1、江苏专用版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I22函数单调性与最值文含答案docx【步步高】（江苏专用） 2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.2 函数的单调性与最值 文1函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数y(x) 的定义域为，区间I?，如果对于区间fAA定I内的任意两个值x1， x2当 x1 f ( x2) ，当 x1x2 时，都有 f ( x1)0 ，则函数 f ( x) 在 D 上是增函数 ( )(3) 函数 y f ( x) 在 1 ， ) 上是增函数，则函数的单调递增区间是 1 ， ) ( )11(4)函数 y x的
2、单调递减区间是(， 0)(0， ) ()(5)所有的单调函数都有最值()(6)对于函数 y f ( x) ，若 f (1)f (3)，则 f ( x) 为增函数 ()12x1下列函数中，yx x； y x x； y ln x x； y e x，在区间 (0 ， ) 内单调递减的是 _答案解析1 x在 (0 ， ) 内是增函数，则1对于， y x在 (0 ， ) 内是减函数， yy x x12在 (0 ， ) 内是减函数；，函数在(0 ， ) 上均不单调2若函数f(x) |2x | 的单调递增区间是3 ， ) ，则a的值为 _a答案 6aa解析由图象易知函数f ( x) |2 x a| 的单调增
3、区间是 2， ) ，令 2 3， a 6.3设函数yx2 2x，x 2， ，若函数的最小值为() ，则(a) _.agaga2 2a， 2 a1，答案 1， a1解析 函数 y x2 2x( x 1) 2 1，对称轴为直线 x 1.当 2 a1 时，函数在 2， a 上单调递减，则当 x a 时， ymin a2 2a；当 a1时，函数在 2,1 上单调递减，在 1 ， a 上单调递增，则当 x 1 时， ymin 1.a2 2a， 2 a1，综上， g( a) 1， a1.4 ( 教材改编 ) 已知函数2， x2,6 ，则f ( x) 的最大值为 _，最小值为f ( x) x 1_答案225
4、解析可判断函数2上为减函数，所以f ( x) f (2) 2，f ( x) f (6) f ( x) x 1在2,6minmax225.5( 教材改编 ) 已知函数 f ( x) x22ax 3 在区间 1,2 上具有单调性， 则实数 a 的取值范围为 _ 答案 ( ， 1 2 ，)解析函数f() x2 2 3 的图象开口向上，对称轴为直线x，画出草图如图所示xaxa由图象可知函数在( ，a 和 ， ) 上都具有单调性，因此要使函数f(x) 在区间 1,2a上具有单调性，只需a1或 a2，从而 a( ， 1 2 ， ) 题型一 确定函数的单调性 ( 区间 )命题点 1 给出具体解析式的函数的单
5、调性1 x 1例 1 (1) 下列函数中， y ln( x 2) ； y x 1； y ( 2) ； y x x，在区间 (0 ， ) 上为增函数的是 _(2) 函数 f ( x) log 1 ( x2 4) 的单调递增区间是 _2(3) 函数 y x2 2| x| 3 的单调增区间为 _答案 (1) (2)( ， 2) (3)( ， 1 ，0,1解析 (1) y ln( x 2) 的增区间为 ( 2， ) ，在区间 (0 ， ) 上为增函数2(2) 因为 y log 1 t 在定义域上是减函数， 所以求原函数的单调递增区间， 即求函数 t x 42的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区
6、间为 ( ， 2) (3)由题意知，当 x0时， y x2 2x3 ( x1) 2 4；当 x0 时， y x2 2x 3( x 1) 2 4，二次函数的图象如图3由图象可知，函数y x2 2| x| 3 在 ( ， 1 ， 0,1上是增函数 .命题点 2解析式含参函数的单调性ax例 2试讨论函数 f ( x) x 1( a0) 在 ( 1,1)上的单调性解设 11 21，xxx 111f ( x) ax1 a 1x 1 ，1 1f( x1) f ( x2) a 1x1 1 a 1 x2 1a x2 x1x1 1，x2 1由于 1x1x20， x1 10， x2 10 时， f ( x1) f
7、 ( x2)0 ，即 f ( x1) f ( x2) ，函数 f ( x) 在 ( 1,1) 上递减；当 a0 时， f ( x1) f ( x2)0 ，即 f ( x1)0 时，f(x) 在( 1,1) 上单调递减；当0) ，则 f (x) 在 ( 1,1) 上的单调性如何？解设 11 21，xx则f( 1)(xax1ax22) 2 2xfx1 1 x2 122 axa x xx x 1ax x ax axx2112121212x12 1x22 1x12 1x22 1， 1x1x20， x1x2 10， ( x1 1)( x2 1)0.又 a0， f ( x1) f ( x2)0 ，函数在
8、( 1,1) 上为减函数思维升华 确定函数单调性的方法： (1) 定义法和导数法， 证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2) 复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3) 图象法，图象不连续的4单调区间不能用“”连结a已知 a0，函数 f( x) x x( x0) ，证明：函数f ( x) 在 (0 ，a 上是减函数，在 a， ) 上是增函数证明方法一任意取x120，则xa af ( x1) f ( x2) x1x1 x2 x212) aa12a x2 x1 ( xxx1x2( x x ) x x12a ( x1x2) 1 x1x2 .a当 a x1x20 时， x1 x20,
9、1 0，x1x2有 f ( x1) f ( x2)0 ，即 f ( x1 )0) 在 (0 ， a 上为减函数；a当 x1x2 a时， x1 x20,1 x1x20，有 f ( x1) f ( x2)0 ，即 f ( x1 ) f ( x2) ，a此时，函数 f ( x) x x( a0) 在 a， ) 上为增函数；a综上可知，函数 f ( x) x x( a0) 在(0 ， a 上为减函数，在 a， ) 上为增函数a a方法二 f (x) 1 x2 ，令 f (x)0 ，则 1x20，a解得 x a或 x a( 舍 ) 令 f (x)0 ，则 1x20，解得 ax0， 0 x0恒成立，试求实
10、数a 的取值范围解1时， f ( x) x1在 1 ， ) 上为增函数， f ( x)7(1) 当 a22x 2min f (1) 2.5a(2) f ( x) xx 2， x1 ， ) 当 0时，f(x) 在 1 ， ) 内为增函数a最小值为 f (1) a 3.要使 f ( x)0在 x1 ， ) 上恒成立，只需a 30，即 a 3，所以 3a0.当 00， a 3，所以 0a1.综上所述， f ( x) 在 1 ， ) 上恒大于零时， a 的取值范围是 ( 3,1 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察
11、其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值1(1) 函数 f ( x) x， x1，的最大值为 _ x2 2， x0，x0) ，若f(x) 在11，则a_.)(， 2上的值域为 ，2xa x222答案(1)2(2) 5解析(1)当 1时，函数f(x) 1为减函数， 所以f(x) 在x1 处取得最大值， 为f(1) 1；xx当 x0， x0) 在 2上单调递增，f111 21，22 ，a2所以2即11解得 a5.f2，a2 2，题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例 4已知函数f(x) log21，若x1(1,2) ，x2(2 ， ) ，则f(x1)_0 ，x1 xf ( x )_0.(判断大小关系 )2答案6解析函数 f ( x) log 2x1在(1， ) 上为增函数，且f (2) 0，1 x当1(1,2) 时，f(x1) f (2) 0，即 f ( x1)0.命题点2解不等式例 5已知函数f ( x) 为 R 上的减函数，则满足f1f (1) 的实数x 的取值范围是x_答案( 1,0) (0,1)
