1、培优高中数学必修1 第1讲 集合及其应用第1讲 集合及其应用一知识梳理：1元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的(4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合A3.常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR4.集合的表示法列举法表示集合把集合的元素一一列举出
2、来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法描述法表示集合 定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征Venn图定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法适用范围：元素个数较少的集合使用方法：把元素写在封闭曲线的内部5子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集AB(或BA)6集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表
3、示集合相等如果AB且BA，就说集合A与B相等AB真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，称集合A是B的真子集AB(或BA)7.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集8子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.9并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)ABx|xA，或xB交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“
4、A交B”)ABx|xA，且xB10.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAAAAABABBABABA11全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作U.12补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作U A符号语言U Ax|xU，且xA图形语言13.补集的性质UU，UU，U(U A)A.二、例题讲解题型一 集合的基本概念例题1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标
5、平面内第一象限的一些点；(4)的近似值的全体解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0x20”与“x20或x0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(4)不能构成集合变式题 下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；
6、(4)某校高一年级的16岁以下的学生答案(1)(4)解析(1)能，其中的元素满足三条边相等；(2)不能，“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，其中的元素是“16岁以下的学生”题型二 元素与集合的关系例题2所给下列关系正确的个数是()R； Q；0N*；|3|N*.A1 B2 C3 D4答案B解析是实数，是无理数，所以正确N*表示正整数集，所以和不正确变式题 集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中元素有_答案0,1,2 解析当x0时，2；当x1时，3；当x2时，6；当x3时不符合题意，
7、故集合A中元素有0,1,2.题型三集合中元素的特性及应用例题3已知集合B含有两个元素a3和2a1，若3B，试求实数a的值解3B，3a3或32a1.若3a3，则a0. 此时集合B含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1. 此时集合B含有两个元素4，3，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.变式题 （1）已知集合Aa1，a21，若0A，则实数a的值为_答案1解析0A，0a1或0a21.当0a1时，a1，此时a210，A中元素重复，不符合题意当a210时，a1. a1(舍)，a1.此时，A2,0，符合题意（2）已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系有且只有一个正确，则100a
8、10bc等于_ a2；b2；c0.答案：201解析 可分下列三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，所以ab1，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(2)若只有正确，则b2，a2，c0，这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(3)若只有正确，则c0，a2，b2，所以b0，c1.故100a10bc10021001201.题型四列举法与描述法的综合运用例题4集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解(1)当k0时，原方程为168x0.x2，此时A2(2)当k0时，由集合A中只有一个元素，方程kx28x160有两
9、个相等实根，则6464k0，即k1.从而x1x24，集合A4综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A4变式题 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合解由题意可知方程kx28x160有两个不等实根解得k1，且k0.所以k取值范围的集合为k|k1，且k0题型五有限集合的子集确定问题例题5写出集合A1,2,3的所有子集和真子集解由0个元素构成的子集：；由1个元素构成的子集：1，2，3；由2个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；由3个元素构成的子集：1,2,3由此得集合A的所有子集为，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3在上述子集中，除去集
10、合A本身，即1,2,3，剩下的都是A的真子集变式题 已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5，求集合M及其个数解当M中含有两个元素时，M为2,3；当M中含有三个元素时，M为2,3,1，2,3,4，2,3,5；当M中含有四个元素时，M为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5；当M中含有五个元素时，M为2,3,1,4,5；所以满足条件的集合M为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合M的个数为8.题型六集合间关系的判定例题6指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)
11、；(2)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(3)Ax|1x4，Bx|x50；(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，故NM.变式题（1）集合Ax|x2x60，Bx|2x70，试判断集合A和B的关系答案：A3,2，B.3，2，3B,2BAB又0B，但0A，A B.（2）已知集合Ax|x2x60，Bx|
12、mx10，若BA，则实数m的值的集合为_答案：由已知，易得A，B A，B或或.若B，由(3)m10，得m；若B，由2m10，得m；若B，由mx10无解，得m0.m或m或m0.题型七由集合间的关系求参数范围问题例题7已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA，求实数m的取值范围解BA，(1)当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有解得1m2，综上得m|m1变式题 已知集合Ax|1x2，Bx|1xa，a1(1)若AB，求a的取值范围； (2)若BA，求a的取值范围解(1)若AB，由图可知a2.(2)若BA，由图可知1a2.题型八已知集合交集、并集求参数例题8(1)已知集合Mx|x22x
13、30和Nx|x2k1，kN*，则MN()A1，5) B. C. D答案：B解析 (1)因为集合M，Nx|x2k1，kN*，所以MN.(2)已知Ax|2axa3，Bx|x1，或x5，若AB，求实数a的取值范围答案由AB，(1)若A，有2aa3，a3.(2)若A，如下图： 解得a2.综上所述，a的取值范围是a|a2，或a3变式题(1)已知集合A1，2a，Ba，b，若AB，则AB为()A. B. C. D. 答案：D 因为AB，所以2a，即a1，所以b，所以A，B，所以AB.（2）设集合Ax|1xa，Bx|1x3且ABx|1x3，求a的取值范围解如下图所示，由ABx|1x3知，1a3.题型九交集、并
14、集、补集的综合运算例题9(1)已知集合A、B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB等于()A3 B4 C3,4 D(2)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|2x1 Bx|x4 Cx|x1 Dx|x1答案(1)A(2)C解析(1)U1,2,3,4，U(AB)4，AB1,2,3又B1,2，3A1,2,3 又UB3,4，AUB3(2)因为Sx|x2，所以RSx|x2而Tx|4x1，所以(RS)Tx|x2x|4x1x|x1（3）已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_答案：AxR|x2|3xR|5x1，由
15、AB(1，n)，可知m2，则Bx|mx2，画出数轴如图所示，可得m1，n1. 变式题(1)设全集UR，集合Ax|x3，Bx|x6，则集合(UA)B()Ax|3x6 Bx|3x6Cx|3x6 Dx|3x6答案：CUAx，所以(UA)Bx.(2)设集合Mx|x2，集合Nx|0x1，则下列关系中正确的是()AMNR BM(RN)RCN(RM)R DMNM答案：(2)B解析 (1)(2)显然MNM，MNN，RMx|x2，N(RM)x|x2或0x1，故A，C，D错误Mx|x2，RN或，则M(RN)R，故选B.（3）设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B.解把全集R和集合A、B
16、在数轴上表示如下：由图知，ABx|2x10，R(AB)x|x2，或x10RAx|x3，或x7， (RA)Bx|2x3，或7x10题型十补集的综合应用例题10已知全集UR，集合Ax|x1，Bx|2axa3，且BR A，求a的取值范围解由题意得RAx|x1(1)若B，则a32a，即a3，满足BRA.(2)若B，则由BRA，得2a1且2aa3，即a3.综上可得a.变式题：已知集合Ax|xa，Bx1，或x0，若A(RB)，求实数a的取值范围解Bx|x1，或x0，RBx|1x0，因而要使A(RB)，结合数轴分析(如图)，可得a1.题型十一新定义集合问题例题11 若集合A具有以下性质：()0A，1A；()
17、若xA，yA，则xyA，且x0时，A.则称集合A是“好集”下列说法中正确的个数是()集合B1，0，1是“好集”；有理数集Q是“好集”；设集合A是“好集”，若xA，yA，则xyA.A0 B1 C2 D3答案C解析 集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为1B，1B，所以112B，这与2B矛盾有理数集Q是“好集”，因为0Q，1Q.对任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0时，Q，所以有理数集Q是“好集”因为集合A是“好集”，所以0A，若xA，yA，则0yA，即yA，所以x(y)A，即xyA.故选C.变式题 定义集合运算：ABx|xA，且xB，已知集合Mx|3x4，Nx|1x7，则(NM)M_答案x
18、|4x7解析 因为NMx|xN，且xMx|4x7，所以(NM)Mx|xNM，且xMx|4x7三、课后作业1下列能构成集合的是()A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼答案C解析A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合2已知R；Q；0N；Q；3Z.正确的个数为_答案3解析是正确的；是错误的3已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为()A2 B3C0或3 D0,2,3均可答案B解析因为2A，所以m2或m23m22，解得m0或m2或m3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m3，故选B.4集合Ay|y
19、x21，集合B(x，y)|yx21(A，B中xR，yR)选项中元素与集合的关系都正确的是()A2A，且2BB(1,2)A，且(1,2)BC2A，且(3,10)BD(3,10)A，且2B答案C解析集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2B不正确，所以A错5已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10答案D解析B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1，(3,1)，(3,2)，(4,1)，
20、(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含元素的个数为10.6集合Ax|0x3，xN的真子集的个数为()A4 B7 C8 D16答案B解析可知A0,1,2，其真子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，即共有2317(个)7已知M1,0,1，Nx|x2x0，则能表示M，N之间关系的Venn图是()答案C解析M1,0,1，N0，1，N M.8设AxN|1x10，BxR|x2x60，则如图中阴影部分表示的集合为()A2 B3 C3,2 D2,3答案A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合B中的方程
21、可知B3,2，因此阴影部分显然表示的是AB29已知Ax|x10，B2，1,0,1，则(RA)B等于()A2，1 B2C1,0,1 D0,1答案A解析因为集合Ax|x1，所以RAx|x1，则(RA)Bx|x12，1,0,12，110设全集U是实数集R，Mx|x2，或x2，Nx|1x3如图所示，则阴影部分所表示的集合为()Ax|2x1 Bx|2x3Cx|x2，或x3 Dx|2x2答案A解析阴影部分所表示的集合为U(MN)(UM)(UN)x|2x2x|x1或x3x|2x1故选A.11某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动
22、的人数为_答案12解析设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15xx10x830x3，所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15312(人)12设集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，则实数k的取值范围为_答案k6解析因为Nx|2xk0x|x，且MN，所以3k6.13设集合Mx|2x25x30，Nx|mx1，若NM，则实数m 的取值集合为_答案2,0， 解析集合M3， 若NM，则N3或或.于是当N3时，m；当N时，m2；当N时，m0.所以m的取值集合为2,0， 14已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.答案6解析xN,2xa，且集合P
23、中恰有三个元素，结合数轴知a6.15若集合A1,0,1，By|yx2，xA，则AB()A0 B1 C0,1 D0，1解析：选C因为By|yx2，xA0,1，所以AB0,116已知集合Ay|y|x|1，xR，Bx|x2，则下列结论正确的是()A3A B3BCABB DABB17(2017成都模拟)已知全集UR，集合Ax|0x2，Bx|x210，则图中的阴影部分表示的集合为()A(，1(2，) B(1,0)1,2C1,2) D(1,2解析：选B因为Ax|0x2，Bx|1x1，所以ABx|1x2，ABx|0x1故图中阴影部分表示的集合为(AB)(AB)(1,0)1,218集合Ax|x2x60，By|y，0x4，则A(RB)_.解析：Ax|x2x60x|3x2，By|y，0x4y|0y2，RBy|y2A(RB)3,0)答案：3,0)19已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)0，B.若AB，则实数a的取值范围是_解析：Ay|y
