1、相交线与平行线常考题目及问题详解绝对经典.相交线与平行线一选择题（共3小题）1在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3l8，若l1l2，l2l3，l3l4，l4l5以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A平行B垂直C平行或垂直D无法确定2如图，直线AB、CD相交于O，OEAB，OFCD，则与1互为余角的有（）A3个B2个C1个D0个3如图所示，同位角共有（）A6对B8对C10对D12对Word资料.二填空题（共4小题）4一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块5如图，P点坐标为（3，3），l1l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为6如图，直线l1l
2、2，1=20，则2+3=7将一副学生用三角板按如图所示的方式放置若AEBC，则AFD的度数是评卷人得分三解答题（共43小题）8已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平FED，ABCD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点Word资料.（1）如图1，HM平分BHP，若HPEF，求M的度数（2）如图2，EN平分HEF交AB于点N，NQEM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究FHE与ENQ的关系，并证明你的结论9我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由10
3、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC（1）若EOC=70，求BOD的度数（2）若EOC：EOD=4：5，求BOD的度数11如图，直线EF，CD相交于点0，OAOB，且OC平分AOF，（1）若AOE=40，求BOD的度数；（2）若AOE=，求BOD的度数；（用含的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出AOE和BOD有何关系？12如图1，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分ADC，BE平分ABC，直线DE、BE交于点E，CBN=100（1）若ADQ=130，求BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，W
4、ord资料.若ADQ=n，求BED的度数（用含n的代数式表示）13如图，将含有45角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若1=26（1）求2的度数（2）若3=19，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由14如图，已知直线l1l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合记AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若点P在图（1）位置时，求证：3=1+2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出1、2、3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出1、2、3之间的关系并给予证明15如图，已知ABPNCD（1）试探索ABC，BCP和CPN
5、之间的数量关系，并说明理由；Word资料.（2）若ABC=42，CPN=155，求BCP的度数16如图，ADBC，EAD=C，FEC=BAE，EFC=50（1）求证：AECD；（2）求B的度数17探究题：（1）如图1，若ABCD，则B+D=E，你能说明理由吗？（2）反之，若B+D=E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由（3）若将点E移至图2的位置，此时B、D、E之间有什么关系？直接写出结论（4）若将点E移至图3的位置，此时B、D、E之间有什么关系？直接写出结论（5）在图4中，ABCD，E+G与B+F+D之间有何关系？直接写出结论Word资料.18如图1，ABCD，在AB、CD内有一
6、条折线EPF（1）求证：AEP+CFP=EPF（2）如图2，已知BEP的平分线与DFP的平分线相交于点Q，试探索EPF与EQF之间的关系（3）如图3，已知BEQ=BEP，DFQ=DFP，则P与Q有什么关系，说明理由（4）已知BEQ=BEP，DFQ=DFP，有P与Q的关系为（直接写结论）19如图所示，L1，L2，L3交于点O，1=2，3：1=8：1，求4的度数20如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中1=50，2=50，3=130，找出图中的平行线，并说明理由21如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD（1）若AOC=70，DOF=90，求EOF的度数；Word资料.（2）若OF平分
7、COE，BOF=15，若设AOE=x则EOF=（用含x的代数式表示）求AOC的度数22如图，直线AB、CD相交于点O，已知AOC=75，OE把BOD分成两个角，且BOE：EOD=2：3（1）求EOB的度数；（2）若OF平分AOE，问：OA是COF的角平分线吗？试说明理由23如图，直线AB、CD相交于点O，AOC=72，射线OE在BOD的内部，DOE=2BOE（1）求BOE和AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出DOF的度数24如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC，且EOC：EOD=2：3Word资料.（1）求BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F
8、，FM平分OFG，且MFHBOD=90，求证：OEGH25如图，直线ABCD相交于点O，OE平分BOC，COF=90（1）若BOE=70，求AOF的度数；（2）若BOD：BOE=1：2，求AOF的度数26几何推理，看图填空：（1）3=4（已知）（）（2）DBE=CAB（已知）（）（3）ADF+=180（已知）ADBF（）27如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD（1）若AOC=68，DOF=90，求EOF的度数Word资料.（2）若OF平分COE，BOF=30，求AOC的度数28将一副三角板拼成如图所示的图形，DCE的平分线CF交DE于点F（1）求证：CFAB（2）求DFC的度数29看
9、图填空，并在括号内注明说理依据如图，已知ACAE，BDBF，1=35，2=35，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为1=35，2=35（已知），所以1=2所以（）又因为ACAE（已知），所以EAC=90（）所以EAB=EAC+1=125同理可得，FBG=FBD+2=所以EAB=FBG（）所以（同位角相等，两直线平行）Word资料.30已知如图所示，B=C，点B、A、E在同一条直线上，EAC=B+C，且AD平分EAC，试说明ADBC的理由31如图，直线AB、CD相交于点O，OE把BOD分成两部分；（1）直接写出图中AOC的对顶角为，BOE的邻补角为；（2）若AOC=70，且BOE：EOD
10、=2：3，求AOE的度数32如图，已知ABCD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中P=90，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当PMN所放位置如图所示时，则PFD与AEM的数量关系为；（2）当PMN所放位置如图所示时，求证：PFDAEM=90；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且DON=30，PEB=15，求N的度数Word资料.33阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为1+2=180，2+4=180（已知）所以1=4，（）所以ac（）又因为2+3=180（已知）3=6（）所以2+6=180（，）所以ab（）所以bc（）34已知：如图，ABCD，FGHD，B
11、=100，FE为CEB的平分线，求EDH的度数35已知：如图，ABCD，FEAB于G，EMD=134，求GEM的度数36如图，B和D的两边分别平行Word资料.（1）在图1中，B和D的数量关系是，在图2中，B和D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数37已知ADBC，ABCD，E为射线BC上一点，AE平分BAD（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：BAE=BEA（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若ADE=3CDE，AED=60求证：ABC=ADC
12、；求CED的度数38如图，已知ab，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究1、2、3、4、5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由Word资料.39如图，ABDC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，B，E，F，G，D之间又会有何关系？40已知直线ABCD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出ABE，CDE和BED之间的数量关系是（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分ABE，CDE，直接写出BFD和BED的数量关系是（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分ABE，CDE，那么BFD和BED有怎样的数量关系？请说明理由41（1）如图，直线a，b，c两
13、两相交，3=21，2=155，求4的度数（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分COE，AOD：BOE=4：1，求AOF的度数42如图，已知CDDA，DAAB，1=2试说明DFAE请你完成Word资料.下列填空，把解答过程补充完整解：CDDA，DAAB，CDA=90，DAB=90（）CDA=DAB（等量代换）又1=2，从而CDA1=DAB（等式的性质）即3=DFAE（）43如图1，ABCD，EOF是直线AB、CD间的一条折线（1）说明：O=BEO+DFO（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则BEO、O、P、PFC会满足怎样的关系，证明你的结论（3）若将折线继续折下去，折
14、三次，折四次折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论44如图，已知1=60，2=60，MAE=45，FEG=15，EG平分AEC，NCE=75求证：（1）ABEF（2）ABNDWord资料.45如图，E=1，3+ABC=180，BE是ABC的角平分线求证：DFAB46已知，直线ABCD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC（1）如图，若A=30，C=40，则AEC=（2）如图，若A=100，C=120，则AEC=（3）如图，请直接写出A，C与AEC之间关系是47如图，已知ABCD，EFAB于点G，若1=30，试求F的度数48生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就
15、会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的ABC的度数Word资料.（2）图2中AEBC，请你计算出AFD的度数49如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若EFG=50，求1，2的度数50如图所示，在长方体中（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？Word资料.Word资料.参考答案及解析一选择题（共3小题）1在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3l8，若l1l2，l2l3，l3l4，l4l5以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A平行B垂直C平行或垂直D无法确定【分析】如果一条直线
16、垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行【解答】解：l2l3，l3l4，l4l5，l5l6，l6l7，l7l8，l2l4，l4l6，l6l8，l2l8l1l2，l1l8故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键2如图，直线AB、CD相交于O，OEAB，OFCD，则与1互为余角的有（）A3个B2个C1个D0个【分析】由OEAB，OFCD可知：AOE=DOF=90，而1、AOF都与EOF互余，可知1=AOF，因而可以转化为求1和AOF的余角Word资料.共有多少个【解答】解：OEAB，OF
17、CD，AOE=DOF=90，即AOF+EOF=EOF+1，1=AOF，COA+1=1+EOF=1+BOD=90与1互为余角的有COA、EOF、BOD三个故选A【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求1和AOF的余角3如图所示，同位角共有（）A6对B8对C10对D12对【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角则总共1
18、0对故选C【点评】本题主要考查同位角的概念即两个都在截线的同旁，又分别处在Word资料.被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角二填空题（共4小题）4一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成8块【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块【解答】解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键5如图，P点坐标为（3，3），l1l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为9【分析】过P分别作x轴
19、和y轴的垂线，交x轴和y轴与C和D构造全等三角形PDBPCA（ASA）、正方形CODP；所以S四边形OAPB=S正方形ODPC=33=9【解答】解：过P分别作x轴和y轴的垂线，交x轴和y轴于点C和DP点坐标为（3，3），PC=PD；又l1l2，BPA=90；Word资料.又DPC=90，DPB=CPA，在PDB和PCA中PDBPCA（ASA），SDPB=SPCA，S四边形OAPB=S正方形ODPC+SPCASDPB，即S四边形OAPB=S正方形ODPC=33=9故答案是：9【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB的面积6如图，直线l1
20、l2，1=20，则2+3=200【分析】过2的顶点作l2的平行线l，则ll1l2，由平行线的性质得出4=1=20，BAC+3=180，即可得出2+3=200【解答】解：过2的顶点作l2的平行线l，如图所示：则ll1l2，4=1=20，BAC+3=180，2+3=180+20=200；Word资料.故答案为：200【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等7将一副学生用三角板按如图所示的方式放置若AEBC，则AFD的度数是75【分析】根据平行线的性质得到EDC=E=45，根据三角形的外角性质得到AFD=C+EDC，代入即可求出答案【解答
21、】解：EAD=E=45，AEBC，EDC=E=45，C=30，AFD=C+EDC=75，故答案为：75【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中三解答题（共43小题）8已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平FED，ABWord资料.CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点（1）如图1，HM平分BHP，若HPEF，求M的度数（2）如图2，EN平分HEF交AB于点N，NQEM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究FHE与ENQ的关系，并证明你的结论【分析】（1）首先作MQAB，根据
22、平行线的性质，推得M=（FHP+HFP）；然后根据HPEF，推得FHP+HFP=90，据此求出M的度数即可（2）首先判断出NEQ=NEF+QEF=（HEF+DEF）=HED，然后根据NQEM，可得NEQ+ENQ=90，推得ENQ=（180HED）=CEH，再根据ABCD，推得FHE=2ENQ即可首先判断出NEQ=QEFNEF=（DEFHEF）=HED，然后根据NQEM，可得NEQ+ENQ=90，推得ENQ=（180HED）=CEH，再根据ABCD，推得FHE=1802ENQ即可【解答】解：（1）如图1，作MQAB，ABCD，MQAB，MQCD，1=FHM，2=DEM，Word资料.1+2=FH
23、M+DEM=（FHP+FED）=（FHP+HFP），HPEF，HPF=90，FHP+HFP=18090=90，1+2=M，M=（2）如图2，FHE=2ENQ，理由如下：NEQ=NEF+QEF=（HEF+DEF）=HED，NQEM，NEQ+ENQ=90，ENQ=（180HED）=CEH，ABCD，FHE=CEH=2ENQ如图3，FHE=1802ENQ，理由如下：NEQ=QEFNEF=（DEFHEF）=HED，Word资料.NQEM，NEQ+ENQ=90，ENQ=（180HED）=CEH，ABCD，FHE=180CEH=1802ENQ综上，可得当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，FHE=2EN
24、Q或FHE=1802ENQ【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等9我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答【解答】解：如图
25、：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2个交点；4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；Word资料.n条直线相交有1+2+3+4+5+（n1）=个交点【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有个交点10如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC（1）若EOC=70，求BOD的度数（2）若EOC：EOD=4：5，求BOD的度数【分析】（1）根据角平分线的定义求出AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；（2）设EOC=4x，根据邻补角的概念列出方程，解方程求出EOC=80，根据
26、角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案【解答】解：（1）EOC=70，OA平分EOC，AOC=35，BOD=AOC=35；（2）设EOC=4x，则EOD=5x，5x+4x=180，解得x=20，Word资料.则EOC=80，又OA平分EOC，AOC=40，BOD=AOC=40【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180是解题的关键11如图，直线EF，CD相交于点0，OAOB，且OC平分AOF，（1）若AOE=40，求BOD的度数；（2）若AOE=，求BOD的度数；（用含的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出AOE和BOD有何关系？【分析】（1）、（2）根据平角的性质求得AOF，又有角平分线的性质求得FOC；然后根据对顶角相等求得EOD=FOC；BOE=AOBAOE，BOD=EODBOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系
