1、人教版必修二高中数学第三章 直线与方程配套讲31直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率学习目标1理解直线的倾斜角和斜率的概念2掌握求直线斜率的两种方法3了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素预习导引1直线的倾斜角(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)取值范围：0180.2直线的斜率定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即ktan_.取值范围当0时，k0；当00；当90180时，k0；当90时，斜率不存在.3.斜率公式直线经过两点P
2、1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(其中x1x2)要点一直线的倾斜角例1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾角为135答案D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.规律方法1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据
3、题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪演练1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180或90 D90或90答案D解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.要点二直线的斜率例2(2014潮州高一检测)已知直线l过P(2，1)，且与以A(4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大
4、到90，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.规律方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解跟踪演练2已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k
5、的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.要点三斜率公式的应用例3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.规律方法若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解跟踪演练3已知实数x，y满足yx2x
6、2(1x1)，试求的最大值和最小值解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1,2)，B(1,4)则kPA，kPB7.k7，的最大值为7，最小值为.1下图中能表示直线l的倾斜角的是()A B C D答案A解析结合直线l的倾斜角的概念可知可以，选A.2已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B. C1 D.答案A解析由题意可知，ktan 30.3过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45.则y()A B. C1 D1答案C解析tan 45kAB，即1，所以y1.4(2014达州高一检测)
7、直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A090 B90180C90180 D0180答案C解析直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90180.5.如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_答案k1k3k2解析设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由图可知032901tan 30，tan 10，故k1k30D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 答案D解析对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0180时，才是此直线的倾斜角，
8、故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.2若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A45，1 B135，1C90，不存在 D180，不存在答案C解析由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90，斜率不存在故选C.3(2014乌鲁木齐高一检测)过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是135，则y等于()A1 B5 C1 D5答案D解析由斜率公式可得：tan 135，1，y5.选D.4直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角的取值范围是()A090 B90180C90180或0 D90135答案C解析倾斜角
9、的取值范围为0180，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴5斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(1，b)三点，则a、b的值为()Aa4，b0 Ba4，b3Ca4，b3 Da4，b3答案C解析由题意，得，即解得a4，b3.6如果过点(2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m_.答案1解析由斜率公式知1，解得m1.7已知直线l上两点A(2,3)，B(3，2)，求其斜率若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a时，b的值解由斜率公式得kAB1.C在l上，kAC1，即1.ab10.当a时，b1a.二、能力提升8在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所
10、在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A2 B0C. D2答案B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60，120，所以tan 60tan 120()0.9(2014合肥高一检测)若经过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_答案(2,1)解析k且直线的倾斜角为钝角，0，解得2a1.10直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是_答案0,2解析如图，当直线l在l1位置时，ktan 00；当直线l在l2位置时，k2.故直线l的斜率的取值范围是0,211过点M(0，3)的直线l与以点A(3,0)，B(4,1)为端
11、点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角1为最小值tan 11，145.(2)直线l过点B(4,1)时，即为直线MB，倾斜角2为最大值，tan 21，2135.所以直线l倾斜角的取值范围是45135.当90时，直线l的斜率不存在；当4590时，直线l的斜率ktan 1；当90135时，直线l的斜率ktan 1.所以直线l的斜率k的取值范围是(，11，)三、探究与创新12已知A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围解(1)由
12、斜率公式得kAB0，kAC.(2)如图所示kBC.设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.13光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率解法一设Q(0，y)，则由题意得kQAkQB.kQA，kQB，.解得y，即点Q的坐标为，k入kQA.法二如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B(4,3)，kAB，由题意得，A、Q、B三点共线从而入射光线的斜率为kAQkAB.设Q(0，y)，则k入kQA.解得
13、y，即点Q的坐标为.31.2两条直线平行与垂直的判定学习目标1能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直2能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系知识链接1直线的倾斜角的取值范围0，180)2经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k(x1x2)预习导引1两条直线平行与斜率的关系(1)如图设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1l2，则k1k2；反之，若k1k2，则l1l2.(2)如图若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行2两条直线垂直与斜率的关系(1)如图，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果
14、它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直即k1k21l1l2，l1l2k1k21.(2)如图，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直要点一两条直线平行关系的判定与应用例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1的倾斜角为60，l2经过点M(3,2)，N(2，3)解(1)由题意知k1，k2.因为k1k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知k1tan 60，k2.因为k1k2，所以l1l2或l1与l2重合规律方法1.判断两直线是否平行，应
15、首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等2判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件跟踪演练1根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)解(1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.(2)由题意知k11，k21，虽然k1k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合要点二两条直线垂直关系的判定与应用例2判断下列各组中的直线l1与l2
16、是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1,2)，l2经过点M(2，1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解(1)直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴直线l2的斜率k20，则l2x轴故l1l2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若
17、不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论跟踪演练2已知直线l1l2，若直线l1的倾斜角为30，则直线l2的斜率为_答案解析由题意可知直线l1的斜率k1tan 30，设直线l2的斜率为k2，则k1k21，k2.要点三平行与垂直关系的综合应用例3已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB
18、与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形规律方法(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形跟踪演练3ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m
19、3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.1已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k()A3 B3 C D.答案B解析因为直线lAB，所以kkAB3.2已知直线l1的斜率为0，且l1l2，则l2的倾斜角为()A0 B135 C90 D180答案C解析kl10且l1l2kl2不存在，直线l2的倾斜角为90.3(2014丹东高一检测)下列说法正确的有()若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行A1个 B2个 C3
20、个 D4个答案A解析当k1k2时，l1与l2平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确只有正确4过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A垂直 B平行C重合 D以上都不正确答案A解析过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直5直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.答案17解析l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，x1，y7.1两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l1l2k
21、1k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行2两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l1l2k1k21；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直3在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想一、基础达标1已知l1l2，直线l1的倾斜角为45，则直线l2的倾斜角为()A45 B135 C45 D120答案B解析由l1l2及k1tan 451，知l2的斜率k21，l2的倾斜角为135.2(2014荆州高一检测)经过两点A(2,3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则实数x的值为()A0 B6 C6
22、 D3答案C解析直线l1的斜率k1，由题意可知1，x6.3以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形答案C解析kAB，kAC，kABkAC1，ABAC，A为直角4已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为()A(3,4) B(4,3) C(3,1) D(3,8)答案A解析设D(m，n)，由题意得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC，解得点D的坐标为(3,4)5已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点A(2，1)和B(
23、3，a)，则a的值为_答案4解析l2l1，且l1的倾斜角为45，kl2kl1tan 451，即1，所以a4.6(2014桂林高一检测)已知直线l1经过点A(0，1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为_答案6解析由题意得l1l2，kl1kl2.kl1kAB，kl2kMN3，3，a6.7当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行解(1)由kAB1，解得m或1.(2)由kAB，且3，解得m或3.(3)令2，解得
24、m或1.二、能力提升8已知A(m,3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A1 B0 C0或2 D0或1答案D解析当AB与CD斜率均不存在时，m0，此时ABCD，当kABkCD时，m1，此时ABCD.9若点P(a，b)与Q(b1，a1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()A135 B45 C30 D60答案B解析kPQ1，kPQkl1，l的斜率为1，倾斜角为45.10(2014江阴高一检测)若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_答案1解析由两点的斜率公式可得：kPQ1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为1.11已知直线l1经过A(3，m)，B(m1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，m2)(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值解由题知直线l2的斜率存在且k2.(1)若l1l2，则直线l1的斜率也存在，由k1k2，得，解得m1或m6，经检验，当m1或m6时，l1l2.(2)若l1l2.当k20时
