1、新湘教版必修1高中数学 集合的含义和表示11集_合11.1集合的含义和表示集合的概念观察下面的例子：(1)我的家庭成员(2)2018年6月参加俄罗斯世界杯足球赛决赛圈的球队(3)高一(2)班的所有男生(4)我身边的好人在这些例子中提到的“家庭成员”、“球队”、“男生”等概念有什么共同的特征？“好人”具备这些特征吗？1集合与集合的元素把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个元素.2集合元素的特点同一个集合中的元素是互不相同的3元素与集合的关系若S是一个集合，a是S的一个元素，记作aS，读作a属于S，若a
2、不是S的一个元素，记作aS，读作a不属于S.1“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、“大于1的数”能构成一个集合吗？提示能，因为所研究的对象是确定的2“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、“接近0的数”能构成集合吗？提示不能，因为所研究的对象是不确定的.集合的例子1常见数集及其记法常见数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NNZQR2集合的分类有限集元素个数有限的集合叫有限集无限集元素无限多的集合叫无限集空集没有元素的集合叫空集，记作1用“”或“”填空1_N，3_N,0_N，_N，1_Z，3_Q,0_Z， _R.提示，20，0，有何区别与联系？提示0是一个
3、元素，0是含有一个元素0的集合，表示不含任何元素的集合，即空集.集合的表示方法下列集合的元素有何特点，可以用什么样的方法表示这些集合？(1)2018年6月在俄罗斯世界杯足球赛小组赛结束后进球超过3个的球员(2)12的所有正因数(3)不等式x23的解集(4)所有偶数的集合1列举法(1)把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法叫作列举法(2)用列举法表示集合，通常的格式是在一个大括弧里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔2描述法(1)把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合的方法叫作描述法(2)用描述法表示集合，通常的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有
4、属性11,2和(1,2)表示同一个集合，对吗？提示不对，1,2表示含有2个元素1和2的集合，它是一个数集而(1,2)则表示只含有一个元素(1,2)的集合，它是一个点集2用适当的方法表示下列集合(1)小于12的素数组成的集合，(2)方程x240的解组成的集合，(3)大于3小于9的实数组成的集合，(4)所有奇数组成的集合提示(1)2,3,5,7,11，(2)2,2，(3)x|3x9，(4)x|x2k1，kZ.区间的概念及表示(1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aax|xax|xa符号
5、(，)a，)(a，)(，a(，a)元素与集合的关系例1(1)所给下列关系正确的个数是()R；Q；0N；|3|N.A1 B2C3 D4(2)设A是中国的所有河流组成的集合，用符号“”或“”填空，则长江_A，尼罗河_A，亚马逊河_A，黄河_A.思路点拨解答本题可先弄清“”和“”、元素和集合间的关系，及特定的数集符号的含义，再进行判断解析(1)是实数，是无理数，正确N表示正整数，和不正确(2)长江在中国境内，故长江A；尼罗河不在中国境内，故尼罗河A；亚马逊河也不在中国境内，故亚马逊河A；黄河在中国境内，故黄河A.所以长江A，尼罗河A，亚马逊河A，黄河A.答案(1)B(2)借题发挥判断元素和集合关系的
6、两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可此时应首先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特性即可此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.1下列说法正确的是()A若aN，bN，则abN B若xN，则xQC若x0，则xN D若xZ，则xQ答案：B2设不等式32x0的解集为M，下列正确的是()A0M,2M B0M,2MC0M,2M D0M,2M解析：选B从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需
7、判断0和2是否是不等式32x0，所以0不属于M，即0M；当x2时，32x10，所以2属于M，即2M.集合的表示方法例2用适当的方法表示下列集合：(1)A(x，y)|xy4，xN，yN；(2)B；(3)方程x2y24x6y130的解集；(4)平面直角坐标系中所有第二象限的点思路点拨先确定给出的集合元素的特征，是数、是点还是其他元素？并注意集合中元素是有限个还是无限个若是有限个且能一一列出，可用列举法，否则采用描述法解(1)xy4，xN，yN，或或A(1,3)，(2,2)，(3,1)(2)Z，且xN，1x1,2,3,6.x0,1,2,5，即6,3,2,1.B6,3,2,1(3)方程x2y24x6y
8、130可化为(x2)2(y3)20，方程的解集可表示为(2，3)(4)(x，y)|x0，y0.借题发挥集合的两种表示方法的适用条件(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来，即采用描述法.3下列说法：集合xN|x3x用列举法表示为1,0,1；实数集可以表示为x|x为所有实数或R；方程组的解集为x1，y2其中正确的有()A3个 B2个C1个 D0个解析：选D由x3x，即x(x21)0，得x0或x1或x1，因为1N，故集合xN|
9、x3x用列举法表示应为0,1集合表示中的符号“”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为x|x为实数或R.方程组的解是有序实数对，而集合x1，y2表示两个方程的解集，正确的表示应为(1,2)或(x，y)| 集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素1和a2，若“aA”，求实数a的值思路点拨由于集合A中有两个元素，且aA，因此，需分a1或aa2分类讨论解由aA可知，当a1时，此时a21，与集合元素的互异性矛盾，所以a1.当aa2时，a0或1(舍去)综上可知，a0.借题发挥判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据如果考查的对象
10、是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.4若集合M中的三个元素a，b，c分别是ABC的三边长，则ABC一定不是()A等腰三角形 B直角三角形C钝角三角形 D锐角三角形解析：选A根据集合中的元素具有互异性可知，一定不是等腰三角形5已知集合A可表示为，求实数a应满足的条件解：由题意可得A，显然a0，由集合中元素的互异性可得解得a1，a1.故实数a应满足的条件为a0，a1，a1.1下列说法中正确的是()A某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B由1,2,3和，1，组成的集合不相等C不超过20的非负数组成一个集合D方程(x1)
11、(x1)20的所有解构成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定；B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D项中方程的解分别是x11，x2x31，由互异性知，构成的集合含2个元素2下列四个集合：AxR|yx21；By|yx21，xR；C(x，y)|yx21，xR；D不小于1的实数其中相同集合是()A与 B与C与 D与解析：选D可知AR，当xR时，y1，By|y1D.而C是一点集，故相同的集合只有B与D.3方程组的解集不可表示为()A. B. C1 D(1,1)解析：选C由得A、B、D三种表示均正确C是只含有一个元素1的集合，是数集，故C不对4用“”或“”填空(1
12、)Ax|x2x0，则1_A，2_A.(2)Bx|1x5，xN，则1_B,1.5_B；(3)Cx|1x3，xZ，则0.2_C,3_C.答案：(1)(2)(3)5对于集合A,若aA，则8aA，则a的取值构成的集合是_解析：当a2时，8a6A；a4时，8a4A；a6时，8a2A；a8时，8a0A.所求集合为2,4,6答案：2,4,66用另一种方法表示下列集合：(1)3，1,1,3,5；(2)已知M2,3，P(x，y)|xM，yM，写出集合P；(3).解：(1)x|x2k1，kZ且1k3(2)P(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)(3).集合的元素具有哪些性质呢？用列举法表示集合时需要考虑元
13、素的顺序吗？集合中的元素具有确定性，对于任何一个对象是否为已知集合中的元素，应是确定的aA与aA，这两种情况中必有一种且只有一种成立集合中的元素具有互异性，对于一个给定的集合，集合中的任何两个元素应都是不同的对象，集合中的元素是互异的集合中的元素不能重复，相同的元素归并在一个集合里时只能出现一次.用列举法表示集合时不用考虑集合元素的顺序，如2,1与1,2表示同一个集合一、选择题1下面有四个语句：集合N中最小的数是1；若aN，则aN；若aN，bN，则ab的最小值是2；x296x的解集中含有2个元素其中正确语句的个数是()A0 B1C2 D3解析：选A自然数集N中的最小数为0而不是1，错；对于，取
14、a，则N，且N，错；对于，由知不正确，对于，x296x的解集中仅有一个元素3.2由大于3且小于11的偶数所组成的集合是()Ax|3x11，xZBx|3x11Cx|3x11，x2k，kNDx|3x11，x2k，kZ解析：选D偶数集为x|x2k，kZ，则大于3且小于11的偶数所组成的集合为x|3x1用区间表示为_答案：(1)10,100(2)(1，)6用列举法表示集合A_.解析：由N，则必有1,2,3,6，所以a1,2,3,4.答案：1,2,3,4三、解答题7已知集合A1,3，a2a，a1，若aA，求实数a的值解：由集合元素的互异性知，a2aa1，a1，aA，a3或aa2a即a3或a0.当a3时，A1,3,12,4当a0时，A1,3,0,1，违背集合元素的互异性故a3.8已知集合Ax|ax22x10(1)若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；(2)若A中有两个元素，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，x，这时A，适合题意，当a0时，若A恰好只有一个元素，则方程ax22x10有相等的两个实根44a0，得a1.当a0或a1时，A中恰好只有1个元素(2)依题意，方程ax22x10有两个不相等的实根，a0且44a0.a1且a0.故a的取值范围为a|a1且a0
