1、江苏省高考的数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线学案doc第2讲 圆锥曲线 考情考向分析 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题椭圆的有关知识为 B 级要求，双曲线、抛物线的有关知识为 A 级要求热点一 圆锥曲线的定义和标准方程x2y2例 1(1)(2018 江苏省南京师大附中模拟) 已知双曲线 a2 b2 1( a 0，b 0) 的一条渐近线方程是y 2x，它的一个焦点与抛物线y2 20的焦点相同，则双曲线的方程是_x答案x2y2 1520b22222x2y2解析由题意得 a 2， c5，再由 c a b得 a 5， b 20，故双曲线的方程是5
2、201.xOy中，已知双曲线 C与双曲线 x2y2(2)(2018 南通等六市调研) 在平面直角坐标系31有公共的渐近线，且经过点(3)，则双曲线C的焦距为 _P 2，答案4 32 y2解析双曲线 C 与双曲线 x 3 1 有公共的渐近线，2y2设双曲线 C的方程为 x 3 ( 0) ，双曲线 C经过点 P( 2， 3) ， 4 1 3，双曲线 C的方程为x2y23 91.双曲线 C的焦距为2 394 3.思维升华(1) 对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分： 比如椭圆的定义要求 PF1PF2 F1F2，双曲线的定义中要求| PF1 PF2| F1F2.(2) 注意数形结合，画出
3、合理草图跟踪演练 1x2y2 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，(1) 已知方程 23 2mnmn则 n 的取值范围是 _1答案( 1,3)解析方程x2y22221 表示双曲线，( mn) (3m n3m n2 2 2m n)0 ，解得 mn3m，由双22(322曲线性质，知 c ( m n)m n) 4m( 其中 c 是半焦距 ) ，焦距 2c22| m| 4，解得| m| 1， 1n0) 的焦点F的直线l交抛物线于点， ，交其准线于点，px pA BC若 BC 2BF，且 AF 3，则此抛物线方程为 _答案 y2 3x解析 如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E
4、，D，设准线与 x 轴的交点为 G，设 BFa，则由已知得 BC 2a，由抛物线定义，得 BD a，故 BCD30，在 Rt ACE中，AEAF 3， AC 3 3a，由 2AE AC，得 3 3a 6，从而得 a 1， FC 3a 3.13p FG 2FC2，因此抛物线方程为y2 3x.热点二圆锥曲线的几何性质x2y2例 2(1) 已知 O为坐标原点， F 是椭圆 C： a2 b2 1( a b 0) 的左焦点， A， B 分别为 C 的左、右顶点P为C上一点，且轴过点A的直线l与线段PF交于点，与y轴交于PFxM点 E. 若直线 BM经过 OE的中点，则C的离心率为 _2答案13解析设 (
5、 c， )，则E0， am，的中点为，Mma cOED则D0，am，又 B， D， M三点共线，2 a cmm1所以 2 a c a c， a 3c， e322(2) 双曲线 x2y21(a0，0) 的渐近线为正方形的边，所在的直线，点B为该abbOABCOA OC双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 a _.答案2解析设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c OB 2 2.又 AOB 4 ，b tan1，即 ab.a4又 a2 b2 c2 8， a 2.思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于， ，a bc 的方程或不等式
6、，再根据a，b，c 的关系消掉 b 得到 a， c 的关系式，建立关于a， b， c 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、 点的坐标的范围等x2y2跟踪演练2 (1) 已知双曲线 E：a2 b2 1( a0，b0) ，若矩形 ABCD的四个顶点在E 上， AB，CD的中点为 E的两个焦点，且2AB 3BC，则 E 的离心率是 _答案2222b222222b解析由已知得 AB a ，BC2c， 2 a32c，又 b c a ，整理得2c 3ac 2a2c 2c2 0，两边同除以 a得 2a3a 2 0，即2e 3e 2 0，1解得 e 2 或 e ( 舍去 ) 2
7、x2 y2(2)(2018 江苏省盐城中学模拟 ) 已知 F1( c, 0) ， F2( c, 0) 为椭圆 a2 b2 1( ab0) 的两个焦32_.点， P为椭圆上一点，且 PF1 PF2 c ，则此椭圆离心率的取值范围是答案323 ， 2解析2222设 P( x，y) ，则 PF1 PF2 ( c x， y) (c x， y) x c y c ， (*)22b2 2将 yba2x代入 (*)式，解得22c2 b2 a23c2 a2 a2xc2c2，又 x20 ， a2 ，2c2 a23c2， ec3，2.a32热点三直线与圆锥曲线x2y2例 3已知椭圆 E：a2 b2 1( a b0)
8、 的右焦点为 F，短轴的一个端点为M，直线 l ：3x4y4 0 交椭圆 E 于 A，B 两点若 AF BF 4，点 M到直线 l 的距离不小于5，则椭圆 E的离心率的取值范围是 _答案 0，32解析 设左焦点为 F0，连结 F0A， F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形AFBF 4，AFAF0 4， a 2.4b 4设 M(0 ， b) ，则 5 5， 1 b 2.cc2a2 b24 b23离心率 e aa2a24 0，2.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件 0. 涉及中点问题也可以用点差法x2 y2跟
9、踪演练 3 (1) 过双曲线 a2 b2 1( a0， b0) 上任意一点 P，引与实轴平行的直线， 交两渐 近线于 R， Q两点，则 PR PQ的值为 _答案 a24解析设x，y，则ay，y，aaaP()R bQ y， y ，于是 y x， 0 yx， 0bPRPQbbaa2a2 21222 2a2b22 byx by x xb2y b2( b xa y) b2 a .2y2(2)已知椭圆 C1：a2 b2 1( a b 0) 与双曲线 C2：x 4 1 有公共的焦点， C2 的一条渐近线x2y2与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 C1 恰好将线段 AB三等分，则 b _.
10、2答案22 y2解析 由双曲线 x 4 1 知渐近线方程为 y2x，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为 b2x2 ( b2 5) y2 ( b2 5) b2，2 b2 5 b2联立渐近线与椭圆方程消去 y，得 x 5b2 20 ，又 C1 将线段 AB三等分，2 b2 5 b2 2a 2 1 2 1 2 2 5b2 20 3 ，解得 b 2. b 2 .x2y21(2018 江苏 ) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 a2 b2 1( a 0，b0)的右焦点 F( c, 0)到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值为_2 c答案2解析双曲线的渐近线方程为bxay 0，焦点(0) 到渐近线
11、的距离 | bc| .F c,db2 a2b3 b 2 c，221c ac b2c， ea 2.x222(2017 江苏 ) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线3 y 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F ， F ，则四边形 F PFQ的面积是 _1212答案2333解析渐近线方程为y3 x，右准线方程为x 2，5得 P，Q坐标分别为 3， 3 .22PQ 3， F1F2 2c 4，1所以四边形 F1PF2Q的面积等于 24 3 2 3.x2 y23已知双曲线 C：a2 b2 1( a0，b0) ，过双曲线 C的右焦点 F 作 C的渐近线的垂线，垂足为 M，延长 FM
12、与 y 轴交于点 P，且 FM 4PM，则双曲线 C的离心率为 _ 答案5Ca2b21( a0b0)yaxF()解析双曲线22的渐近线方程为，右焦点c， 0，：xy，b过 F 与渐近线垂直的直线为yab( x c) ，by ax，由ay b( x c) ，a2 ab可解得 xM c ， yM c ，ac)Pac在 y b( x中，令 x 0，可得 y b ， FM4PM， FM 4MP，a2a2，c c 4 0c整理得 5a2 c2，则 e2 5， e 5，即双曲线 C的离心率为5.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中， F 是椭圆x2y21(a b 0) 的右焦点，直线ba2 2y 与椭b
13、2圆交于 B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_ 答案636x2y2a2 b2 1，解析联立方程组by ，2解得 B， C两点坐标为 B 3 ，b ， C3，b ，2 a22 a2又 F( c, 0) ，3b3ab则 FB 2 a c， 2， FC2 c，2，又由 BFC90，可得 FB FC 0，代入坐标可得23 2 b2c 4a 4 0， (*)又因为 b2 a2 c2.c22c26代入 (*) 式可化简为 a2 3，则椭圆离心率为e a33.220， 0) 与椭圆 x225(2018 无锡期末 ) 已知双曲线：x2y2 1(y 1 的焦点重合，离Cabab1612122PF心率互为倒数，设F ， F 分别为双曲线C的左、右焦点， P 为右支上任意一点，则1的最小PF2值为 _答案8解析由已知 c16 12 2，12，022， 0) ， e2 12 F ()，F(42 . 又双曲线C 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，a2122x y1. P 在右支上， b2c24， ec 2， a21， b2 3 ，则双曲线 C:ae13 PF1PF2，根据双曲线的定义有PF1 PF2 2a 2，2212，2(2 PF22224PF1 PF2 4PF2 412， PF2PFPF)PF4PFPF2PF2 PF2 442PF2 44 8，当且仅当 PF2 2 时等号成立PF2PF2
