1、高中数学 63不等式的证明第五课时 大纲人教版必修2019-2020年高中数学 6.3不等式的证明（第五课时） 大纲人教版必修教学目标(一)教学知识点证明不等式常用的其他数学方法:(1)分析综合法;(2)反证法;(3)判别式法;(4)换元法;(5)放缩法;(6)数学归纳法等.(二)能力训练要求1.掌握比较法,综合法、分析法的综合运用.2.理解掌握分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等证明不等式的基本原理和思路.(三)德育渗透目标1.激发学生学习兴趣、求知欲望,养成良好的数学思维品质.2.培养学生联系变化的观点和应用数学的意识.3.培养学生严谨周密的逻辑推理能力.4.培养学生
2、的创新意识和不断探求新问题的能力.教学重点分析综合法的基本思想是从命题的两头向中间“挤”来论证数学命题;反证法的基本思想是通过否定结论,导出矛盾,从而肯定结论;判别式法:对于含有两个或两个以上字母的不等式,若能够整理成一边为零,另一边为关于某个字母的二次三项式,若该二次三项式的判别式小于零,则该二次三项式在二次项系数大于零时,恒大于零;若二次项系数小于零时,二次三项式恒小于零;换元法:若原不等式的代数式,经过适当的三角换元,或代数换元,使证明过程简化时,则可通过换元法去证明之;放缩法:借助不等式的传递性,要证明AB,只须证得AC,CB方可,或借助其他途径放缩,如利用函数的单调性证明;数学归纳法
3、:是证明与自然数有关命题的一种重要的数学方法.教学难点分析综合法关键在于如何缩短“条件”与“结论”之间的距离;反证法证题的核心在于依据假设找矛盾;判别式法要注意根的范围和题目本身的条件限制;换元法,要注意换元的等价性,如a+b=1,a,bR,则不可换为a=cos2,b=sin2,必须在a0,b0时,才可以这样换;放缩法,有时需舍去一些正项或负项,要舍得恰到好处;数学归纳法要注意它的步骤格式.教学方法讲练结合法,即通过典型例题的分析讲解,结合课堂练习,使学生掌握不等式的其他证明方法,以致于提高灵活应变的解题能力.教具准备幻灯片三张第一张:例题(记作6.3.5 A)1.已知0a0,b0,且bN+,
4、证明.6.用放缩法证明下列不等式:(1)若nN,n2,则logn(n-1)logn(n+1)0),则tan2(-).(3)已知a0,b0,c0,d0,求证:10,求证:.3.已知a,b,c,dR,a+b=c+d=1,且ac+bd 1,求证:a,b,c,d中至少一个是负数.4.设x,y,zR,求证:x2-xz+z2+3y(x+y-z)0.第三张：课后作业(记作6.3.5 C)1.如果a,b,c,x,y,zR,且满足关系式:ac-b20,az+2by+cx=0,xyz0,求证:xz-y20,b0,c0,且a+bc,求证:.3.若0a,k2(kN),且a2a-b,求证:b3mx-m2.5.设abc,
5、且a,b,c满足等式a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求证:(1)1a+b (2)a2+b21.教学过程.课题导入师前一段时间,我们共同探讨学习了证明不等式的几种基本方法:比较法、公式法、综合法、分析法.今天,我们继续探讨学习证明不等式的其他常用的数学方法,如分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等等.这节课,我们要通过对下面典型例题进行讨论和认真剖析,使大家在理解的基础上,掌握上述其他常用证明方法的基本思想和证题步骤.讲授新课(打出幻灯片6.3.5 A,学生阅读题目,教师根据自己学生的特点和针对教学情况,选定4至5个例题,和学生共同分析剖解,以达到本节教学目的)师下面,
6、我们共同来探索研究不等式的证明.例1已知0a1,且x2+y=0,求证:loga(ax+ay)loga2+.师生同议由于0a0,ay0 由已知y=-x2代入式右边得:ax+ay2a0a1,由对数函数的性质可知:loga(ax+ay)loga(2a)=loga2+=loga2-(x-)2+loga2+ 两式中等号成立的条件是:这与已知x2+y=0矛盾.两式中等号不同时成立.故loga(ax+ay)loga2+成立.师生共析本题中,如果缺乏了前面的分析转化,我们定会感到不知从何下手,从这里我们也体会到,分析法与综合法联用,对处理综合性较强的问题是非常有效的.例2已知a,b,c(0,1),求证:(1-
7、a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.师生同议此题如果直接用综合法从正面去证明结论成立,即三个代数式的值不都大于,则需考虑7种情况.但其反面只有一种,因而就比较容易证明.因此,本题易于用反证法.证明:假设三式均大于,即0a0即1-a+b1b-a0 同理可证:c-b0 a-c0 由+得:00,矛盾.所以假设不成立,故原命题成立.师生共析反证法是证明不等式的常用方法之一,反证法常用于证明:(1)难于直接使用已知条件导出结论的命题.(2)惟一性命题.(3)“至多”或“至少”性命题.(4)否定性或肯定性命题.例3已知x2-2xy+y2+x+y+1=0,求证: .师生同议本题题设是关于x,y的二
8、元二次方程,若令t=,并代入已知式，则可得到关于x的二次方程，故可考虑运用判别式法.证明:令t=,则y=tx,将其代入已知式得:x2-2xtx+t2x2+x+tx+1=0即(t-1)2x2+(t+1)x+1=0(1)当t=1时,13 不等式成立.(2)当t1时,xR,其判别式0即(t+1)2-4(t-1)20(t-3)(3t-1)0解之得: t3不等式成立.师生共析此题使用判别式法,首先应构造出一个一元二次方程,这时若二次项系数含有参数时,要注意讨论.例4已知-1x1,n2且nN,求证:(1-x)n+(1+x)n2n师生同议因为-1x1,这与正弦、余弦的值域一致,考虑到目标不等式左边有1+x与
9、1-x,故可运用二倍角余弦公式进行化简,从而采用三角换元法证明.证明:-1x1,故可设x=cos2,(0)则1-x=1-cos2=2sin2,1+x=1+cos2=2cos2n2,且nNsin2n-21,cos2n-21sin2nsin2,cos2ncos2(1-x)n+(1+x)n=2nsin2n+2ncos2n2nsin2+2ncos2=2n故原不等式(1-x)n+(1+x)n2n成立.师生共析有些不等式证明问题中,含有一些特殊的条件及特殊的运算关系,这些条件或运算关系,恰好满足三角关系,则可采用三角代换法证明.以下是几种常见的三角代换法.(1)若题目中含有|a|1,则可设a=sin,(-
10、 或设a=cos,0).(2)若题目中含有a2+b2=1,则可设a=cos,b=sin,其中00,y0),则可设x=rcos2,y=rsin2,其中(0, ).(6)若题目中含有a2+b2=m2(m0),则可设a=mcos,b=msin,其中00,b0且nN*,证明.师生同议用数学归纳法证明不等式,要注意步骤格式,在假设n=k+1(kN*)时,如何确定增加的项.证明:(1)当n=1时,左边=,右边=不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即.则当n=k+1时,(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(a-b)(ak-bk)又a0,b0(a-b)(ak-bk)0akb+abkak+1+
11、bk+1.n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)得,对于nN*有.师生共析用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确;(2)假设当n=k(kN*且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.例6用放缩法证明下列不等式:(1)若nN,n2,则logn(n-1)logn(n+1)0),则tan2(-)；(3)已知a0,b0,c0,d0,求证:1B,BC,则AC;A=B,BC,则AC;AB,B=C,则AC.证明:(1)nN,且n2logn(n-1)0,l
12、ogn(n+1)0,且logn(n-1)logn(n+1)logn(n-1)logn(n+1)2=logn(n2-1)20,b0,c0,d0,则将以上各式相加得:即:12成立.师生共析用放缩法证明不等式时,经常用到如下放缩技巧:(1)适当增加或舍弃一些正项或负项,或非正项或非负项.如A+a2A,B-|a|b.(2)若分式的分子、分母均为正数,则可把分式的分子或分母适当放大或缩小,以达到对分式放缩的目的,如本例中第(3)题的证明.(3)利用已知不等式进行放缩,如本例中第(1)、(2)题的证明,使用了均值不等式进行放缩.(4)利用函数的单调性进行放缩,如本例中第(1)题的证明,用到了对数函数的单调
13、性.(5)利用基本函数的值域进行放缩.如:|sinx|1,|cosx|1等等.课堂练习(打出幻灯片6.3.5 B,在教师指导下,学生有步骤地进行练习,以达到巩固用换元法、放缩法、反证法、判别式法证明不等式的目的,提高学生分析问题和解决问题的能力)1.已知x2+y2=1,求证:|x2+2xy-y2|.分析:常见的换元形式有:x2+y2=a2,可令x=acos,y=asin;x2+y21,可令x=tcos,y=tsin(|t|1);|x|0,求证:.分析:考虑到ABC的三边a,b,c均为正数,且m0,由目标不等式形式可联想采用放缩法.在目标不等式左侧的两个分式的分母上分别加上正数b、a,使分式的值
14、得以缩小,以达到证题目的.证明:a,b,c分别是ABC的三边长,a+b+c0.令a+b=c+k(k0),且m0即命题得证.3.已知a,b,c,dR,a+b=c+d=1,且ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少一个是负数.分析:题目中a,b,c,d中至少一个是负数的情况较多,而其反面却只有一种情况,故考虑用反证法证明.注意反证法也是证明不等式的重要方法.证明:假设a,b,c,d全部是非负数,a+b=c+d=1(a+b)(c+d)=1即(ac+bd)+(ad+bc)=1.又ad+bc0,ac+bd1这与已知条件ac+bd1矛盾,假设错误.故a,b,c,d中至少一个是负数.4.设x、y、zR,求证
15、:x2-xz+z2+3y(x+y-z)0.分析:本题的一个显著特点是变元多,关系杂,为此就需要以一个变元为主元,其他变元为辅元,运用函数的观点来考虑,结合判别式证得结果.证明:令f(x)=x2+(3y-z)x+z2+3y2-3yz考虑判别式=(3y-z)2-4(z2+3y2-3yz)=-3y2-3z2+6yz=-3(y-z)20f(x)0故命题得证.注意:在不等式中,当字母为实数时,如果能设法构造一个函数或方程,就可以把不等式的证明转化为函数或方程的研究,这是一种重要的观点性方法.课时小结本节课,我们在前面学习证明不等式的基本方法(如比较法、公式法、综合法、分析法)的基础上又学习了证明不等式的
16、其他常用数学方法,如:分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等等.这就启示我们:具体问题具体分析是证明不等式的精髓,灵活地选用证明方法是证明不等式的技巧、联系和联想是证明不等式的重要观点,提高思维推理能力是证明不等式的落脚点.课后作业(打出幻灯片6.3.5 C,学生记录下题目,课后对不等式证明的其他常用数学方法做进一步巩固复习,以提高学生创新意识和不断探索新问题的能力)1.如果a,b,c,x,y,zR,且满足关系式:ac-b20,az+2by+cx=0,xyz0,求证:xz-y20ac-b20 acb20又xyz0 acxzb2y2az+2by+cx=0 az+cx=-2by
17、两边同时平方得(az+cx)2=4b2y24acxz(az+cx)2-4acxz0即(az-cx)20,这与(az-cx)20矛盾xz-y20不成立,即xz-y20,b0,c0,且a+bc,求证:.证明:a+bc,a+b-c0由真分数的性质,有:3.若0a,k2(kN),且a2a-b,求证:b.证明:由已知ba-a2=-(a-)2+设f(a)=-(a-)2+则f(a)在0, 内为增函数.又0a,f(a)f()即b-(a-)2+3mx-m2.证明:(x2+m+2)-(3mx-m2)=x2-3mx+m2+m+2判别式=9m2-4(m2+m+2)=-(m+2)2+40恒成立.即x2+m+23mx-m
18、2.5.设abc,且a,b,c满足等式a+b+c=1,a2+b2+c2=1.求证:(1)1a+b (2)a2+b2bc,得AB0.A+B=(a-c)+(b-c)=(a+b+c)-3c=1-3c.又(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)=0ab=-c(a+b)=-c(1-c)=c2-c.AB=(a-c)(b-c)=ab-c(a+b)+c2=3c2-2c.从而,A,B是方程t2-(1-3c)t+(3c2-2c)=0的两个不相等的正根,则其充要条件是于是,有-c0,从而11-c,即1a+b.（2）再由0c2,得01-(a2+b2),从而a2+b21.故有:(1)1a+b (2
19、) a2+b20,b0,且a+b=1,求证:.教学过程.课题导入师随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的.今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法分析法.讲授新课(简述:“分析法”证明不等式的基本思想)师证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么
20、就可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法.(关于“分析法”证明不等式,其基本模式在后面“备课资料”中有较详细说明)下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式.例1求证:.师显然,目标不等式中含有根式,我们尝试先平方、合并,后对其进行化简,逐步寻求不等式成立的充分条件,以达证题目的.(在教师指导下,请同学们书写证明过程)生均为正数为了证明,只需证明,展开得:10+220即2105,2125.2125成立.成立.即.师生共析证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“21()2.生证明：设周长为L,依题意,圆的面积为()2,正方形的面积为()2.所以，本题
21、只需证明()2()2,为了证明上式成立,只需证明两边同乘以正数,得因此,只需证明4显然,上式“4”是成立的.故 ()2()2.这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大.师生共议同学们，我们想一想,本题是否可以用比较法证明呢?(通过师生共议，在教师启发诱导下,让学生尝试写出证明过程).生证明：设周长为L,依题意,圆的面积为()2,正方形的面积为()2,则:()2-()2L0,4L20,4-00即()2()2.故证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大.师生点评本题中比较()2与()2的大小,除了用分析法、比较法确定大小外，还可用作商法.这是因为，()20,( )201故(
22、)2()2.(打出幻灯片6.3.4 A,让学生分三组,在教师指导下进行练习,目的在于激活学生思维,提高学生分析问题,解决问题,灵活应变的能力)师请甲组同学做(1)题,乙组同学做(2)题,丙组同学做(3)题.(学生板书证明过程).(1)设x,yR,且x2-2xy+2y2=2,求证:|x+y|.生甲证明:|x+y| (x+y)210 (x+y)2-5(x2-2xy+2y2)0 -(2x-3y)20这显然成立.故|x+y|.(2)设a,b,x,yR,且a2+b2=1,x2+y2=1,试证:|ax+by|1.生乙证明:|ax+by|1 (ax+by)21 a2x2+2abxy+b2y21 a2x2+2abxy+b2y2(a2+b2)(x2+y2) (bx-ay)20这显然成立.故|ax+by|1.生丙证明:(ax+by)2=a2x2+2abxy+b2y2a2x2+a2y2+b2x2+b2y2=(x2+y2)(a2+b2)=1|ax+by|1(上述证明过程利用
