1、第一章 141 充分条件与必要条件1.4充分条件与必要条件14.1充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题知识点充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？答案不唯一例如“x1”是“x0”的充分条件，p可以是“x2”“x3”或“2xC，q：AC
2、AB；(2)已知x，yR，p：x1，q：(x1)(x2)0；(3)已知xR，p：x1，q：x2.解(1)在ABC中，由大角对大边知，BCACAB，所以p是q的充分条件(2)由x1(x1)(x2)0，故p是q的充分条件(3)方法一由x1x2，所以p不是q的充分条件方法二设集合Ax|x1，Bx|x2，所以BA，所以p不是q的充分条件反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成pq问题(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，AB，则p是q的充分条件跟踪训练1“x2”是“x24”的_条件答案充分解析x2x
3、24，故x2是x24的充分条件二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：AB，q：ABA；(3)p：ab，q：acbc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件(2)因为pq，所以q是p的必要条件(3)因为pq，所以q不是p的必要条件(学生)反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若pq为真，则p是q的充分条件，若qp为真，则p是q的必要条件(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“xA”，条件乙“xB”，若AB，则甲是乙的
4、必要条件跟踪训练2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：A和B是对顶角，q：AB；(2)p：|x|2，q：x2.解(1)因为对顶角相等，所以pq，所以q是p的必要条件(2)因为当|x|2时，x2或x2，所以pq，所以q不是p的必要条件三、充分条件与必要条件的应用例3已知p：实数x满足3axa，其中a0；q：实数x满足2x3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围解p：3axa，即集合Ax|3axaq：2x3，即集合Bx|2x3因为pq，所以AB，所以a0，所以a的取值范围是a0.(教师)延伸探究将本例中条件p改为“实数x满足ax0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围解p：ax3a
5、，即集合Ax|ax3aq：2x3，即集合Bx|2x3因为qp，所以BA，所以a.反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解跟踪训练3已知Px|a4xa4，Qx|1x3成立的一个充分条件是()Ax4 Bx0Cx2 Dx4x3，其他选项均不可推出x3.4已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的_条件；q是p的_条件(用“充分”“必要”填空)答案充分必要解析因为pq，所以p是q的充分条件，q是p
6、的必要条件5若“x1”是“xa”的充分条件，则a的取值范围是_答案a1解析因为x1xa，所以a1.1知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系(3)充分条件、必要条件的判断(4)充分条件与必要条件的应用2方法归纳：等价转化3常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值1(多选)使ab0成立的充分条件是()Aa0，b0 Bab0Ca0，b1，b1答案ACD解析因为a0，b0ab0；a0，b0；a1，b1ab0，所以选项ACD都是使ab0成立的充分条件2使x1成立的一个必要条件是()Ax0 Bx3Cx2 Dx1x0，其他选项均不可由x
7、1推出3下列命题中，p是q的充分条件的是()Ap：ab0，q：a0Bp：a2b20，q：a0且b0Cp：x21，q：x1Dp：ab，q：答案A解析根据充分条件的概念逐一判断只有ab0a0.4已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分条件B必要条件C既不是充分条件也不是必要条件D既是充分条件又是必要条件答案A解析A1，a，B1,2,3，AB，aB且a1，a2或3，即a3AB，“a3”是“AB”的充分条件5(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是()Ap：a是无理数，q：a2是无理数Bp：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等Cp：x2，q：x1Dp：ab，q：ac2bc2答
8、案BC解析A中，a是无理数，a22是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x2x1，所以p是q的充分条件；D中，当c0时ac2bc2，所以p不是q的充分条件6“x22x”是“x0”的_条件，“x0”是“x22x”的_条件(用“充分”“必要”填空)答案必要充分解析由于x0x22x，所以“x22x”是“x0”的必要条件，“x0”是“x22x”的充分条件7下列说法不正确的是_(只填序号)“x5”是“x4”的充分条件；“xy0”是“x0且y0”的充分条件；“2x2”是“x0，条件q：xa，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_答案a|a2解析p：x
9、2，若p是q的充分条件，则pq，即p对应集合是q对应集合的子集，故a2.9指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x22x1，q：x；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解(1)x22x1x，xx22x1，p是q的必要条件(2)a2b20ab0ab0，ab0a2b20，p是q的充分条件(3)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0 (x1)2(y2)20，p是q的充分条件10已知p：1x3，若ax1b恒成立的实数b的取值范围解由于p：1x3，又由ax1a，得1ax1a，依题意，得x|1x3x|1axb恒
10、成立的实数b的取值范围是b|b2Cx2y22 Dxy1答案B解析对于选项A，当x1，y1时，满足xy2，但命题不成立；对于选项C，D，当x2，y3时，满足x2y22，xy1，但命题不成立，也不符合题意12集合Ax|1x1，Bx|axba若“a1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是()Ab|2b0 Bb|0b2Cb|2b2 Db|2b2答案C解析Ax|1x1，Bx|axbax|baxba因为“a1”是“AB”的充分条件，所以1b11或1b11，即2b5，b5，b5时，函数y(k4)xb5的图象如图所示，此时一次函数y(k4)xb5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，p是q的充分条件，q
11、是p的必要条件14已知p：x10，q：x1a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为_答案a|a9解析q：x1a，a0.p是q的必要条件，qp，解得a9.15设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件16(1)是否存在实数m，使2xm0是x3的充分条件？(2)是否存在实数m，使2xm0是x3的必要条件？解(1)欲使2xm0是x3的充分条件，则只要x|x3，即只需1，所以m2.故存在实数m2，使2xm0是x3的充分条件(2)欲使2xm0是x3的必要条件，则只要x|x3，这是不可能的故不存在实数m，使2xm0是x3的必要条件
