1、,测量学,主讲：付建红,第三章 测量误差基本知识,测量学,遥感信息工程学院,主要内容,遥感信息工程学院,观测误差的分类衡量精度的标准算术平均值及其观测值的中误差误差传播定律加权平均值及其精度评定间接平差原理,3.1,遥感信息工程学院,观测误差的分类,测量误差产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性,A,B,S往,S返B,A,C,S往,S返,一、测量误差产生的原因,遥感信息工程学院,一、测量误差产生的原因,人（观测者）仪器,外界环境,观 测 条 件,凡是观测条件相同的同类观测称为“等精度观测”，观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测”。,遥感信息工程学院,1591中丝读书：15921
2、593,遥感信息工程学院,遥感信息工程学院,A,B,水准测量,视准轴水准管,i角,遥感信息工程学院,观测值,实际值,遥感信息工程学院,二、测量误差的分类与处理原则,遥感信息工程学院,系统误差偶然误差粗差系统误差:在相同观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同 或者具有一定的规律性。,0,10,20,3030.04,N系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进 行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱。,遥感信息工程学院,偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，,偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处 理，可以求得参数的最可靠值
3、。,如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任 何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。8.5,12345678.48.78.58.68.38.28.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1,N,遥感信息工程学院,粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。,在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除。,N,遥感信息工程学院,三、偶然误差的特性,遥感信息工程学院,1、真值和真误差真值：某一个量的真实值（X）在相同观测条件下，对此量进行n次观测，观测值：L1，L2，Ln真误差:真值 X 与观测值 Li 之间的差值，用i 表示。i=X-Li,2、实
4、例,三角形内角和真误差:在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。i=180(i=1,2,3,.358),遥感信息工程学院,误差分布表,院,频率直方图,k/n d,-21-15-9-24-18-12,遥感信息工程学院,-3+3+9+15+21,-60+6+12+18+24,3、偶然误差的特性,有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即,遥感信息工程学院,误差分布曲线：正态分布,标准差：,方差：,概
5、率密度函数:,遥感信息工程学院,3.2,遥感信息工程学院,衡量精度的标准,中误差相对误差极限误差,一、中误差,标准差中误差,是反映一组误差离散程度的指标。,遥感信息工程学院,-m2-m1,+m1+m2,m2大精度低,观测条件,误差分布,观测值精度,曲线形态（陡峭、平缓）,具体的数值（大小）,观测精度（低、高）,遥感信息工程学院,精度(precise)和准确度(accuracy),Inaccurate and precise,遥感信息工程学院,Accurate and imprecise,Inaccurate and imprecise,Accurate and precise,举例【例】同精度
6、下对某一三角形进行了10次观测，求得每次 观测所得的三角形闭合差分别为（单位：）：-3，-2，+2，+4，-1，0，-4，+3，+2，-3。另一台仪器的观测结果（单位：）为：0，+1，-7，-2，-1，+1，+8，0，+3，-1。,遥感信息工程学院,二、相对误差,【例】分别丈量了S1=200m 及S2=40m 的两段距离，观测值的中误差均为2cm，试比较两者的观测成果质量。相对误差K:中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1表示,S1的丈量精度高于S2的丈量精度,遥感信息工程学院,三、极限误差,遥感信息工程学院,三、极限误差,概率密度函数：,遥感信息工程学院,3.3,遥感信息工程学院,算术平均值
7、及观测值的中误差,算术平均值观测值的改正值按观测值的改正值计算中误差,一、算术平均值,遥感信息工程学院,二、观测值的改正值,三、按观测值的改正值计算中误差在相同的观测条件下对某一量进行多次观测，则观测值为同 精度观测值，其中误差为：,遥感信息工程学院,白塞尔公式的推导,左右平方求和：,左右求和：,左右平方,遥感信息工程学院,按观测值改正值计算中误差,遥感信息工程学院,3.4,遥感信息工程学院,误差传播定律,观测值的函数观测值函数的中误差误差传播定律应用实例,问题的提出：,遥感信息工程学院,在上节介绍了对于某一个量直接进行多次观测，计 算观测值的中误差。许多未知量是不能直接观测得 到的。这些未知
8、量是观测值的函数，那么如何根据 观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的 关系的定律称为误差传播定律。,一、观测值的函数,和差函数:倍函数:线性函数:一般函数:,遥感信息工程学院,1、和或差的函数设有函数z=x+y，z:观测值的函数，x、y为独立观测 值，已知mx、my，求mz?真误差的关系式为：z x y若对x、y观测了n次则：zi xi yi（i=1n）将上式平方得：,(3)求和，并除以n:由于x,y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy(4)转换为中误差关系式:,/n=0,两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和,遥感信息工程学院,
9、二、观测值函数的中误差,n个观测值代数和的中误差平方，等于n个观测值中误 差的平方和。,n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的 平方根成正比。,遥感信息工程学院,2、倍函数,设有函数z=kx，z:观测值的函数，x为观测值，k为常数，已知mx，求mz?真误差的关系式为：z kx若对x、y观测了n次则：zi kxi（i=1n）将上式平方得：,(3)求和，并除以n:(4)转换为中误差关系式:观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数,遥感信息工程学院,3、线性函数,设有函数z=k1x1+k2x2+knxn，z:观测值的函 数，x1,x2,xn为独立观测值，k1,k2,kn为常数。已
10、知m i求m z?应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得,遥感信息工程学院,4、一般函数（非线性函数）,ba b,p=ab,b,a,a,b a,观测值a、b的中误差为ma、mb求 面积p的中误差。,遥感信息工程学院,遥感信息工程学院,(1)求偏微分,(2)转换为中误差关系式,遥感信息工程学院,三、误差传播定律应用实例,例1：用尺子在1:500的地图上量得两点间的距离 d=10cm，中误差md 0.1cm，求其相应的实地距 离D及其中误差mD。,遥感信息工程学院,例2：对某量进行了n次独立同精度观测：L1、L2、,Ln，中误差均为m,求其算术平均值的中误差。,观测值算术平均值的中误差是观测值中
11、误差的,遥感信息工程学院,例3：测得某矩形块地的长a=10m，宽b5m，a、b独 立，且ma2cm，mb1cm，求该块地的周长及中 误差。,S30m 4.5cm,遥感信息工程学院,注意单位统一,遥感信息工程学院,例5：设有函数：Z=X+Y，Y=3X，已知 mx，求 mz,正确解,注：由于X和Y不是独立观测值,遥感信息工程学院,总结,遥感信息工程学院,应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳 以下几步：,1、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真 误差的关系式3、独立性的判断4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式 注意单位的统一,(5)、对某一三角形内角重复观测了
12、9次，定义其闭合差：,=180，其结果如下(单位)：1=+3,2=-3=+6,4=+1,5=-3,6=-4,7=+3,8=+79=-8;求三角形闭合差的中误差m以及三角形内角的测角中误差m解：,遥感信息工程学院,(6)、对某个水平角以等精度观测了4个测回，观测值列于下表。计算其算术平均值、一测回的中误差和算术平均值的中误差。,遥感信息工程学院,(7)、对段距离，用测仪测定其水平距离4次，观测值列于下表。计算其算术平均值、算术平均值的中误差及其相对误差。,遥感信息工程学院,(8)、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角和，其测 角中误差均为20，计算第三个角及其中误差。,(9)、量得一圆形地物的
13、直径为64.780m5mm,求圆周长度S及其中误差ms解：,解：,遥感信息工程学院,(10)、量得矩形场地长度a=156.34m0.10m,宽度 b=85.27m0.05m，计算该矩形场地面积F及其面积中误 差mF,(11)、已知三角形三个内角、的中误差为，定义三角形闭合差为：,解：,遥感信息工程学院,解：,遥感信息工程学院,3.5,遥感信息工程学院,加权平均值及其精度评定,不等精度观测及观测值的权加权平均值加权平均值的中误差单位权中误差的计算,在相同条件下对某段长度进行两组丈量：,甲组：乙组：两组算术平均值分别为：L甲，L乙设每次观测值的中误差为m，求m甲和m乙，并求该长度的 最或是值是多少
14、？,遥感信息工程学院,遥感信息工程学院,1、如何求X的最或是值？,3、如何求2、如果已知,的中误差？的中误差，如何求观测值Li的中误差？,对某个未知量X,不等精度观测：,遥感信息工程学院,观测值的权式中：C为任意正数当观测值Li的权Pi1时，称为单位权观测值，其 中误差称为单位权中误差，用m0表示。,一、不等精度观测及观测值的权,遥感信息工程学院,反应观测值的相互精度关系；m0的大小对最或是值毫无影响；不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系；,权的特性,遥感信息工程学院,例：已知L1,L2,L3 的中误差分别为：,m1=3mm,m2=4mm,m3=5mm设 m0=m1=3mm设 m0=m2=4mm,遥感信息工程学院,二、加权平均值,遥感信息工程学院,三、加权平均值的中误差,遥感信息工程学院,四、单位权中误差的计算,遥感信息工程学院,加权平均值及其中误差的计算,遥感信息工程学院,(13)、已知,解：,遥感信息工程学院,(15)、设三角形三个内角为、，已知、的权分别为,4、2,角的中误差为9，根据、计算，求的权；计算单位权中误差m0 求、角的中误差m、m解：,遥感信息工程学院,
