1、数学人教版九年级上222降次解一元二次方程教案22.2 降次解一元二次方程课题：22.2.1配方法（第1课时）一、教学目标1.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）.2.培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 . 开平方，得 ， x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 . 开平方，得 ， x1= ，x2= .（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 直接开平方法： 第一步：
2、化成什么2常数； 第二步：开平方降次； 第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目. （师出示例1）例1 解方程：x2-4x+4=5. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：原方程化成(x-2)2=5. 开平方，得x-2=， x1=+2，x2=-+2.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程： 解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 . 开平方，得
3、 ， x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目. （师出示例2）例2 解方程：x2+6x-16=0.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么2常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得x2+6x=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：x2+6x+32=16+32），左边x2+
4、6x+32等于什么？（稍停）等于(x+3)2（边讲边板书：(x+3)2），右边16+32等于25（边讲边板书：25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得x+3=5（边讲边板书：开平方，得x+3=5），解一元一次方程，得到两个根，x1=2，x2=-8（边讲边板书：x1=2，x2=-8）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上32，把方程的左边配成(x+3)2.这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方
5、法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节3.填空： (1)x2+2x2+ =(x+ )2； (2)x2-2x6+ =(x- )2； (3)x2+10x+ =(x+ )2； (4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0； 解：移项，得 . 配方，得 ， . 开平方，得 ， x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.（六）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接
6、开平方法很容易把原方程化成什么2常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子. 课外补充作业：6.填空： (1)x2-2x3+ =(x- )2； (2)x2+2x4+ =(x+ )2； (3)x2-4x+ =(x- )2； (4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 . 配方，得 ， . 开平方，得 ， x1= ，x2= .8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.四、板书设计直接开平方法、配方法 例1 例2第一步：化成什么2常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程. 课题：22.2.1配方法（第2课时）一、教学
7、目标1.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）.2.培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程： 用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 . 配方，得 ， . 开平方，得 ， x1= ，x2= .2.填空： (1)x2-2x+ =(x- )2； (2)x2+5x+ =(x+ )2； (3)x2-x+ =(x- )2； (4)x2+x+ =(x+ )2. （订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方）（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 配方法 第一步：
8、化成什么2常数； 第二步：开平方降次； 第三步：解一元一次方程.师：（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么2常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例1. （师出示例1）（三）尝试指导，讲授新课例1 用配方法解方程：x2+5x+=0. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：移项，得x2+5x=-. 配方 x2+5x+=-+，
9、 . 开平方，得x+=， x1=，x2=.（四）试探练习，回授调节3.完成下面的解题过程： 用配方法解方程：x2-x-=0.解：移项，得 .配方 ， . 开平方，得 ， x1= ，x2= .（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目. （师出示例2）例2 用配方法解方程：2x2+1=3x.师：（指准方程）这个方程与例1这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例1这个方程的二次项系数是1，而这个方程的二次项系数不是1.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为1.下面大家自己先试着做一做. （以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：移项，得2x2-3x=-1. 二
10、次项系数化为1，得. 配方 ， 开平方，得， x1=1, x2=.（六）试探练习，回授调节4.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0. 解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方 ， . 开平方，得 ， x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？（指例2）先移项，再把二次项系数化为1，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方. （作业：P42习题2.3.）四、板书设计配方法 例1 例2第一
11、步：化成什么2常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.课题：22.2.1配方法（第3课时）一、教学目标1.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）.2.培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1.重点：先整理再用配方法解一元二次方程.2.难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x4=0. 解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方 ， . 开平方，得 ， x1= ,x2= .（二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授
12、新课 （师出示例题）例 用配方法解方程：(1)(x-2)(x+3)=6；(2)3x(x-1)=3x-4. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：(1)整理，得x2+x-12=0.移项，得x2+x=12. 配方 x2+x+=12+， . 开平方，得x+=， x1=3， x2=-4.(2)整理，得3x2-6x+4=0.移项，得3x2-6x=-4.二次项系数化为1，得 配方 ， . 原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例2）第一步要把原方程化成什么2常数
13、这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为1；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例1）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.（四）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程： 用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9. 解：整理，得 .移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方 ， . 开平方，得 ， x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.（五）归纳
14、小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说） （作业：P34练习2(5)(6)）四、板书设计（略） 课题：22.2.2公式法（第4课时）一、教学目标1.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程.2.发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用.2.难点：一元二次方程求根公式的推导.三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：（板书：ax2+bx+c=0，并指准）这是一个一元二次方程，x是未知数，a，b，c都是常数，而且a0（板书：(a0)）.怎么用配方法来解这个一元
15、二次方程？大家自己先试一试. （生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）师：我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么2=常数这种样子，怎么化呢？师：先把常数项c移到右边（板书：移项，得ax2+bx=-c）.师：再把二次项系数化为1，得（板书：二次项系数化为1，得）.师：然后配方（板书：配方），怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：），左边是（板书：=），右边=（边讲边在黑板的其它地方板演），所以=（边讲边板书：）.师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为1、配方，现在我们把原方程化成了什么2=常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板
16、书：开平方，得），（边讲边板书：），这个二次根式还可以化简，化简结果是（边讲边将上面的二次根式改写成）.师：（指准方程）把移到方程右边去，可以解出x，（边讲边板书：）.师：（边讲边板书），（边讲边板书）.师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是（在这个式子外加框）.师：（指ax2+bx+c=0）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通
17、过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数a、一次项系数b、常数项c代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程. （师出示例题）例 利用求根公式解下列方程： (1)x2-4x-7=0； (2)5x2-3x=x+1；(3)2x2-2x+1=0； (4)x2+17=8x.师：（指(1)题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：(1)）师：（指(1)题）首先要找出
18、这个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，这个方程的a，b，c等于什么？生：a=1，b=-4，c=-7（生答师板书：a=1，b=-4，c=-7）.师：找出了a，b，c，接下来干什么？接下来要计算b2-4ac的值（板书：b2-4ac=）. b2-4ac=(-4)2-41(-7)=44（边讲边板书：(-4)2-41(-7)=44）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了a，b，c，为什么不把a，b，c直接代入求根公式，而是先计算b2-4ac的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是b2-4ac，可见b2-4ac必须大于等于0.计算b2-4ac的目的是什么？目的是看一看
19、b2-4ac的值是大于等于0还是小于0.如果b2-4ac的值大于等于0，下一步才把a，b，c代入求根公式；如果b2-4ac的值小于0，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据b2-4ac值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把a，b，c代入求根公式，先要求b2-4ac的值.师：（指准板书）这个方程的b2-4ac等于44，大于0（边讲边板书：0），所以下一步可以把a，b，c代入求根公式.师：（边讲边板书）.师：，（边讲边板书）. （以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下） (2)整理，得5x2-4x-1=0. a=5，b=-4，c=-1， b2-4ac=(-4)2-45(-1)
20、=360. ， ，. (3)a=2，b=-2，c=1， b2-4ac=(-2)2-421=0. ， . (4)整理，得x2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17， b2-4ac=(-8)2-4117=-40. 方程没有实数根.（二）试探练习，回授调节1.完成下面的解题过程： 利用求根公式解方程：x2+x-6=0.解：a= ，b= ，c= . b2-4ac= = 0. ， ，.2.利用求根公式解下列方程： (1)； (2)； (3)3x2-4x+2=0；（三）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：22.2
21、.2公式法）.师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本. （作业：P42习题5(1)(2)(5)(6)）四、板书设计（略）22.2.2公式法ax2+bx+c=0(a0) 例移项，得二次项系数化为1，得配方开平方，得 x1=x2= 课题：22.2.2公式法（第5课时）一、教学目标1.会较熟练地用公式法解一元二次方程.2.知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况.二、教学重点和难点1.重点：根据判别式的值确定解的情况.2.难点：根据判别式的值确定解的情况.三、教学过程（一）基本训练，
22、巩固旧知1.完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程：(1)2x2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= . b2-4ac= = 0. ， ，.(2)x(2x-)=x-3.解：整理，得 .a= ，b= ，c= . b2-4ac= = . ， .(3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 .a= ，b= ，c= . b2-4ac= = 0. 方程 实数根.（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 一元二次方程ax2+bx+c=0 (1)当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根； (3)当b2-4ac 时，方程没有实数根.师：刚才我们解
23、了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是ax2+bx+c=0这样的形式.师：然后计算b2-4ac的值，（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当b2-4ac0时（多让几名同学回答，然后师填入：0）.师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当b2-4ac0时（多让几名同学回答，然后师填入：0）.师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当b2-4ac0时（生答师填入：0）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这
24、个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子b2-4ac决定，所以我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：b2-4ac叫做根的判别式），记作（板书：记作）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目. （师出示下面的例题）例 利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0； (2)4y2+9=12y； (3)5(x2+1)-7x=0. （师边讲解边板书，解题过程如下） 解：(1)a=2，b=3，c=-4. =b2-4ac=32-42(-4)=9+320， 方程有两个不相等的实数根.(2)整理，得4y2-12y
25、+9=0a=4，b=-12，c=9. =b2-4ac=(-12)2-449=144-144=0， 方程有两个相等的实数根.(3)整理，得5x2-7x+5=0a=5，b=-7，c=5. =b2-4ac=(-7)2-455=49-1000， 方程没有实数根.（三）试探练习，回授调节2.利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)x2-5x=-7； (2)(x-1)(2x+3)=x； (3)x2+5=2x.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读） （作业：P42习题4.5(3)(4)）四、板书设计（略）一元二次方
26、程ax2+bx+c=0 例(1)当b2-4ac0时(2)当b2-4ac=0时(3)当b2-4ac0时 课题：22.2.3因式分解法（第6课时）一、教学目标1.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次.2.培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：用因式分解法解一元二次方程.2.难点：式的变形.三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程： 用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3)解：整理，得 .a= ，b= ，c= . b2-4ac= = 0. ， ，.（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先
27、整理得到了方程2x2-3x=0（边讲边板书：2x2-3x=0），然后用公式法求出两个根.师：（指2x2-3x=0）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指2x2-3x=0）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到x(2x-3)=0（边讲边板书：x(2x-3)=0）.师：（指准x(2x-3)=0）x乘以2x-3等于0，这说明什么？生：（多让几名同学发表看法）师：（指准x(2x-3)=0）x乘以2x-3等于0，说明x=0或者2x-3=0（板书：于是得x=0或2x-3=0）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一
28、元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由x=0得到x1=0（板书：x1=0），由2x-3=0，得到（板书：）.师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？生：因式分解.（多让几名同学回答）师：因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？生：（齐答）因式分解法.（师板书课题：22.2.3因式分解法）师：通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程. （师出示例题）例 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0； (2)5x2-2
29、x-=x2-2x+； (3)(2y+3)2=(y-1)2. （师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第39页所示，(3)题解题过程如下） (3)移项，得 (2y+3)2-(y-1)2=0. 因式分解，得(3y+2)(y+4)=0. 于是得 3y+2=0或y+4=0， ，y2=-4.师：我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？（让生思考一会儿再叫学生）生：（让两名学生归纳）师：（指准例(3)题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于0的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.师：按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程： 用因式分解法解方程：x2=2x.解：移项，得 .因式分解，得 .于是得 或 ， x1= ，x2= .3.用因式分解法解下列方程： (1)x2+x=0； (2)4x
