 的实部与虚部的和为2 ,则实数a的值为2-1 5C . 2 D . 312 若复数Z|,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，召=2-i ,则Z| 3二A . 一5 B . 5D . -4-i13 .已知i为虚数单位,则下列各式计算错误的是A . i20171 + i=-i1
14、-i14.若原命题为：若 Z2为共觇复数，则Z| = zj ,则该命题的逆命题.否命题、逆否命题真假性的判断依次A 真真真C 假假真D .假假假a ex妙=1 ; 万=1 ; 万；刃+ 0=2./有下列四个结论:15 对于两个复数其中正确的结论的个数为16 3-4i5i17 已知i为虚数单位，复数z =上却，则复数z的实部是 1 -11 X18 设xwR , i为虚数单位，且 .+ ,gR ,ix= .1+i 1-i19 .若复数z严G + 2i4 =2 + i（i是虚数单位），且卒2为纯虚数，则实数Q二 .20 .已知复数z = （兀R）是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数。的取
15、值范围是【高考真题】1 . （2017年高考新课标I卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是A . i(l+i)2 B . i2(l-i)C (1+i)2 D . i(l+i)2 . ( 2017年高考新课标II卷)(1 + i)(2 + i) =A . 1-i B . l + 3iC . 3 + i D . 3 + 3i3 复平面内表示复数z = i（-2 + i）的点位于A第一象限 B第二象限C. 第三象限 D.第四象限4 . （2017年高考北京卷）若复数（l-i）（d + i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数刁的取值范围是C . （1 z +oo） D . （-1 f +oo）5 . （
16、2016年高考新课标I卷）igd + 2i）（6/ + i）的实部与虚部相等，其中日为实数，则b二A . -3 B . -2C . 2 D . 36 . （2016年高考新课标II卷）设复数z满足z + i = 3-i，则：二A . 一l + 2i B . l-2iC . 3 + 2i D . 3-2i7 . （2017年高考山东卷）已知i是虚数单位，若复数z满足zi = 1 + i ,则才二A . -2i B . 2iC-28 . （2017年高考江苏卷）已知复数（1 + i）d + 2i）,其中i是虚数单位，则z的模是.9（2017年高考浙江卷）已知a, bER , d + biF =3
17、+ 4i （i是虚数单位）则/ +b = , ab=. . ci 10 （2017年高考天津卷）已知兀R , i为虚数单位，若厂 为实数，则d的值为 2 + 1【强化练习参考答案】1=(1 + 1) = -1 + 1=_. + 1，故选 b 1= 2_2i 二(2_2i)(l_i)=_4i l + i - (l + i)(l-i) 2z=2r故选C.a i 2-i_o(2 + i)( 2-i_(2d + 2)( (a-l)iI I I2a + 2 d 1 1 5 5B.5复数z = sin& + icos0在复平面内对应的点P(sin&,cos&)位于第四象限J：；：，二角&所在的象限是第二象
18、限.故选B.【解析】逐一考查所给的选项：对于选项A,实数是复数，原说法错误；对于迭项B, 3+i的共觇复数罡3-i,原说法错误; 对于选项C, 1 + J5i不罡纯虚数，原说法正确； 对于选项D, zTz2,原谢去错误.故选C.7当加=一1时，z = (-l)2-l + l(-l)2-3x(-l) + 2Ji = &是纯虚数充分脱立，当加2 1=0, /解得加=-1,必要14成立，加=一1是Z为纯虚加23加+ 2工0数的充分必要条件，故选C.11 . = + +=-2-i5 5 5 512.复数21 ,辺在复平面内的对应点关于实轴对称,Z| =2-i , .-.z2 =2 + i , 则召 Z
19、2 = (2-i)(2 + i) = 2? +卩=5 .本题选择B选项.13 .【解析】i20,7=i504x4+1 =i , (i + l)i = 1 + i , M = + ? + ?=刍日,2 + i=V47T = V5 , l-i (l-i)(l + i) 2故选C.14 【答案】C15 【答案】(1 Q3131宀0 ,故应填(0,+oo).【高考真题】1. c【解析】由(i + i)2 =2i为纯虚数知选C2 . B 由题意(l + i)(2 + i) = 2 + 3i + =l + 3i ,故选 B.3 . c z = i(-2 + i) = -1 - 2i ”则表示复数z = i
20、(-2 + i)的点位于第三象限.所以选C.5 . (1 + 万)(a + i) = d 2 + (1 + 2d)i t 由已知)得a 2 = 1 + 2a )解得a = 3 ,选 A.6由z + i = 3 i得z = 3 2i ,所以： = 3 + 2i ,故选C7 .由 zi = l + i得)2=(l + i)2，即一z2 = 2i，所以z2 = -2i，故选 A.8.価 |z| = |(l + i)(l + 2i)| =卩+ i|l + 2i|二血x亦二你，故答案为 9.5,2丄C5 i 为实数，则 = 0,。= 一2 .呻门 Q i (q i)(2 i) (2a 1) (a + 2)i 2a 1 a + 2 io = 2 + i (2 + i)(2-i)
