1、直角三角形与勾股定理初中数学中考题汇总直角三角形与勾股定理(初中数学中考题汇总20) ? 选择题 18、在ABC中，BC:AC:AB=1:1:2，则ABC是A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 20、在锐角ABC中，BAC=60，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：NP=MP 当ABC=60时，MNBC BN=2AN ANAB=AMAC，一定正确的有 A A、1个 B、2个C、3个 D、4个 M N B C P 第20题图 010.如图，在直角三角形ABC中,放 置边长分别3,4,x的三个正方形，则x的值为C A. 5B. 6C. 7D.
2、 121. 在ABC中,C=90, C=72,AB=10,则边AC的长约为(精确到) 【答案】C 2. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长是 A2m O 【答案】C 3. 已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走 80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？ A 100B 180 C 220 D 260 【答案】 4. 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另
3、一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为 A. 3cm B. 6cmC. 32cmD. 62cm 【答案】D 5. 如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 7【答案】D 6. 如图3，在ABC中，C=90，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为 A1 2B2C3 D4 BDCA图3EA 【答案】B 11将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合， A展开后平铺在桌面上若C90，BC 8cm，则折痕DE的长度是 4 cm
4、DE CB 9.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙 光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交 叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约 为10如图，在RtABC中，AB=CB，BOAC，把ABC折叠，使AB 落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO 于点F，连结DE、EF.下列结论：tanADB=2 图中有4对全 等三角形 若将DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上 BD=BF S四边形DFOE=SAOF，上述结论中正确的个数是 A 1个B 2个 C 3个 D 4个16、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形DEFH的边长为2米，坡角
5、A=30，B=90，BC=6米当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=米时，有DC=AE+BC 222考点：一元二次方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理。 分析：根据已知得出假设AE=x，可得EC=12x，利用勾股定理得出DC=DE+EC=4+，AE+BC=x+36，即可求出x的值 解答：解：假设AE=x，可得EC=12x， 坡角A=30，B=90，BC=6米， AC=12米， 正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米， DC=DE+EC=4+， 222AE+BC=x+36， 222DC=AE+BC， 224+=x+36， 解得：x=米 2222222故答案为： ? 二、填空题 (2
6、011?肇庆)13在直角三角形ABC中，C=90，BC=12，AC=9，则AB=_15_ 15如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是第10题图32。 2 2. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”图2弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3 若S1，S2，S310，则S2的值是 【答案】10 310、已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为 或10
7、0cm 23. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A30,B90,BC6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE米时,有DCAEBC. 222 【答案】：14 318如图，平面内4条直线l1、l2、 l3、 l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是平方单位。 【答案】5 AD B C 13.如图，在四边形ABCD中，A=90，AD=4，连接BD，BDCD，ADB=C.若P是BC边上一动点，
8、则DP长的最小值为 4。 16. 在等腰ABC中，C=90则tanA=_. 【答案】1 15. 边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_. 【答案】33cm 5. (湖南湘西,5,3分)如图，在RtABC中，C=90，若BC=3,AC=4,则AB的长是_. 【答案】5 1 2011?凉山州把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a?b?c”的逆命题改写成“如果?，那么?”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形 。 5. 如图，在RtABC中，ACB = 90，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm， 则
9、EF = _cm 222222C F E B A D 【答案】5 6. 在直角三角形ABC中，C 90，BC 12，AC 9，则AB 【答案】15 7. 如图，在RtABC中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是 第16题图 【答案】6cm2 8. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. A C E 【答案】 F 30 45 B D 49 2? 三、解答题： 23(10分) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合，折痕分别为BH、DG。 求证：B
10、HEDGF； 若AB6cm，BC8cm，求线段FG的长。解:(1)(5分) 四边形ABCD是矩形 OA=C=90,AB CDABD=CDB BHE、DGF分别是BHA、DGC折叠所得BE=AB,DF=CD, HEB=A, GFD=C HBE=11ABD, GDF=CDB 22 HBE=GDF, HEB=GFD,BE=DF BHEDGF(2)(5分) 在RtBCD中，AB=CD=6，BC=8 BD=BC2?CD2?82?62?10 BF=BD-DF=BD-CD=4 设FG=x,则BG=BC-CG=BC-FG=8-x,则有：(8?x)2?x2?42 解得x=3 线段FG的长为3cm. 20.(本题
11、6分) (2011湖南湘西,20,6分)如图，在ABC中，ADBC,垂足为D，B=60,C=45. (1)求BAC的度数。 若AC=2,求AD的长。 解: (1)BAC=180-60-45=75 (2) ADBC,ADC是直角三角形, C=45, DAC=45,根据勾股定理,得AD=2. ，AB?AC，M是BC28在ABC中，?BAC?90边的中点，MNBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP设运动时间为 t秒PBM与QNM相似吗？以图为例说明理； 若?ABC?60，AB?43厘米 求动点Q的运动速度； 设APQ的
12、面积为S，求S与t的函数关系式； 探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图为例说明理 A N P B M 图1 C B M 图2 C Q A N 28解：PBMQNM 理如下： 如图1，?MQMP，MN?BC， ，?QMN?PMN?90， ?PMB?PMN?90?PMB?QMN ，?QNM?C?90， ?PBM?C?90?PBM?QNM ?PBMQNM?BAC?90，?ABC?60，?BC?2AB?83cm 又?MN垂直平分BC，?BM?CM?43cm ?MN?C?30，3CM4cm 3设Q点的运动速度为v cm/s 如图，当0?t?4时，知PBMQNM ?NQMNvt4?，即 ?，
13、?v?1BPMB3t3如图2，易知当t4时，v?1 综上所述，Q点运动速度为1 cm/s ?AN?AC?NC?12?8?4cm， ?如图1，当0?t?4时，AP?43?3t，AQ?4?t?S?1132APAQ?43?3t?4?t?t?83 222?如图2，当t4时，AP?3t?43,AQ?4?t, ?S?11APAQ?22?3t?43?4?t?32t?83 2?32t?83?0?t?4?2综上所述，S?3t2?83t4?2?P A N P B D 图1 222A Q C B N Q M M C 图2 PQ?BP?CQ?理如下：?如图?，延长QM至D，使MD?MQ，连结BD、PD?CQ. ?BC
14、、DQ互相平分，?四边形BDCQ是平行四边形，?BD ?BAC?90，?PBD?90，?PD2?BP2?BD2?BP2?CQ2 ?PM垂直平分DQ，?PQ?PD?PQ2?BP2?CQ2?24. 已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2 求证：ABBC； 当BEAD于E时，试证明：BEAECDA E D C B 【解】证明：连接AC. ABC90，AB2BC2AC2. CDAD，AD2CD2AC2. AD2CD22AB2，AB2BC22AB2， ABBC. 证明：过C作CFBE于F. BEAD，四边形CDEF是矩形. CDEF. ABEBAE90，ABECBF9
15、0， BAECBF，BAECBF. AEBF. BEBFEF AECD. 【思路分析】题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明；可采用“截长”法证明，过点C作CFBE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证. 【方法规律】此题主要考查推理证明能力，涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识. 灵活添加辅助线，构造所需图形是证明关键所在. 25阅读下面的情景对话，然后解答问题： 小明：那直角三角形老师：我们新定义一种三角形，中是否存在奇异三两边平方和等于第三边平方的角形呢？ 2倍的三角形叫做奇异三角形 小华：等边三角
16、形一定是奇异三角形！ 根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ 在RtABC中，ACB90，AB=c，AC=b，BC=a，且b?a，若RtABC是奇异三角形，求a:b:c； 如图，AB是O的直径，C是O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE 求证：ACE是奇异三角形； 当ACE是直角三角形时，求AOC的度数 222C A O E B D (2) 在RtABC中，a?b?c c?b?a?0 2c?a?b，2a?b?c 若RtABC为奇异三角形,一定有2b?a
17、?c3分 2b?a?(a?b)b?2a 得b?2222222222222225解：(1) 真命题( 第 25 题 ) 2分 22222a 2c?b?a?3ac?3a a:b:c?1:2:3 5分 (3) AB是O的直径 ACB=ADB=90 在RtACB中，AC2?BC2?AB2在RtADB中，AD2?BD2?AB2 点D是半圆ADB的中点 AD= BD AD=BD6分 AB2?AD2?BD2?2AD2 AC2?CB2?2AD27分 又CB?CE,AE?AD AC2?CE2?2AE2 ACE是奇异三角形8分 可得ACE是奇异三角形 AC2?CE2?2AE2 当ACE是直角三角形时 可得AC:A
18、E:CE?1:2:3或AC:AE:CE?3:2:1 当AC:AE:CE?1:2:3时， AC:CE?1:3 即AC:CB?1:3 ?ACB?90? ?ABC?30? ?AOC?2?ABC?60?9分 当AC:AE:CE?3:2:1时， AC:CE?3:1 即AC:CB?3:1 ?ACB?90? ?ABC?60? ?AOC?2?ABC?120? ?AOC的度数为60?或120? 10分 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： 画线段ADBC且使AD =BC，连接CD； A 线段AC的长为，CD的长B 为 ，AD的长为； ACD为 三角形，四边形
19、ABCD为 ； 若E为BC中点，则tanCAE的值21.(本题满分8分) 如图； ?12的面积E C 第21题图 是 分 5，5，5；4分 A B E C 第21题图 直角，10；?6分 1?8分 2D 19. 如图，在ABC，?ACB?90?中，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC?2，CE?4，求四边形ACEB的周长。 解 ?ACB=90?，DE?BC， AC/DE，又 CE/AD， 四边形ACED是平行四边形， DE=AC=2， 在RtCDE中，勾股定理得CD=CE2?DE2=23, D是BC的中点， BC=2CD=43. 在RtABC中，勾股定理得AB=AC2?BC2=213,
20、D是BC的中点，DE?BC， EB=EC=4, 四边形ACEB的周长=AC?CE?EB?BA=10?213。 18、如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，CAB=120，请计算A、B两个凉亭之间的距离. CA18、解：过点C作CDAB，垂足为D? AC=30mCAB=120 AD=15mCD=153m ? 在RtBDC中，BD= 702?(153)2B =65m ? AB?BD?AD?65?15?50m ? 22、去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的
21、同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系。两村的坐标分别为A，B。 (1)、若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的 地方可使所用输水管道最短？ (2)、水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的 距离相等？ 22、解：作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则点E为设直线AE的函数关系式为y=kx+b,则2k+b=3 /km 12k+b=-7 B 8 F 6 解得k=-1 A 4 G b=5 2 D C /km 当y=0时， x=5 2 4 6 8 10 12 所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，
22、可使所用输水管道最短。 E 作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴欲点G 第22题 设点G的坐标为 在RtAGD中，AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2 在RtBCG中，BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2 AG=BG 32+(x-2)2=72+(12-x)2 解得 x=9 所以 ，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。1. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 【答案】题意可得，花圃的周长=8+8+82=16+82 2.
23、 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a表示第三条边长； (2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理，并求出a的取值范围； (3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理. 【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-=28-3a (2)不可以是7，第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间13的关系，不可以构成三角形。a5 2(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形
24、 4. 如图,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. ?(1) 如图(),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明: (2) 如图(),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明 (3) 如图(),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明) 5. 如图，在直角ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数。 ? 【答案】 解：AD平分CAD CAD=BAD DE垂直平
25、分AB AD=BD,B=BAD CAD=BAD=B 在RtABC中，C=90o CAD+DAE+B=90o B=30o 28、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 28. 解：在RtABC中，AC=8m，BC=6m， AB=10m， 当AB=AD时，CD=6m， ABD的周长为32m； 当AB=BD时，CD=4m，AD=45m， ABD的周长是m； 当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6， 则x2?(x?6)2?82， x?25， 380m， 3ABD的周长是答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+45 m或80m 3
