1、北师大版 八年级初二 下数学第一章 第一章 三角形的证明1.1、等腰三角形（一) 主备人：姚剑峰 审核：初二年级组教研组【目标导航】 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2、经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 【自主预习】1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 【交流展示】在证明（一）一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
2、 本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）证明过程：已知：A=D,B=E,BC=EF求证：ABCDEF证明：A=D,B=E（已知）A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180）
3、C=180-(A+B)F=180-(D+E)C=F（等量代换）BC=EF（已知）ABCDEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。【归纳整理】（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角。已知：如图，在ABC中，ABAC。求证：BC证明：取BC的中点D，连接AD。ABAC，BDCD，ADAD，ABCACD (SSS)B=
4、C (全等三角形的对应边角相等)【巩固拓展】在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？ 由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形（二)【目标导航】等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。【自主预习】等腰三角形性质的探究让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。EDCBA分别演示： 中,ABD= ABC, ACE=ACB,k=,时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE
5、的关系。【交流展示】，对于上述例题，当AD=AC,AE=AB,k=,时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究猜测证明的学习过程。引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?培养学生的推理能力。【归纳整理】学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。【巩固拓展】启发学生
6、思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。1.1 等腰三角形（3）【目标导航】： 1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理2.借助等腰三角形的判定定理解决实际问题3.结合实例体会反证法的含义【自主预习】前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？猜想一下，。如上图，在ABC中，BC要想证明ABAC,只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了，你是怎样构造的？有几种方法呢？已知： 求证：证
7、明：【归纳整理】结论：等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（ 等角对等边）DA以后要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用“等角对等边”判定。只要发现一个三角形有两个角相等，则马上断定，这个三角形为等腰三角形。那么证明的格式如何书写呢？试一试。已知：如图，ABDC,BDCA.求证：AED是等腰三角形ECB三、阅读理解反证法 读故事李子不好吃：古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，若李子好吃，早就没了！但现在李子还有那么多，肯定李
8、子是苦的，不好吃的。”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。王戍在说明李子不好吃时，先假设“李子好吃”，然后推出“李子早就没了”，可这个结论与事实“满树都是李子”相矛盾，从而说明“假设李子好吃不成立”，便证明“李子不好吃”的结论一定成立。这种推理方法用在我们数学问题里就是“反证法” 大家再阅读课本8页的想一想，体会反证法的推理逻辑。结论：在数学问题里，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。 反证法步骤：1）假设：假设命题的结论不成立2）归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理
9、或已知条件相矛盾的结果3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。阅读例题，仿照例题来证明“一个三角形中不能有两个钝角。”已知： 求证：证明：【巩固拓展】1、把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。1） 我每天工作不超过24小时；2） 我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；3） 初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；4） 三角形中必有一个内角不少于60度；5） 垂直于同一条直线的两条直线平行。2、如图，A =B，CEDA，CE交AB于E。求证：CE = CB。3、如图，在ABC中，AB = AC，DEBC，求证：ADE是等腰三角形1.1等腰三角形（4
10、）【目标导航】：1、掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明。2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。【自主预习】 1、 已知ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。2、 利用刻度尺测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。【交流展示】前面的学习中我们了解等边三角形是特殊的等腰三角形，那么一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？先来猜想，再证明自己的猜想，并与同伴交流。得出定理：三角形是等边三角形。有一个角
11、 的 三角形是等边三角形。【归纳整理】做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。根据操作及之前的测量结果，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。已知：求证：证明：得出定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对直角边等于斜边的 。在应用定理解决问题时，如何书写格式，我们来试一试。求证：如果等腰三角形的底角为15那么腰上的高是腰长的一半。（画出图形、写出已知、求证和证明）【巩固拓展】1、判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。（ ）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。（ ）2、等腰三角形
12、的底角等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是 。3、如图，在RtABC中，ACB=900, A =300,CDAB,BD=1,则AB= 。4、在ABC中，AB=AC,BAC=1200,D是BC的中点，DEAC,则AE:EC= 。5、如图，在RtABC中，C=900,沿B点的一条直线BE折叠ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则A= .6、在RtABC中，C=300,ADBC,你能看出BD与BC的大小关系吗？说明理由。7、已知：如图，ABC中，BCAC,DEAC，点D是AB的中点，A=300，DE=1.8，求AB的长。8如图，ABC是等边三角形，BD = CE，1 =2。求证：ADE是
13、等边三角形。1.2、直角三角形（一）【目标导航】1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；【自主预习】1、想一想：（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？结论：定理：直角三角形的两个锐角 定理：有两个角互余的三角形是2、勾股定理的内容是：_;它的条件是：_结论是_将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：【交流展示】，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_和_那么这两个命题称为，其中一个命题称为另一个命题的。举例，写出命题“如果两个有理数相等
14、，那么它们的平方相等” 的逆命题是 两个命题都是真命题吗？ 一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？举例说明。 什么是互逆定理？举例说明。是否任何定理都有逆定理？举例说明。 思考我们学过哪些互逆定理？【归纳整理】【巩固拓展】1、判断A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ）B：命题正确时其逆命题也正确。（ ）C：直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（ ）2、以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）A：两底角相等的两个三角形是等腰三角形。 B：全等三角形的对应角相等。C：两直线平行，内对角相等。 D：直角三角形两锐角互等。3、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是。4、若
15、一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为（ ）5、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_，斜边上的高为_。6、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：A：五边形是多边形。B两直线平行，同位角相等。：C：如果两个角是对顶角，那么它们相等。D：如果AB=0，那么A=0，B=0。1.2直角三角形（2）【目标导航】：1、了解直角三角形全等的判定定理（HL），发展演绎推理能力；2、采用动手动脑相结合的方式，进一步学习严密科学的证明方法；3、通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说理方法。【自主预习】1.RtABC中，C=90，如图（1），若b=
16、5，c=13，则a=_；若a=8，b=6，则c=_.2.等边ABC，AD为它的高线，如图（2）所示，若它的边长为2，则它的周长为_，AD=_，BDADAB=_. （1） （2） （3）3.如图（3），正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=_；若AC=2，则AB=_；ACAB=_.4.如右图，ABC中，A+C=2B，A=30，则C=_；若AB=6，则BC=_.【交流展示】问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请与同伴交流你的结论及理由。问题2：已知一条直角边和斜边，求做一个直角三角形。动手做一做，并证明你的作法的正确性。已知：求
17、作：作法：得出定理：和一条分别相等的两个直角三角形。简述为或应用定理解决问题的格式怎么书写，大家来试一试。【归纳整理】（议一议）如图已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。选择一个用（HL）定理来证明的条件，写出证明过程。归纳总结：证明全等的判定定理有哪些？【巩固拓展】1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ）A：两条直角边对应相等的两个直角三角形。 B：两条锐角边对应相等的两个直角三角形。C：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。D：有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。2、下列命题中，假命题是（ ）A：三个角的度数之比为
18、1：3：4的三角形是直角三角形。B：三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形。C：三边长之比为1：3：2的三角形是直角三角形。D：三边长之比为2：2：2的三角形是直角三角形。3、下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。 （4）有两条边相等的两个直角三角形全等。（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 A：2个 B：3个 C：4个D：5个4、AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿AD对折，点C落在的位置，则B与BC之间的数量有怎样的关系？说明
19、理由。5、D是ABC的BC边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，且DE=DF，求证（1）AF=AE (2) ABC是等腰三角形。1.3线段的垂直平分线（1）【目标导航】：1、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线。【自主预习】1、 线段垂直平分线是指 。2、线段的垂直平分线的性质 。3、如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。【交流展示】1、你还会画线段的垂直平分线吗？用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明
20、为什么CD A B是线段AB的垂直平分线？性质定理：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？【归纳整理】想一想：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流。得出逆定理：到的点，在上。A如何应用这个定理来解决问题，我们来试一试。已知：如图，在ABC中，ABAC,点O是ABC内一点，且OBOC求证：直线AO垂直平分线段BC。(你有几种证明方法)O【巩固拓展】1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上。2、已知：如图，BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D
21、则ADC= 。3、ABC中，A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则DBC的度数 。4、ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则B BAE，C GAF ，若BAC=1260，则EAG= 。5、如图，ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则BCD的周长是 。 （5） （4）6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。7、已知：如图，DE是ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分BAC，若B=300，求（1）C的度数。（2）AC与
22、BD的关系？说明理由。8、如图在ABC中，AD是BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E求证：（1）EAD=EDA ;（2）DFAC（3）EAC=B1.3线段的垂直平分线（2）【目标导航】：1、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。2、能够用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作等腰三角形。【自主预习】1、等腰三角形的顶点一定在 上。2、在ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是 。3、在ABC中,AB=AC, B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则NBC= .【交流展示】我们在七年下就掌握了三角形三边垂直平分线的性质
23、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于 ，这一点到三个顶点的距离 。如何来证明这个结论，自己试一试。已知：求证：证明：【归纳整理】议一议1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？2、 ha已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能做几个？做一做：已知：线段a,h 求作：ABC使AB=AC且BCa高ADh 作法：做一做：1、已知直线和上一点P，用尺规作的垂线，使它经过点P。2、如果点P是直线外一点，那么怎样用尺规作的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流。【巩固拓展】1、探究一下：（1）如
24、图，在ABC中，A=400,O是AB、AC的垂直平分线的交点，求OCB的度数；（2）如果将（1）中的的A度数改为700，其余的条件不变，再求OCB的度数；（3）如果将（1）中的的A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求OCB的度数。你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？2、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。3、已知ABC的三边的垂直平分线交点在ABC的边上，则ABC的形
25、状为（ ）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定4、等腰 RtABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 。4、已知线段b，求作以b为底，以为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？b A5、如图，已知ABC，B求作：（1）AC边上的高C （2）BC边上的高 6、已知：如图，RtABC中，ACB=900, BAC=600,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段。1.4角平分线（1）【目标导航】1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理
26、，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。【自主预习】1.如图（1），AD平分BAC，点P在AD上，若PEAB，PFAC，则PE_PF.2.如图（2），PDAB，PEAC，且PD=PE，连接AP，则BAP_CAP.3.如图（3），BAC=60，AP平分BAC，PDAB，PEAC，若AD=，则PE=_.（1） （2） （3）【交流展示】问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？已知：求证：证明：定理归纳：角平分线上的点到这个角的问题2：你能写出这个
27、定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你怎么证明它？已知：求证：证明定理归纳：在一个角的，到的点，在这个角的。【归纳整理】（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？并尝试对自己的做法加以证明。【巩固拓展】1、如图在ABC中AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则三个结论：AS=AR，QPAR，BRPQSP中（ ）A全部正确 B：仅和正确 C：仅正确 D：仅和正确。2、在ABC中C=90，A的平分线交BC于D，BC=CM， BD：DC：=4：3，则点D到AB的距离为_。3、在RTABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_.4、
28、OM平分BOA，P是OM上的任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（ ）A：PD=PE B：OD=OE C：DPO=EPO D：PD=OD5、 如图所示，AD平分BAC，DEAB，垂足为E，DFAC，垂足为F，则下列结论不正确的是（ ）A:AEGAFG B:AEDAFD C:DEGDFG D:BDECDF6、ABC中, ABC、ACB的平分线交于点O，连结AO，若OBC=25，OCB=30，则OAC=_7、与相交的两直线距离相等的点在（ ）A：一条直线上 B：一条射线上 C：两条互相垂直的直线上 D：以上都不对8、如图，已知AD为ABC的角平分线，B=90，DFAC，垂足为F，DE=DC，求证BE=CF
