1、九年级数学专题复习多边形与平行四边形总复习多边形与平行四边形【考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题； 能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形(2)平行四边形A：会识别平行四边形B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题C：会运用平行四边形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同
2、一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n2)个三角形3多边形的角：n边形的内角和是(n2)180，外角和是360.【要点进阶】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶
3、嵌1镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌2平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点进阶】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位
4、线.2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形【要点进阶】在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判
5、定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.考点五：平行线间的距离1两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.【要点进阶】1.距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3.
6、两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2平行四边形的面积：平行四边形的面积=底高(等底等高的平行四边形面积相等).【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌例1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE重叠压平，A与A重合，若A=70，则1+2=_.举一反三： 【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620，则原来多边形的边数是（）A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能例2已知在四边形ABCD中，A=x，C=y，（0x180，0y180）（1）ABC+ADC= （用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x
7、=y=90，DE平分ADC，BF平分与ABC相邻的外角，请写出DE 与 BF 的位置关系，并说明理由（3）如图2，DFB为四边形ABCD的ABC、ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，当xy时，若x+y=140，DFB=30试求x、y 小明在作图时，发现DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，DFB不存在类型二、平行四边形及其他知识的综合运用例3如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分ABC，CF平分BCD，BE、CF交于点G若使EF=AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）AABC=60 BAB：BC=1：4 CAB：BC=5：2 DAB：BC=5：8 举一反三：【变式
8、】已知：如图，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点， CN=BM，连结AN、MC交于P.求：的度数例4.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F（1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE证明：四边形AEBF是平行四边形；（2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点证明：QEF为等腰三角形例5如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边ADE，过点C作CFDE交AB于点F（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出AEF和ABC的面积比；（3）若
9、点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由例6 .在口ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数举一反三：【变式】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S
10、3=，则S2=_【巩固练习】一、选择题1如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，ABED的面积是，则四边形ABCD的周长为（ ）A49cm B43cm C41cm D46cm2如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是：( ) A.； B.2； C.3； D.43. 已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.如图，在四边形ABCD中，BADADC90，ABAD
11、2，CD，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为()A1 B2 C3 D45.如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若BAC=30，下列结论：EFAC；四边形ADFE为平行四边形；AD=4AG；DBFEFA其中正确结论的是（ ）A B C D 6 .如图，在ABC中，ACB=90，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，ADC=30，四边形ACED是平行四边形；BCE是等腰三角形；四边形ACEB的周长是10+2；四边形ACEB的面积是16则以上结论正确的是（）A B C D二、填空题7.
12、如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为_.8.若工人师傅用正三角形、正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为9. 如图，平行四边形ABCD中，ABC=60，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是_10.凸n边形的对角线的条数记作an（n4），例如：a4=2，那么：a5=_；a6-a5=_；an+1-an=_（n4，用n含的代数式表示）11.如图（1）,四边形ABCD中，ABE1
13、F1CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；如图（2），四边形ABCD中，ABE1F1E2F2CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；如图（3），四边形ABCD中，ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，都是AD上的点，F1，F2，F3，都是BC上的点，且ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_平行四边形.12.如图所示，中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_.三、解答题13.问题再现：现实生活中，镶嵌
14、图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以
15、将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：90x+y=360，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平
16、面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证2：_；结论2：_上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想3：_；验证3：_；结论3：_14. 如图，在四边形ABCD中，A=90，ABC与ADC互补（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若C
17、D=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值 15. 如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由16如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tanDCF的值
