1、28、公约公倍问题29、最值问题30、列方程问题 1 归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1份数量 1份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？ 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 2归总问题 解题时，常常先找出“总
2、数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。份数总量1份数量份数另一份数另一每份数量 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？3 和差问题 已知两个数量的和
3、与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 大数（和差） 2 小数（和差） 2 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？4 和倍问题 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题
4、叫做和倍问题。 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？ 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？ 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？5 差倍问题 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这
5、类应用题叫做差倍问题。 两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？ 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？6 倍比问题 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。一
6、个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？ 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？ 7 相遇问题 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 南京到上
7、海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。8 追及问题 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，
8、后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货
9、车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。9 植树问题 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题
10、叫做植树问题。线形植树 棵数距离棵距1环形植树棵距 方形植树棵距4三角形植树棵距3 面积植树 棵数面积（棵距行距） 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？ 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯
11、，一共可以安装多少盏路灯？10 年龄问题 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？ 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对
12、甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 11 行船问题 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 （顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？ 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地
13、需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？ 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？12 列车问题 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速） 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？ 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分
14、5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？ 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？ 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？13 时钟问题 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差
15、为11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？14 盈亏问题 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈）参加分配总人数（大亏小亏） 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分
16、3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？ 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？15 工程问题 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单
17、位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率） 变通后可以利用上述数量关系的公式。 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？ 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？ 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有
18、若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？16 正反比例问题 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 判断正比例
19、或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？ 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？ 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？17 按比例分配问题 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形
20、式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？ 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米？ 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三
21、个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？ 人 数 80人一共多少人？对应的份数 1288122118 百分数问题 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，
22、两个百分点就是2%。 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量 标准量比较量百分数 一般有三种基本类型： （1） 求一个数是另一个数的百分之几； （2） 已知一个数，求它的百分之几是多少； （3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？ 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有： 增长率增长数原来基数100% 合格率合格产品数产品总数 出勤率实际出勤人数应出勤人数 出勤率实际出勤天数应出勤天数缺席率缺席人数实有总人数 发芽率发芽种子数试验种子总数 成活率成活棵数种植总棵数 出粉率面粉重量小麦重量 出油率油的重量油料重量 废品率废品数量全部产品数量 命中率命中次数总次数 烘干率烘干后重量烘前重量 及格率及格人数参加考试人数19 “牛吃草”问题 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关
