1、不定积分含变上限积分和微分解题方法不定积分和微分-J -J一、公式 一 f (x)dx = f (x)和 f (x)dx = f (x)dx = f(x) c 的应用 dx dx注意：f(x)的不定积分为F(x)c= F(x)是f (x)的原函数二f (x)是F(x)的导数,即 f(x)dx 二 F(x) c或 F，(x)二 f(x)1已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理已知 f ( (x)dx 二 F (x) c，求 f (x)方法：求导得 f ( (x) F /(x)，令：(x) = t，则 x = ，(t)，即 f (x) = F / (x)例 1 ( 1)
2、 f(x)dx=x2 c，求 xf(1-x2)dx解：对 f(x)dx=x2 c 求导得 f(x) =2x， f (1-x2) =2-2x22 2 2 2X2则 xf(1 -x )dx 二 x(2 -2x )dx 二 x cdx(2).xf(X)dxrcsinX C,求.帀2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理已知 F /(x) = f (x)，求 F (x)方法：令：(xt，则 X= ，(t)，即 F，(t) = f (t)，/ 2 2例 2( 1) f (sin x)二 tan x，求 f (x)cos2 x 1 -t解：令 sin2 x = t，则 cos21 = 1 -t，
3、tan2 x = sin X t (2)已知 f / (一x) = x f / (x) -1，求 f (x)f/(x) = -xf/(-x)-1解：令 - X =t，则上式为 f/(t)二一t f/(-t) -1，即2x由上面两式得 f /(x) = 2x +1x两边积分得 f (x)二 dx = ln(x 1) c x +1(3)设 f (u)在-：:U ：: :内可导，且解：令 In x =t得 x = ，又因为设f (t)在:u v内可导，所以f (t)在-：:：u ；： ?宀内连续t而 Fm . f (t)计叫(2e2 c2)=2 c2,2 c2 = G = 0，即 & = 0 , c
4、2 = -2t t 兰 0故f (t)二 丄2e2 2 t 0(4)设 y = f (x)在 x处的改变量为-y x oGx) ( -x 0)，y(0) = 1，求 y(1)1 + x解：由.：yx oUx)知 y/1 x 1 xJ即鱼=竺y 1 +x两边积分得得 In y 二 In(1 x) c而 y(0) =1=1x 故 y/(1)=1(5)设 f(x)= ；dt，TT0 f(x)dxn si nx , (x)dx* dx-,0兀_xjsi nxdx = 2二、已知F(x)是f (x)的原函数二F，(x)= f(x)，求被积函数中含有j ! f (x)dx = F (x) cf (x)的积
5、分1由f (xF/(x)求出f(x)，代入积分计算2、把积分转化为.f ( (x)d( (x)的形式，利用.f (x)dx二F(x) c求值例3 (1)竺上是f (x)的原函数，a = 0，求x解：因为s是f (x)的原函数，所以 f(x)dx =xt a xf (ax) dx asin xcx(2) e是 f (x)的原函数，求 x2 f (In x)dx解：因为 f(x) (e)/ - -e1，所以 f (In x):x2x贝V x2 f (In x)dx - - xdx c2三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有 f( ;：(x)的积分1由f (x)求f：(x)，再把f：(x)的表达
6、式代入积分计算2、由f(x)先求 f(x)dx，把含有f( (x)的积分转化为 f( (x)d (x)的形式处理例 4 (1) f (sinx)=，求 f x f (x)dx sin x - xI解：在(f (x)dx中，令 x=sin2t得1sin21、1 - sin21-x2 2 2 2f (sin t)d (sin t)=2 s in t f(sin t)dt=2 tsin tdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因为 si n t = x , cost = . 1 - x , t = arcs in、x所以f(x)dx =
7、2丁1x arcsi门依+2依+。1-x2(2) f(x2-1)=ln 二 ，且 f (x) = lnx求 (x)dx x -22 t +1解：令 x2 -1 =t,则 f (t) = In ，而 f (x)H lnxt 13(x)+1 x+1则 In 亠 - =lnx 即(x)(x)-1 ) x-1x +1(x)dx dx = x 2In | x -11 cx T2(3)(e)/=f(x)， f / (x)连续，求 xf/(x)dxx x x x=xe Inx- e dx = xe Inx-e c(5) In f(x) =cosx，求 xf (x) dxf(x)xf (x)解： dx 二 x
8、d|nf (x)=x|nf(x) In f (x)dxf(x)=xcosx - cosxdx 二 xcosx -sin x c(6)设 f(x)二2x sintdt t1求 0 xf (x) dx解：因为f (x)二，所以f/(x)sin2x2x2sin x21 10xf(x)dx 石1,of (x)dxx2 f (x) 1|01 2 /0x f (x)dx 二1 2-xsin x dx1 2 .1cos x Io 二22 2四、利用凑微分法求积分注意：f/g(x) g/(x)dx=f/g(x) dg(x)=df(g(x)f/(2) f (2) -f (0)(2)设f (x)二阶可导,解:b
9、/ /af (x)f (x)dxf /(b)二 a，f/(a) =b，求bf/(x)f/(x)dxab二 f (x)df (x)二a/ 2f (x).b a2-b2(3)设 q f (x) f (x)sin xdx = 5， f (二)=2，求 f (0)解： 0 f(x)sinxdx = o sinxd f，(x) = 一 f(x)cosxdx=-|JTcosxdf (x) = f (0) - f 伍)- J：f (x) sin xdx因为 0【f(x) f(x)sinxdx =5，所以f(0) - f(二)=5 而 f(J =2，故 f(0) = 7五、已知 F / (x)二 f (x)，
10、且 f (x) F (x)二 g(x)，求 f (x)方法：两边积分 F，(x)F(x)dx二g(x)dx，得字g(x)dx，求 f(x)例6( 1) F(x)是f (x)的原函数，且x_0时，有f (x) F(x) =sin22x，又 F(0) =1,F(x) 一0,求 f (x)两边积分得.F/(x)F(x)dxsin2xdxgdxmco4xdx 拧-誉 s 而 F，(x)F(x)dx 二 F(x)dF(x)-故 F 2(x) = x _sin4x c，又 F (0) = 1 得 c = 141 -cos4x,4 x si n 4x 4而 F(x) _0，所以 F(x)二.x-si：4x
11、1 f (x) g(x) 12 二因为J(x)如F(x) f (t)dt，则由复合函数的求导法则有aF，(x)二 f(x) (x)- f (x) /(x)x 2例 7( 1)已知 f (x)满足 xf (x) = 1 亠！ t f (t)dt，求 f (x)/ sin x即 f(x) (2flx) )=02+ cosx1sin x 1两边积分得 f (x) = dx - - 1 n(2 - cosx) - c2 2 +cosx 22 x sin t 在f(x)二 f (t) dt中令x=0,得f(0)=0代入上式有c 1n32 +cost 21 1故 f (x) In(2 cosx) In 3
12、2 2(1)上题要充分利用已知条件确定初始条件 f (0) = 0 (2)定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变 量，然后再求导两边求导得：2x x2 x f(u)duXf(x)=1x4即x x 2x 2xtf(2x-t)dt (2x-u)f (u)du = 2x f(u)du- uf (u)du0 2x x x2x 2x 1 22x f(u)du - uf (u)du arctanx2 x x1 x 2因为 o f (tx)dt = f (x) xsinx ，所以 f (u)du = xf (x) + x sinx两边求导得 f/(x)=-2sinx-xco
13、sx两边积分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx = cosx - xsinx cdt = 1 ( x 0)确定y是x的函数，求32eydx(4) y =y(x)是由 xy x .2 /e1 dt = 0确定的函数，求y /xd3解：对 x求导得 1 -ey Uy， 1) =0故 y/ 二 e(y -1y “X 2e dt =0中令x =0时，有1注意：此题确定y的方法两边积分得 h(x) = xf/(x)dx = xf (x) - f (x)dx由于 g / (x xn4 f (xn)七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在相应区间的原函数 F(x
14、)，然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。如果 f (x)在分段点x0处连续，则F (x)在x = X。处连续， X +1 X 兰 1例 9( 1) f(x) = ，求f(x)dx2x x 1x2 解：当 x _1 时， f (x)dx = (x 1)dx x C122当 x 1 时， f(x)dx 二 2xdx = x C231 1因为 f (x)dx在x =1处连续，故1 c2 ci，即c2 c1 c2 2 22x一 + X +c X 兰1所以 f(x)dx 二 22 1X c X 112(2)max(1,x2)dx1 一 1兰x兰12 2解：maX 1, x ) = x x a 12
15、.X X T当 一1 _x 一1 时，max(1,x2)dx = dx = x y2 2 x3当 x 1 时，ma1,x)dx= x dx C23x3当 x -1 时， ma1,x )dx = x dx c33求满足F(1) =1的原函数1 2由于 1 = F =lim F (x)，即 1 = 1 & C2 得 0=0，q =i 3 31 2又由于 F (-1) = lim F (x)，即 T C3 得 C3 :xt 3 3(3) xdx ( x_0)在n, n 1上，xdx = nx cn , F (n 1) - F(n) = n在n 1, x上，xdx = (n 1)x Cn 1 , F
16、(x) - F (n 1) = (n 1)(x - n - 1)故xdx = 0T2 3 n (n 1)(x - n -1) c = (n 1)(x- -1) c2八、分段函数的变上限积分续性x x(x) = f(t)dt 二 costdt =sinxX 二 兀(x) f (t)dt ：costdt 亠 I . cdt =12(x)在0, ),(，二上连续，在x 处，2 2 2lim (x) = lim 1 c(x ) =1， lim (x)二 lim sin x = 1 x? x 2 xj xj故(x)在x 处连续2九、积分估值b估计积分.f (x)dx的值a方法：(1)令 y = f (x
17、), x a,b(2)求y/ = f / (x)，确定f / (x) = 0和f/ (x)不存在的点(3)在a,b上确定y = f (x)的最值b(4)利用 m(b-a) f(x)dx_M(b-a)估计积分值彳a2 2例11估计积分值 ex心dxs2解：设函数 y = f (x) =ex “，其中 x 0,2/ x2y =(2x-1)ex1令 y/ =0，得 x =21丄 2因为 f (0) = 1, f( )=e 4 , f =e2，故 e 4 辽 y 乞 e22丄 2 2 2所以 2e 4 乞 ex dx 2e20b b十、形如 f (x) = g(x) h(x) f (x)dx 的等式，
18、求 f (x) 和 f(x)dx a L ab方法：(1)令 f (x)dx 二 AL ab b b(2)两端积分 f(x)dx = A g(x)dx Ah(x)dx-a - a ab b得 A g(x)dx A h(x)dx,求 A的值 a a(3)把A的值代入原式求 f(x)1 2例 12 设 f (x)二 x x2 f (x)dx x f (x)dx，求 f (x)解：令1 2of(x)dx=a, f(x)dx=b则f (x) = x ax2 bx3两边积分f (x)dx (x ax2 bx3)dx =1 -0 0 2 3 4即8a -3b =6两边积分2 2 2 3 8ao f (x)
19、dx (x ax2 bx3)dx = 2 4b3即8a 3b =6(3)取d a,b，由已知条件求f(d)的值确定c例13( 1 )设0沁 ，求f(x)二2sin2 x0 arcs in tdt+0cos2 xarccos . tdt解：两边求导得f/(x) =xs in 2x xs in 2x =0，所以f (x) =c ( c为常数)1 厂f (x) = J0 arccos Jtdt4所以 f(x)=43(2)设 x 0，dt+ xJ n解：两边求导得f/(x)二 11 t2dt，求 f(x)1 x2 -0，所以f(x) =c( c为常数)12x又因为当x =1时,1 1f(x) =2.0
20、1 t2dt所以f(x)v=-1，求 x= f (y).十二、例 14 已知(dx ydx y2dx y3dx) 上&dx1 y解：因为(dx 亠 I ydx 亠 iy2dx 亠 i y3dx) -_ dx 二-1 1 y所以 dx 亠 iydx 亠 iy2dx 亠 i y3dx两边对x求导得1 y y y1 -y41 -y4dx)2故(严dx)2 )2 即1 - y 1 - y1 -y1-y4dx1 -y1-y4当1 - V ,人 1 - y /4时，令u(x) 4,则f(x)二u(x)，此时两边积分得1 - y 1 - yu(x)二Cex 而 u(x) -V4 所以 Cex l-V41 -
21、 y 1 - y2 3例15 I解:(1 xp)(1 x2)dxX = 1,即卩 dx = ! dtt t2(1 xp)(1 X2)dx =1 -V(V)dt 丄) t2)t2(1 tp)(1 t)dt故1兀_ 43、形如Asin x Bcosx , dxC sin x D cosx令 Asin x B cosx 二 a(C sin x D cosx) b(C sin x D cosx)确定 a, b例 17 (1)3sin x -4cosx , dx sin x 2cosx解：令 3sin x -4cosx 二 a(sin x 2cosx) b(sin x 2cosx)/比较上式两端得丿a
22、2b=3即 a = 1，b = 22a + b = -43sin x -4cosx sin x 2cosx (sin x 2cosx)/ ,dx dx - 2 dxsin x 2cosx sinx 2cosx sinx 2cosx=-x - 21n | sin x 2 cos x | c解：令 sin x 二 a(3sin x 4cosx) b(3sin x 4cosx)/比较上式两端得3a 4b = 1 % +3b =0sin x3sin x 4cosx, 3 .3sinx+4cosxdx 二4 (3sin x 4cosx)/dx -25 3sin x 4cosx 25 3sin x 4co
23、sx 3 4x In 13sin x 4cosx | c25 25dx4、利用公式a sin 2 x bcosdxxsec2 xdta nx处理atan2 x b例18 2 ndx3sin 2 x 4 cos2 xdx解: 02 3sin2x 4cos2x2sec x4 3ta n=23201(. 3tanx、215、利用 Td；e的分母次数降低一次例19x/八 xe ,(1) 2 dx(1 x)2解:因为x xe(1 x)2dxdta nx彳丄/3tanx、?1 ( )-sin x e3ta nx d= arcta 3穿 x)|f2、3 2121 -k2 dx (1 x)2x xe2 dx
24、(1 x)2sin 2x , dx4 ： xsin ( )4 2kdx计算，每用一次分部积分法，被积函数xdx 2dx(1 x)2x-exd(丄)二JI1 - cos( _x) 解：sin4 ( X) = 1 2 24 2 2(1 si nx)24_sin xe s雪d(s inx) Sin xe si n2x则 dx =： 8sin 4(二-x) (1si nx)4 2et t令-sinx = t，则原式=8 2 dt(1+t)2sin x8e由上式知8 2dt 邑，原式=，(1+t)2 1+t 1 -si nx6、当f (x)在-a,a上可积，则a 1f(x)dx f (x) f(-x)d
25、xa aa=.0 f(x) f (-x)dxJI例 20 (1) 4仃 dxp1 si nx解: -4:1-s inxJT2 -f 1 sinx 1 -sinxdxJI7-4 - sin2-dx x4 dx兀 2 =ta nx|4兀=24 cos x1(2)解:x 2(e -1)(1 x )dxx 厂dxJ(ex 1)(1 x2)(ex 1)(1x2)+(e 1)(1 x2)dx7、积分o f (x)dx，作变量替换t = b -x得Ib=0 f (b -x)dxb b= 2.0f(x)dx .0f(b-x)dx例 21 (1)n xsin2n xsin2n2nx cos-dxx解:xsin2
26、n x2nsin x cos.2n sin x2n* 2n 2n sin x cos x所以兀 xsin2n xdx2n 2nsin x cos x(2)ln(1 ta nx)dx解:2n7. xsin x0+ 伍-x)sin2n (兀-x)2n 2n 2n 2nsin x cos x sin (二-x) cos (二.2n sin x2n 2nsin x cos xdx 二.2n sin x2n2 sin丄 2nx cosdxdx=it2ncos x2n 2nsin x cos xsin 2n x2n 2nsin x cos xdxJTcos2n xdx 二sJx Zxdxo4l n(1 t
27、an x)dx4 In(1 tan x) ln(1 tan(；-x)12 1 In 24In(1 tan x) In( )dx 41n 2dx =20 1 ta nx 2 0 48利用被积函数的奇偶性求积分a a如果f (x)是-a,a上的偶函数V .(x)dx = 2 f (x)dxa如果f (x)是-a,a上的奇函数，贝y f(x)dx = 0-a迟例 22 2-：(x3 sin2 x) cos2 xdx2解：因为函数x3s in2x是奇函数，故.2二x3 cos2 xdx = 0_21 1所以 2 (x3 sinx)cos2xdx= 2sinxcofxdx 2_ (1 -cos4x)dx2 2 8 2ji-89、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式3 dx (1 x2)3 dx (1 -X2)2x3(1 X2 尸1 3dx(1 -x2)21(2)（卡
