1、考研数学大纲详解参考教材分析高 等 数 学考研指定教材：同济大学数学系主编高等数学（上下册）（第六版）内容来自互联网，仅供参考。 第一章 函数与极限 (7天)（考小题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第1节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看） 习题11：4，5，6，7，8，9，13，15，16（重点）1理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3理解复合函数及分段函数的概
2、念，了解反函数及隐函数的概念4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系6掌握极限的性质及四则运算法则.7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质第2节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性
3、质(唯一性、有界性、保号性 )（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）习题12：1第3节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等） P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）习题13：1，2，3，4第4节：无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明）习题14：1，6第5节：极限的运算法则（掌
4、握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论)（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)习题15：1，2，3，4,5（重点）第6节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）P51(例1)习题16：
5、1，2，4第7节：无穷小的比较（重要）无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）P57(例1)P58(例5)习题17：全做第8节：函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。例1例5习题18：1，2，3，4，5（重点）第9节：连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,差,积,商的连续性,
6、反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性) （定理3,4的证明不用看）例4例8 习题19：1，2，3，4，5，6（重点）第10节：闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题特别是证明题会用到）理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法).（一致连续性不用看）例1例2习题110：1，2，3，5（要会用5题的结论）自我小结总复习题一：除了7，8，9以外均做， 3,5,11,14（重点）本章测试题 检验自己是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对
7、本章的内容进行复习或者到总部答疑。第二章 导数与微分(6天)（小题的必考章节）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第1节:导数的概念（重要）导数的定义、几何意义、物理意义（数三不作要求，可不看，数三要知道导数的经济意义：边际与弹性），单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方程.（导数定义年年必考）例1例6 习题21：3,4,5，6，7,8，11，15，16，17，18,19,（重点）201. 理解导数和微分的概念，理解导数与
8、微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系第2节：函数的求导法则（考小题）复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法（基本求导法则与求导公式要非常熟）（定理1，3的证明不用看，例1，17不用做，定理2的证明理解，例6,7,8重点做）习题22：除2,3,4,12不用做，其余全做，13,14重点做 2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分
9、形式的不变性，会求函数的微分3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数4会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.第3节：高阶导数（重要，考的可能性很大）高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）例1例7 习题23：5,6,7，11不用做，其余全做，4,12重点做第4节：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）由参数方程确定的函数的求导法（数三不用看），变限积分的求导法，隐函数的求导法（相关变化率不用看）例1例10 习题24：9,10,11,12均不用做，数三5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做第5节：函数的
10、微分（考小题）函数微分的定义，微分运算法则，微分几何意义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲不作要求）例1例6 习题25：5,6,7,8，9,10，11,12均不用做，其余全做自我小结总复习题二：4,10,15,16,17,18均不用做，其余全做，2,3,6,7,14重点做，数三不用做12,13第二章测试题 第三章 微分中值定理与导数的应用（8天）考大题难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第1节：微分中值定理（最重要，与中值定理应用有关的证明题）微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义）（四个定理要会证明，及其
11、重要）例1，习题31：除了13,15不用做，其余全部重点做1理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理2掌握用洛必达法则求未定式极限的方法3理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用4会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形5了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径第2节：洛必达法则（重要，基本必考）洛比达法则及其应用（洛比达法则要会证明，重要） 例1例10，习题32：全做，1,3,
12、4重点做第3节：泰勒公式（掌握其应用）泰勒中值定理，麦克劳林展开式（可不看公式的证明）例1例3 习题33：8,9不用做，其余全做10（1）（2）（3）重点做第4节：函数的单调性与曲线的凹凸区间（考小题）求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐近线（选择题及大题会用到）例1例12 习题34：3（1）（2）（5）,5（1）（2），8（1）（2），9（1）（3）（5），10（2）不用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做第5节：函数极值与最大值最小值（考小题为主）函数的极值(一个必要条件,两个充分条件),最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题 例5,6,7
13、不用看 习题3-5:1（2）（3）（6）（9）8,9,10,11,12,13,14，15,16均不用做，其余全做第6节：函数图形的描绘（重要）简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。例1例3 习题36：25第7节：曲率（数三不作要求，仅数一、数二要求）曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看） 例1例3,习题37：16第8节：方程近似解（不用看）自我小结总复习题三：数一、数二全做，数三15不用做；其中2（2）,3,7,8,9,10,（3）（4），11（3），12,17
14、,18,20重点做第三章测试题 总结第四章 不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：不定积分的概念与性质（重要）原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关系），基本的积分公式，原函数的存在性，原函数的几何意义和力学意义（数三不作要求） 例1例16 习题41：1，2,3,4,61理解原函数概念，理解不定积分的概念2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分换元积分法与分部积分法3会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分第二节：换元积分法（重要，第二类换元积分法更为重要）不定积分的换元积分法，第
15、二类换元法 例1例27习题42：1,2（1）（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做第三节：分部积分法（考研必考）不定积分的分部积分法 例1例10 习题43：124第四节：有理函数积分（重要）有理函数积分法，可化为有理函数的积分，例1例8 习题44：124不定积分计算 总复习题四：140第5节:积分表的使用（不用看）自我小结总结本章 第五章 定积分(6天）（重要，考研必考）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的概念与性质（理解）定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分中值定理要会证明)（定积分近似计算不用看） 习题5
16、1：1,2,3,6,8,9,10均不用做，其余全做，5,11,12重点做1理解原函数概念，理解定积分的概念2掌握定积分的基本公式，掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法3会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分4理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式5了解广义反常积分的概念，会计算广义反常积分第二节：微积分基本公式（重要）微积分的基本公式 积分上限函数及其导数（极其重要，要会证明） 牛顿莱布尼兹公式（重要，要会证明） 例5不用做，例6极其重要，记住结论 习题52：6（1）（2）（4）（5）（6）（7）,7,8均不用做，其余全做，2数三不做，9（2）
17、，10,11,12,13重点做第三节：定积分的换元积分法与分部积分法（重要，分部积分法更为重要）定积分的换元法与分部积分法 例1例10 例5，例6，例7，例12经典例题，记住结论习题53：1（1）（2）（3）（6）（12）（14）（15）（16），7（1）（3）（8）（9）不用做，其余全做，重点做1（4）（7）（17）（18）（25）（26）,2,6,7（7）（10）（12）（13）第4节：反常积分（考小题）反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常积分 例1例5 习题：54：全做，3题结论记住第五节：反常积分的审敛法（不用看）总复习题五：1（3），2（3）（4）（5）,15,16不用做，其余全做
18、，重点做3,5,7,8,9,10（1）（2）（3）（8）（9）（10）,13,14,17自我小结总结本章 第6章 定积分的应用(4天)（考小题为主）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的元素法（理解）定积分元素法 1. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值等第二节：定积分在几何学上的应用（面积最重要）一元函数积分学的几何应用（求平面曲线的弧长与曲率（仅数一看），求平面图形的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积(数三不作要求)，求旋转面的面积定
19、积分的几何应用相关计算 定积分应用的一些计算 习题62：数一全做；数二、数三21-30不用做第三节：定积分在物理学上的应用（数三不用看，数一数二了解）定积分的物理应用（用定积分求引力，用定积分求液体静压力，用定积分求功）。综合题目的求解。（数三不用看，数一数二了解） 例1例5 习题63：数一、数二做总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三只做3，4,5自我小结总结本章第七章 常微分方程 (9天)（本章对数二相对重要，必考章节） 学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第1节：微分方程基本概念（了解）微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解，例1、2、3、4，（例2数三不用看）习题7-1：1（3）（
20、4），2（2）（4），3（2），4（2）（3），51了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4会用降阶法解下列微分方程：和.5理解线性微分方程解的性质及解的结构6掌握二阶常系数线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程8会解欧拉方程9会用微分方程解决一些简单的应用问题第2节：可分离变量的微分方程（理解）可分离变量的微分方程的概念及其解法 例1
21、、2、3、4，（例2,3,4数三不作要求）习题7-2：1，2第3节：齐次方程（理解）一阶齐次微分方程的形式及其解法（例2不用看，可化为齐次的方程不用看）习题73：1，2第4节：一阶线性微分方程（重要，熟记公式）一阶线性微分方程、伯努利方程（仅数一考，记住公式即可），例1，3，4，习题7-4：1，2，3，8仅数一做第五节：可降解的高阶微分方程（仅数一、数二考，理解）全微分方程（会求全微分方程）会用降阶法解下列微分方程：和，例16习题：7-5：数三不用做、数一数二只做1,2第六节：高阶线性微分方程（理解）线性微分方程解的结构（重要）（微分方程的特解、通解）（二阶线性微分方程举例不用看；常数变易法不
22、用看）定理1,2，3,4重点看习题7-6：1，3,4第七节：常系数齐次线性微分方程（最重要，考大题）特征方程，微分方程通解中对应项例1，2，3，6，7（例4,5不用做）习题77：1，2第八节：常系数非齐次线性微分方程（最重要，考大题）会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程例14，（例5不用看） 习题78：1，2,6重点做第九节：欧拉方程（仅数一考，了解）欧拉方程的通解习题79：数一只做5,8（第十节不用看）自我小结总复习题十二：1（1）（2）（4），2（2），3（1）（3）（5）（7）（8），4（3）（4），5，7,8，10 其中8,10
23、仅数一做第八章 空间解析几何和向量代数(4天)（仅数一考，考小题，了解）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：向量及其线性运算向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模、方向、投影例1例8 习题71： 11.12.13.15.17.18.191.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利
24、用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.第2节：数量积,向量积,混合积向量的数量积,向量的向量积例1例7习题72:3,4,6,9,10第3节：曲面及其方程曲面方程 旋转曲面、柱面、二次曲面。旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程) 例1
25、例5 习题73：2.5.6，8，9，10第4节：空间曲线及其方程空间直线及其方程(空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角) 例1例4 习题74：2，3，5，6第5节：平面及其方程平面, 平面方程，两平面之间的夹角 例1例5 习题75：1，2，3，5，6，9第6节：空间直线及方程直线与直线的夹角以及平行,垂直的条件,点到平面和点到直线的距离,球面,母线平行于坐标轴的柱面 例1例7 习题76：19，11，12自我小结总复习题七：1，921第九章 多元函数微分法及其应用 (10天)（考大题的经典章节，但难度一般不大）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：多元函数基本概念
26、（了解）二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理例18，习题81：2，3，4，5，6，81理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质3理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性4理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.5掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法6会用隐函数的求导法则.7了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程8了解二元函数的二阶泰勒公式9理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元
27、函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题第二节：偏导数（理解）偏导数的概念，高阶偏导数的求解（重要） 例18，习题82：1，2，3，4，6，9第三节：全微分（理解）全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件（全微分在近似计算中应用不用看）例1，2，3，习题83：1，2，3，4第四节：多元复合函数的求导法则（理解，重要）多元复合函数求导，全微分形式的不变性例16，习题84：112第5节：隐函数的求导公式（理解，小题）隐函数存在的3个定理（方程组的情形不用看）例14，习题85：19第6节：多元函数微分学的几
28、何应用（仅数一考，考小题）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程（一元向量值函数及其导数不用看）例27，习题86： 19第七节：方向导数与梯度（仅数一考，考小题）方向导数与梯度的概念与计算例15，习题87：18，10第八节：多元函数的极值及其求法（重要，大题的常考题型）多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值例19，习题88：110第九节：二元函数的泰勒公式（仅数一考，了解）n阶泰勒公式，拉格朗日型余项（极值充分条件的证明不用看）（第十节 最小二乘法 不用看）例1，习题89：1，2，3自我小结总复
29、习题八：13，5，6，8，1119本章测试题检验自己是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。 第十章 重积分(7天)（重要，数二、数三相对于数一，本章更加重要，数二、数三基本必考大题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第1节：二重积分的概念与性质（了解）二重积分的定义及6个性质习题91：1，4，51. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）3会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（曲面面积、质量、质心、形心、转动惯量、引力）第二节：二重积分的计算法（重要，数二、数三极其重要）会利用直角坐标、极坐标计算二重积分（二重积分换元法不用看）例16，习题92：1，2， 4，6，7，8，12，14，15，16)第三节：三重积分（仅数一考，理解）三重积分的概念，利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分的计算(三重积分的计算重要)例14，习题93：1，2，410第四节：重积分的应用（仅数
