1、中考导练讲义第15讲一般三角形及其性质第15讲 一般三角形及其性质【章节知识清单】知识点一：三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类 失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边3.角的关系（1）内角和定理：三角形的内角和等180； 推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外
2、角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性 质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.角平分线（1） 角平线上的点到角两边的距离相等（2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1） 将三角形的面积等分（2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行
3、于第三边，且等于第三边的一半5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图，AD平分BAC，AEBC，则=BAC-CAE= (180-B-C）-（90-C）= (C-B）；如图，BO、CO分别是ABC、ACB的平分线，则有O=A+90；如图，BO、CO分别为ABC、ACD、OCD的平分线，则O=A，O=O；如图，BO、CO分别为CBD、BCE的平分线，则O=90-A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等(3)全等三角形的周长
4、等、面积等失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. 8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）
5、全等三角形中的辅助线的作法：直接连接法：如图，连接公共边，构造全等.倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图，由SAS可得ACDEBD，则AC=BE.在ABE中，AB+BEAE，即AB+AC2AD.截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图、.例：如图，在ABC中，已知1=2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.【章节典例解析】【例题1】(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A B C D【考点】L3：多边形内角与外角【分析】根据多边形的内角和定理即可判断【解答】解：剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都
6、是360，剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180；剪开后的两个图形的内角和相等，故选B【例题2】（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A6 B7 C11 D12【考点】K6：三角形三边关系【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案【解答】解：设第三边的长为x，三角形两边的长分别是2和4，42x2+4，即2x6则三角形的周长：8C12，C选项11符合题意，故选C【例题3】（2016山东省德州市3分）如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
7、作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65 B60 C55 D45【考点】线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到C=DAC，求得DAC=30，根据三角形的内角和得到BAC=95，即可得到结论【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故选A【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键【例题4】（2016山东省滨州市3分）如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上
8、一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（）A50 B51 C51.5 D52.5【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质【专题】计算题【分析】根据等腰三角形的性质推出A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，根据三角形的外角性质求出B=25，由三角形的内角和定理求出BDE，根据平角的定义即可求出选项【解答】解：AC=CD=BD=BE，A=50，A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，B+DCB=CDA=50，B=25，B+EDB+DEB=180，BDE=BED=（18025）=77.5，CDE=180CDAEDB=1805077
9、.5=52.5，故选D【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键【章节典例习题】1. （2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A中线 B角平分线 C高 D中位线2. （2017贵州）如图，ACD=120，B=20，则A的度数是（）A120 B90 C100 D303. （2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72，则这个多边形的边数是54. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则1=120
10、5. （2017宁德）在ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A4 B8 C10 D136. （2016青海西宁2分）如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=27. （2017内蒙古赤峰）如图1，在ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，过点A作ADBC，垂足为D，会有sinC=，则SABC=BCAD=BCACsinC=absinC，即SABC=absinC同理SABC=bcsinASABC=acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图2，在ABC中，若A、B、C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c22
11、bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在DEF中，F=60，D、E的对边分别是3和8求SDEF和DE2（2）如图4，在ABC中，已知ACBC，C=60，ABC、BCA、ACB分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设ABC、ABC、BCA、ACB的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4【章节典例习题】参考答案1. （2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A中线 B角平分线 C高 D中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线
12、和高【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答【解答】解：三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分故选A2. （2017贵州）如图，ACD=120，B=20，则A的度数是（）A120 B90 C100 D30【考点】K8：三角形的外角性质【分析】根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：A=ACDB=12020=100，故选：C3. （2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72，则这个多边形的边数是5【考点】L3：多边形内角与外角【分析】用多边形的外角和360除以72即可【解答】解：边数n=36072=5故答案为：54. （2017江苏
13、盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则1=120【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理【分析】根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：由三角形的外角的性质可知，1=90+30=120，故答案为：1205. （2017宁德）在ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A4 B8 C10 D13【考点】K6：三角形三边关系【专题】11 ：计算题【分析】根据三角形三边的关系得到3BC13，然后对各选项进行判断【解答】解：AB=5，AC=8，3BC13故选D【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边6. （2016青海
14、西宁2分）如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=2【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形【分析】作PEOA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得ACP=AOB=30，由直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在RtPCE中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半），PD=PE=2，故答
15、案是：27. （2017内蒙古赤峰）如图1，在ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，过点A作ADBC，垂足为D，会有sinC=，则SABC=BCAD=BCACsinC=absinC，即SABC=absinC同理SABC=bcsinASABC=acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图2，在ABC中，若A、B、C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在DEF中，F=60，D、E的对边分别是3和8求SDEF和DE2解：SDEF
16、=EFDFsinF=6；DE2=EF2+DF22EFDFcosF=49（2）如图4，在ABC中，已知ACBC，C=60，ABC、BCA、ACB分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设ABC、ABC、BCA、ACB的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4【考点】KY：三角形综合题【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在DEF中，F=60，D、E的对边分别是3和8，EF=3，DF
17、=8，SDEF=EFDFsinF=38sin60=6，DE2=EF2+DF22EFDFcosF=32+82238cos60=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，ACB=60，AB2=AC2+BC22ACBCcos60=AC2+BC2ACBC，两边同时乘以sin60得， AB2sin60=AC2sin60+BC2sin60ACBCsin60，ABC，BCA，ACB是等边三角形，S1=ACBCsin60，S2=AB2sin60，S3=BC2sin60，S4=AC2sin60，S2=S4+S3S1，S1+S2=S3+S4，方法2、令A，B，C的对边分别为a，b，c，S1=absinC=absin60=abABC，BCA，ACB是等边三角形，S2=ccsin60=c2，S3=aasin60=a2，S4=bbsin60=b2，S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），c2=a2+b22abcosC=a2+b22abcos60，a2+b2=c2+ab，S1+S2=S3+S4
