1、全国高中数学联合竞赛试题全国高中数学联合竞赛试题（B卷）一、 填空题（每小题 8分，共64分，）1.函数 f （x）二 x _5 _ 24 _3x 的值域是 .2.已知函数y =（acos2x _3）sin x的最小值为一3，则实数a的取值范围是 . 3.双曲线x2 - y2 的右半支与直线x =100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4.已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中 印=3,d = 1, a2 = b25 = b3，且存在常数:使得对每一个正整数 n都有an二log -.bn，则二 .5.函数f（x）二a2x 3a2（a .0,a=1）
2、在区间-1,1上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 .6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7.正三棱柱ABC - A, BQ!的9条棱长都相等，P是CG的中点，二面角 B - A,P - B! = ：,则sin ： = _. 8.方程x y 2010满足x _ y _ z的正整数解（x,y,z）的个数是 .二、 解答题（本题满分 56分）9.（ 16分）已知函数f （x） = ax3+bx2+cx+d（a式0），当0兰x兰1时，f （x）兰1，试求a的最 大值.10.（20分）已知抛物线y2 =6x上的
3、两个动点 A（x1,y1）和B（x2,y2），其中x- x2且x1 x 4 . 线段AB的垂直平分线与 x轴交于点C，求 ABC面积的最大值.11.（20分）证明：方程2x3 5x -2 =0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列 an，使得 2 r a1 r a2 r a35力口 试1.（40分）如图，锐角三角形 ABC的外心为0, K是边 BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点， 直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M .求证： 若OKI MN，贝U A, B, D, C四点共圆.f(r)二f(f(z(r),丨_2 证明：存在正整数 m,使得f(m)(r
4、)为一个整数这里， x表示不小于实n -1求证:,k = 1,2,川，n 24.(50分)一种密码锁的密码设置是在正 n边形AiAI An的每个顶点处赋值 0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准(B卷)说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分 标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分
5、，解答题中第 9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。1. -33 提示：易知f (x)的定义域是 5,8】，且f(x)在5,8】上是增函数，从而可知 f(x)的值域为一3,3.2.-3乞a乞12 提示：令sinx=t，则原函数化为g(t) = (-at2 a - 3)t ,即卩23g(t)二-at (a -3)t 由at3 (a 3)t _ 3 , _at(t2 -1) -3(t -1) _0 , (t 1)( at(t T) 3) _ 0 及 t 一1 空 0 知-at(t 1) -3 _0 即2a(t t) 一 -3. (1)当t = 0,-1时(1)
6、总成立；2 1 2 3对 0 :：: t 1,0 : t t 乞 2 ；对 _1 ： t : 0, t t ： 0 .从而可知 a 乞 12 .4 23.9800 提示：由对称性知，只要先考虑 x轴上方的情况，设 y=k(k=1,2，,99)与双曲线右半支于Ak，交直线x =100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99 -k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为99 (99 -k) =99 49 =4851.k3又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 2 4851 98 =9800.4.3 3 3 提示：设an的公差为d,bn的公比为q，贝U3d =q, (1)23(3 4d) =q
7、, (2)(1)代入(2)得 9 12d =d2 6d 9，求得 d = 6, q = 9 .从而有3 6(n-1) =log ：.9心对一切正整数 n都成立，即6n - 3=(n- 1)log：.9对一切正整数n都成立.从而log .9 =6,-3 - - log ：.9 ：,求得 a =V3,p=3, g+B =V3+3.1 3 一5.-一 提示：令ax = y,则原函数化为g(y)二y2 32, g(y)在(-一 ,+：)上是递增的.4 2当 0 ： a ： 1 时，y a,a J ,2 1 _1 1g(y)max=a 3a 2=8=a=2= a =所以1 2 1 1g ( y) min
8、 = ( ) 3 2 =2 2 4当 a 1 时，y 二a , a,2g( y)max = a 3a - 2 二 8= a = 2 ,所以g(y)min Q 3 2-2 1.41综上f(x)在X. _1,1上的最小值为一丄.412 21 76.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于 6的概率为 ，从而先投掷人的获胜概率为17 36 127 ,5、2 7 ,5、4 7 7 1 12+ () X+ () 汉一+ =X =12 12 12 12 12 12 1 25 171447.-I0 提示：解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点0为原点，0C所在直线为y4轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的
9、棱长为 2,则B(1,0,0), B1(1,0,2),A1(-1,0,2), P(0,、. 3,1)，从而,BA =(-2,0,2),BP =(-1,、3,1),BA1 =(-2,0,0),B1P 二(-1八 3,-1).设分别与平面 BA1P、平面B1A1P垂直的向量m =(治，力，乙)、n =&22忆2)，则m BA = -2x1 2z1 = 0,m BP 二-X1 、3y1 乙=0,n B1A -2x2 =0,n B1 P = -x2 3y2 -z2 = 0,由此可设 m =(1,0,1),n =(0,1, 3)m ni |m n cos ，即_6473 = 72 2 cosl = |
10、cos。I =解法二：如图，pc = pg ,pa = pb .因为PA二PBi,所以PO_ABi,从而ABi _平面PA(B过O在平面PA, B上作OE _ AP ,垂足为E .连结B,E ,则/B,EO为二面角B-AP-B,的平面角.设AA = 2 ,则易求得PB = PA, = ._ 5, AjO = B,O = . 2, PO = . 3 .在直角 ：PAO 中，A,0 POrAjP OE,即 2、3=吒5 OE, OE又 BQ = .2,. B1E = . BQ2 OE2sin : =sin . BO 二空：一2 10B1E 4J5把x y z = 2010满足x込y三z的正整数解分
11、为三类:(1) x,y,z均相等的正整数解的个数显然为 1；(2)x, y, z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为 1003；(3)设x, y, z两两均不相等的正整数解为 k.易知1 3 1003 6k =2009 1004，所以6k =2009 1004-3 1003-12006 1005 - 2009 3 2 -1 二 2006 1005 - 2004， 即k =1003 汇 335-334 = 335671. 从而满足x咗y辽z的正整数解的个数为1+1003 + 335671 = 336675.f (0) = c,2bx c,由 f (丄)=? a b c,2 4f (13a
12、2b c, , 1 3a =2f (0) 2f (1) - 4f ().2所以13a| = 2f 0)+2f -4f 匕)2 f +2| f (1)| +4 f (_) 8，所以a _8.又易知当f （x） = 8x3 _4x2 x m （ m为常数）满足题设条件,3 3所以 a最大值为-.3解法:f (x)二 3ax2 2bx c .设 g(x)二 f (x) 1，则当 0 乞 x 乞 1 时,z + 1设z = 2x -1，则x二，一1乞Z乞1.2z +1h(z) =g(遁 z2 . z 弐 b c 1.4 2 4容易知道当-1乞z乞1时0 h(z)乞 2,0 乞 h(_z)乞 2 从而0
13、严）W2，即3a 2 3az b c 1 _ 2，4 4从而竺 b c 1 _0,处乙2 _2，4 4又易知当f （X） =8X3 -4X2 X m（ m为常数）满足题设条件，所以 a最大值为-.3 310.解法一：设线段 AB的中点为M（x0,y0），贝U x0X1 X2 yy22，y ，kABy2 y1y。线段AB的垂直平分线的方程是为(5,0). (2)代入 y2 =6x 得 y2 = 2y(y - y) 12，即依题意，yy2是方程（3）的两个实根，且 = y2，所以2 2 2.: =4y 4(2y。一12) = -4yo 48 . 0,-2“j3 ：； yo :： 2 3.AB| =
14、 J(xi - x2 ) +(yi y2) (1 (；0)2)(yi -y2)2 二(i 殳)(yi y2)2 rym 9(i y0)(4y2 -4(2y -i2)V 92 =3 (9 y：)(i2 y).定点C（5,0）到线段AB的距离h = CM | = J(5_2)2 +(O_yo)2 =j9+y；.S出bc =；|ab| /(yO2)(iy2n, + y2 2 3=3、；(9 y2)(24-2y)(9 y()1/9 y： 24-2y： 9 y3 一3百( : ),7 .3当且仅当 9 y： =24 -2yf ,即 y0 -0时，有xy cmaxx, y，于是对1兰k兰n -1，有1nA
15、1 V2- ai1 一 -ani 士 +IknJ 1 ； 1 1 ?:max ai, ain i 1 k n y I1 f 1 1 、兰 max2_ （n _k）, _-一 kLn丿Ik n丿Jnnn为ak Ak=nAn - Akk-Xk-Xk-1n A.-Ak兰An-Ak74.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上 b，如果数字和颜色都相同，则标上 c.于是对于给定的点 A上的设置（共有4种）,按照边上的字母可以依次确定点 A2, A3,川，An上的设置为了使得最终回到 A时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条所
16、以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a, b, c,使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的 4倍.有C?种方法，在余下的边中取出0 j _卫彳.选取2 i条边标记a的 22 j条边标记b的有种方法，其余的边标记 c.由乘法原理，此时共有Cni Cn2i种标记方法.对i , j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为这里我们约定C0 =1 .当n为奇数时，n -2i 0，此时代入式中，得n n八 C：2na Ck2n“(-1)k =(2 1)n (2-1)nk =0 k =0-3n 1.当n为偶数时，若i ：，则式仍然成立；若i = ，则正n边形的所有边都标记 a,此时只有一种标2 2记方法于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为n2=2 4 cn 2n 2i 1 =3n 3 i卫综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是： 当n为奇数时有3n 1种；当n为偶数时有3n - 3种.
