1、完整版小学奥数平面几何五种面积模型小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨SiS2aA BC D一、等积模型1等底等高的两个三角形面积相等；2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1：S a:b3夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 EaCD足BCD ；反之，如果Sacd Sabcd，则可知直线AB平行于cd .4等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平
2、 行四边形）；5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在 AC 上）,CD贝S Saabc : Saade （AB AC）： （AD AE）图任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： S：S2 S4 ：S3 或者 Si S3 S2 S4 AO:OC Si & : S4 S3蝶
3、形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：1S：S a2：b22S1 : S3 : S2: S4 a2: b2: ab: ab ;3S的对应份数为a b2 .四、相似模型（一）金字塔模型二）沙漏模型AFAG ；AF2:AG2. AD AE DE AB AC BC ade :& ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如
4、 下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具/、 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一点O，那么ABO:S ACOBD:DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称
5、 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .典型例题【例1】 如图，正方形ABC啲边长为6，ae 1.5，cf 2.长方形EFGH勺面积为 【解析】连接DE DF,则长方形EFG啲面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S def 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘 米，那么长方形的宽为几厘米？D
6、 G C【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.F , 、 , 1 、. 在正方形 ABCD中 , Sa ABG21二Sa abg 2 SWABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理,Sa abg2sEFGB 二正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽8 8 10 6.4（厘米）.H为AD边上任【例2】 长方形ABCD的面积为36cm2, E、F、G为各边中点, 意一点，
7、问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图:可得：S EHB1s2AHB 、S1FHB 2S CHB 、S DHG1SS DHC ,2SaBCD S AHB S CHBS CHD36即 S EHBS BHFSDHGAHBS CHBS CHD )123618 ；而S EHBS BHFS DHGS阴影 SEBF而S EBF12BE BF - (- AB) (- BC) - 36 4.52 2 2 8所以阴影部分的面积是:S阴影 18 S EBF18 4.5 13.5解法二：特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合,那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是D
8、EF的面积，根据鸟头定理，则有:S S S S 1111111SABCD S AED S BEF S CFD 36 363636 13.5.2222222S阴影【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P ,将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P点连接，求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴 影三角形的面积分别占正方形面积的 和1，所以阴影部分的面积为4 662（1 1） 15平方厘米.4 6（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 A
9、BCD面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的1 ,同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的丄，所以阴6影部分的面积为62 （1 1） 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为 70, AB 8 ,AD 15，四边形EFGO的面积为 .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为 120 1 30，所以三角形AOE和D
10、OG的面积之和为120 - 70 20 ；4 4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以2 4四边形EFGO的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形 BFD面积 白色部分的面积，而三角形 AFC面积 三角形BFD面积为长 方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【巩固】如图，长方形ABCD的面积是阴影部分的面积为36, E是AD的三等分点，AE 2ED，则【解析】如图，连接OE .根据蝶形定理，ON : NDS
11、OEN S2S COE : S cde12 S CAE ： S CDE 1:1 ,所以OM : MAS BOE : S BAE1S巨形 ABCD3 41 13 6 2.7 .2 5又 S OEDS BDE : S BAE23 ， s OEAs 1SOEM52Soed 6，所以阴影部分面积为:1:4，所以OEA 【例4】 已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 AB
12、N和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有Sabc 鬲即 400 S丙 200 200 Samhn，所以 SWS ABN S AMCSAMHN .SAMHN ,又S阴影S ADFS甲S乙 Samhn，所以S阴影 SF S S丙 S ADF143 1 400 434【例5】 如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面 积是 .GG27 ； DG 7 15 6 28 ；【解析】连接AF , BD .所以，Sbef1527S cbfS bec27 S
13、CBF , S AEGS ADG , S AED28箱Sadg根据题意可知，CF 5 7 15于是：28 s ADG 2IScbf 65 ； 28 s adg IScbf 38 可得s adg 40 .故三角形ADG的面积是40.【例6】 如图在 ABC中,D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , Saade 16平方厘米，求 ABC的面积.【解析】 连接 BE , s ade： Sa abe ad ：AB 2:5 (2 4):(5 4),S ABE : SA ABC AE : AC 4 : 7 (4 5) ： (7 5), 所以 ADE : SA AB
14、C (2 4) : (7 5), 设Saade 8份，则Saabc 35份，Sade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米， ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？SvABC3SvABE又v AB5ADSvADESVABE 5 SVABC 15【巩固】如图,三角形 ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BE 3， AE6，乙部分面积是甲部分面积的几
15、倍?BD DC 4 ,【解析】连接AD ./ BE 3 , AE 6AB 3BE , SvABD 3SVBDE又 v BD DC 4 ,SvABC 2SVABD，SvABC 6SVBDE ,【例7】 如图在 ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD 5:2 , AE:EC 3: 2 , ade 12平方厘米，求 ABC的面积.【解析】 连接 BE , ade： abe AD ： AB 2:5 (2 3):(5 3)S ABE : S ABC AE:AC 3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,所以 SADE : S ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25，设
16、 ade 6 份，贝S $ abc 25 份，Ssde 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD，平 行四边形ABCD的面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面 积比.HEE又 S ABC 1，所以 S FBE3 .同理口彳得 S GCF 8 , S DHG 15 , S AEH 8 以 SEFGH S AEH SCFG所以 SA
17、BCD 2 1 .SEFGH 36 18S DHG S BEF SABCD 8 8 15+3+2【解析】连接AC、BD .根据共角定理.在 ABC 禾口 BFE 中， ABC 与 FBE 互补, ABC AB BC 11 1SFBE BE BF 门 3 .36 .【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积
18、就是原来四边形 的面积.因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10】 如图所示， ABC中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC为一边向 ABC 外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积.E【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5 3 8，所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模
19、型，OBC的面积为16 5 10 .8ABE ,5cm ,求【例11】如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形已知AE、BE的长分别为3cm、AEB 90 , AC、BD 交于 O .三角形OBE的面积.【解析】如图，连接DE ,以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB也是90，所以四边 形AFBE是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE的面积为：1 / 23 5 3 12( cm ).2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理， AB2 AE2 BE2 3 2 52 34 ,所以S Abd那么Sb
20、de1 2-AB2 17( cm2).2 /S ABD S ABE S ADE S ABD SafBE 17 12 5 ( Cm ),所以Sobe12 s bde 25 ( cm2).【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF，且有AB平行 于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重 合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形 BGFD，它的
21、面积与原六边形的面积相等，显然长方形 BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形 ABC的面积是1 ,BD:DC 1:2 , AD 与 BE 交于点 F .E是AC的中点，点D在BC上，且 则四边形DFEC的面积等于 ,【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,设BDF如图所标所以Sdcef1 份，则 SA DCF5 5abc12 122份,SA ABFBD 1SA ABFAESa acfDC 2，SCBFECSA ABF3份，Sa aefSA EFC13份,1方法二：连接DE，由题目条件可得到Sa ABD ABCSA ADE
22、adc1 2S2 3 S ABC1 BF Sa abd3，所以fe S3 ADE1 s 1 1 s 1 1 1 s 1Sa defS DEB 二 二 S BEC 二 二 二ABC 二,2 2 3 2 3 2 12而Sacde Sa abc .所以则四边形DFEC的面积等于.3 2 3 12【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE ,F是DG的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？DEC13y【解析】设Sa def 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影职BCD12512平方厘米.【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD 的面积等于
23、三角形BCD的面积的1 ,且AO 2 , DO 3 ,那么CO的长度3是DO的长度的 倍.【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无 外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；通过画辅助线来改造不良四边形 .看到题目中给出条件S/ABD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边 形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之
24、比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO：OC s abd : s bdc 1： 3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作 AH BD于H , CG BD于G ./ sABD3S BCD，AH 1 CG，s AOD1s DOC3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：三角形BGC的面积；AG:GC ？【解析】根据蝶形定理,根据蝶形定理,【例15】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于0点，ACEF、OEF、ODF、 BOE的面
25、积依次是 2、4、4和6.求：求厶OCF的面积；求 GCE 的面积.【例16】如图，长方形ABCD中,BE:EC 2:3 , DF : FC1:2，三角形DFG的面积【解析】根据题意可知，ABCD的面积为2 4 4 6 16，那么 BCO和CDO的 面积都是16 2 8，所以AOCF的面积为8 4 4 ；由于ABCO的面积为8, BOE的面积为6,所以 OCE的面积为8 6 2 ,根据蝶形定理EG :FG S coe : S cof 2:4 1: 2 , 所 以S GCE : S GCF EG ,:FG2 ,那么SGCE1 SS CEF12 21 233 为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.
26、【解析】SVDEF【例17】DF连接AE , FE .因 为 BE:EC 2:3（3 1 1）S 丄乩（5 3 2）S长方形ABCD和8长方形ABCD因为 SvaED 2 S长方形 ABCD , AG : GF 厘米，所以S/afd1212平方厘米.ABCD的面积是72平方厘米.DFDF:FC 1:2110因为5:1，所以Sv AGD1 、SVAFD S长方形 ABCD , 所以长方形6如图，正方形ABCD面积为3平方厘米, 阴影部分的面积.5Svgdf 10 平方M是AD边上的中点.求图中【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道Sa amg :
27、 Sa abg : Sa mcg : Sa bcg 1 ： (1 2) : (1 2) : 2 1: 2:2:4 , 设S AGM 1份，则Sa mcd 1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份， s阴影 2 2 4份，所以 s阴影：S正方形1: 3 , 所以S阴影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点， 三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米.AD【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得2S弟形（1 2） 9（平方厘米），ecd 3（平方厘米），那么SWABCD 12（
28、平方厘米）【例18】已知ABCD是平行四边形, 米.则阴影部分的面积是BC:CE 3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘 平方厘米.A D【解析】连接AC .由于ABCD是平仃四边形，BC:CE 3:2，所以CE:AD2:3 ,根据梯形蝶形定理，Svcoe:S AOC : SVDOE2:SVAOD 2 : 23: 23: 324: 6:6:9 ,所以SvaoC 6 （平方厘米），SVAOD 9 （平方厘米），又SvaBC SvaCD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积只为6 1521 （平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 S OCD S OAE .2 根据蝶形疋理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S OCD 36 , 所以S 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那
