1、人教版必修二高中数学第一章 空间几何体配套讲11空间几何体的结构11.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标1通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体棱柱、棱锥、棱台的结构特征2能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算知识链接观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？答(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥预习导引1空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间
2、几何体(2)多面体与旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点2几种常见的多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱ABCDEFABCDEF底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.如图可记作，棱锥SABCD底面(底
3、)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.如图可记作：棱台ABCDABCD上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.要点一棱柱的结构特征例1下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱其中正确说法的序号是_答案(3)(4)解析(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正
4、确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)规律方法棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形的公共边互相平行求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征跟踪演练1下列关于棱柱的说法错误的是()A所有的棱柱两个底面都平行B所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D棱柱至少有五个面答案C解析对于A，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个
5、四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱如图所示的几何体就不是棱柱要点二棱锥、棱台的结构特征例2下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是_答案(2)(3)(4)解析(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确
6、，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪演练2棱台不具有的性质是()A两底面相似 B侧面都是梯形C侧棱长都相等 D侧棱延长后相交于一点答案C解析由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的
7、性质，而侧棱长不一定相等要点三多面体的表面展开图例3画出如图所示的几何体的表面展开图解表面展开图如图所示：规律方法多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图跟踪演练3(2014九江高一检测)下列四个平面图形中，每个小四边形都是正
8、方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()答案C解析将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体.1三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案D解析由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.2棱柱的侧面都是()A三角形 B四边形C五边形 D矩形答案B解析由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形3(2014贵港高一检测)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A B C D答案C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体4下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台
9、(仅填相应序号)答案解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是_答案四棱柱解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱1棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)2根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力一、基础达标1在棱柱中满足()A只有两个面平行B所有面都平行C所有面都是平行四边形D两对面平行，且各
10、侧棱也相互平行答案D解析由棱柱的定义可得只有D成立2四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A四条侧棱、四个顶点 B八条侧棱、四个顶点C四条侧棱、八个顶点 D六条侧棱、八个顶点答案C解析四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)3(2014金华高一检测)下列说法中，正确的是()A有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案A4观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A是棱柱 B不是棱锥C不是棱锥 D是
11、棱台答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台，不是棱锥，故B错误5.(2014株洲高一检测)某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案A解析两个不能相并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定6下列说法正确的有_棱柱的侧面都是平行四边形；棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；多面体至少有四个面答案解析棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故对棱锥是由棱柱的一个底面
12、收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故对棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故错对显然正确因而正确的有.7.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥(2)这个几何体共有4个面，其中DEF为等腰三角形，PEF为等腰直
13、角三角形，DPE和DPF均为直角三角形(3)SPEFa2，SDPFSDPE2aaa2，SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)2a2a2a2a2.二、能力提升8在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A20 B15 C12 D10答案D解析正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.9纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右图的平面图形，则标“”的面的方位是
14、_答案北解析如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，沿棱DD1，D1C1，C1C剪开，使正方形DCC1D1向北方向展开；沿棱AA1，A1B1，B1B剪开，使正方形ABB1A1向南方向展开，然后将正方体沿BC剪开并展开，则标“”的面的方位是北10如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是_cm.答案解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之
15、间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.11已知正三棱锥VABC，底面边长为8，侧棱长为2，计算它的高和斜高解如图所示，设O是底面中心，D为BC的中点，VAO和VCD是直角三角形底面边长为8，侧棱长为2，AO8 ，CD4，VO .VD2.即正三棱锥的高是 ，斜高为2.三、探究与创新12.长方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)中，AB3，BC4，A1A5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值解把长方体的部分面展开，如图所示对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳
16、虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.13.如图所示：已知三棱台ABCABC.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示解(1)如下图(1)所示，三棱柱是棱柱ABCABC，多面体是BCBCCB.(2)如下图(2)所示：三个三棱锥分别是AABC，BABC，CABC.11.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学习目标1认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征2认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现
17、实生活中简单物体的结构知识链接(1)如图，在直角三角形ABC中，sin B，cos B.(2)如图，圆内接三角形ABC，AC过圆心，则B90.(3)如图，在ABC中，DEBC，则.预习导引1旋转体(1)圆柱定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱相关概念(图1)表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱OO.(2)圆锥定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥相关概念(图2)表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
18、叫做圆台相关概念(图3)表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO.(4)球定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球相关概念(图4)表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.2简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.要点一旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线
19、旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球解(1)错由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴(2)错直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示(3)正确(4)错应为球面规律方法1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求2只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误跟踪演练1下列叙述中正确的个
20、数是()以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台A0 B1 C2 D3答案A解析应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；它们的底面为圆面；用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台故四句话全不正确要点二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所
21、示(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥如图(2)所示(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥如图(3)所示规律方法1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成2必要时作模型培养动手能力跟踪演练2如图为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？解奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成要点三有关几何体的计算问题例3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆
22、台OO的母线长解设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为116，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示则SOASOA，SA3 cm.解得l9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.规律方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解跟踪演练3(2014德阳高一检测)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长解如图，将圆台恢复成圆
23、锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r2 cm，下底半径r5 cm.(1)由勾股定理得h3(cm)(2)由三角形相似得：，解得x20(cm)答：(1)圆台的高为3 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1下列几何体是台体的是()答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确2圆柱的母线长为10，则其高等于()A5 B10 C20 D不确定答案B解析圆柱的母线长和其高相等3下面几何体的截面一定是圆面的是()A圆台 B球 C圆柱 D棱柱
24、答案B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球4(2014铜川高一检测)下列命题：通过圆台侧面上一点，有无数条母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线相互平行其中正确的是()A B C D答案D解析错误，正确5一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为_cm.答案10解析h20cos 3010 (cm)1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2处理台体问题常采用还台为锥的补体思想3处理组合体问题常采用分割思想4重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊
25、作用，切实体会空间几何平面化的思想一、基础达标1正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A圆柱 B圆锥 C圆台 D两个圆锥答案D解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥2.如图组合体的结构特征是()A一个棱柱中截去一个棱柱B一个棱柱中截去一个圆柱C一个棱柱中截去一个棱锥D一个棱柱中截去一个棱台答案C解析该组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥3过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是()A有且只有一个 B一个或无穷多个C无数个 D以上均不正确答案B解析当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无
26、数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆4.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A一个棱柱中挖去一个棱柱B一个棱柱中挖去一个圆柱C一个圆柱中挖去一个棱锥D一个棱台中挖去一个圆柱答案B解析一个六棱柱挖去一个等高的圆柱5一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是()A BC D答案C解析当截面平行于正方体的一个侧面时得，当截面过正方体的体对角线时得，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得，但无论如何都不能截出.6若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是_答案2解析设圆锥的底面半径为r，则圆
27、锥的高h.所以由题意可知2rhr8，r28，h2.7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值为_答案5解析将BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图连接A1C即为CPPA1最小值过点C作CDC1D于D点，BCC1为等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7，A1C5.二、能力提升8一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()答案B解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.9(2014绵阳高一检测)已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是()A4 B3C2 D0.5答案B解析如图所示，两个平行截面的面积分别为5、8，两个截面圆的半径分别为r1，r22.球心到两个截面的距离d1，d2，d1d21，R29，R3.10在半径为1
