1、变量之间的关系单元备课 第九章变量之间的关系单元备课（1）标准要求1、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。2、结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。3、能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。4、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。5、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。6、结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。（二）教学目标（1）知识目标：1.经历探索具体情景中两个变量之间关系的过程，探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。2.在具体情景中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之
2、间关系的例子。3.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。（2）能力目标：1.学生在探讨小车下滑时间与支撑物高度之间的关系的过程中，进一步发展符号感和抽象能力，通过观察、实验、猜想得到结论。2.能根据具体情况，用表达式表示某些变量之间的关系3.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；（3）情感目标：1.能根据表达式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系2.通过联系生活实际的学习，学生体会到变量之间的关系，体验数学活动充满着探索性和创造性。（三）教学重点1、理解变量之间的关系。2、找问题中的自变量和因变量。3、学会用表达式整理试验得
3、出的数据获得变量之间关系的信息（四）教学难点1、寻找自变量和因变量之间的对应关系。2、能用表达式刻画简单实际问题中变量之间的关系。（五）解决重难点的方法1、尽量从实际问题引入，选择实际问题帮助学生理解变量之间的关系。2、注重学生的活动，特别是小组合作的活动。3、努力挖掘学生生活中的素材，有关数据要真实可靠。4、 强调学生观察、操作、探索和交流，满足学生个性化的学习要求。5、教会学生分析题目。拓展学生的思维。（六）设计思路1. 设置问题情景展现问题的知识的发生发展过程.从数学的角度研究变量之间的关系，将有助于更好地认识世界。同时研究变化规律，也使学生从常量的世界，开始接触一种新的思维方式。因此本
4、章对函数的学习不是一蹴而就的，而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计。2. 针对教材特点，将观察、操作等实践活动以及实践活动的思考与交流贯穿于教学过程的始终。在六上，教科书已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想。本章是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系。本章通过大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题，使他们体会变量之间相互依赖的关系。本章还通过分析用表格、代数式和图像所表示的关系的活动，以便为以后的函数学习打下基础。3. 认真备课，把握好重、难点，有针对性的讲解与练习。小车下滑的时间，是本章的起始课，除了给出变量、常量的概念，还给出变量之间的关系的第一种表示方式-表格表示法。
5、变化中的三角形给出第二种表示方法-表达式表示法。利用温度的变化和速度的变化，给出第三种表示方法-图象表示法，并力图与表格表示、表达式表示进行联系，但是不要求学生画图像。4. 标准函数内容的要求是学段目标，本章只是函数内容的起始课，内容设计定位于对函数的初步感受，对变量之间的关系的讨论基本上是依托情境的、非形式化的。（七）课时安排：1、用表格表示变量之间的关系 1课时2、用表达式表示变量之间的关系 1课时3、用图像表示变量之间的关系 3课时回顾与思考 1课时(八)教学建议1、创设丰富的现实情境，使学生在对变化规律的丰富经历中理解变量之间的相依关系。本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量，讨论如
6、何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系，并解决一些问题和进行预测。因此在教学中，教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间的相互依存的关系。而不是形式地讨论函数的有关概念，教师可以充分利用教科书中提供的问题，也可以根据学生实际创设新的情境，或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论。2、注重使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程。运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律，是本章学习的主要目标之一，而实现这一目标的主要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程，在探索活动中理解变量之间的相依关系，并尝试用语言和符号去刻画。例如，在探索小车下滑过程中下滑时间与支
7、撑物高度的关系时，教师应鼓励学生充分从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，并与同伴进行交流。或者创造条件让学生亲自实践这个实验或实践其他可操作实验，使他们获得变量之间关系的直观体验，并体会收集数据、整理数据、由数据进行摧断的思考方式。3、注重使学生从表格、表达式、图像中尽可能的多获取信息，并运用语言进行表达。前面已经提到，为了发展学生的函数思想的理解，必须使他们对函数的多种表示。因此教科书安排了大量的实例，在学生讨论这些例子时教师要留给他们充分的思考时间，鼓励他们从表格、表达式、图像中尽可能的多获取信息，并进行语言表达。在此过程中，教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述，只要学生能大
8、致描述出变量之间的关系即可。需要指出的是，教科书安排了表格、表达式、图像等内容，目的是使学生体验多种形式表示下的变量关系，而不是对其本身的讨论。因此。教学时不要形式地对函数及函数的三种表达方式展开讨论，（八）评价建议1、关注对学生探索现实世界变化规律的过程的评价。在本章中，学生花费了较多的时间经历从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动，这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值。因此，对于上述活动过程的考查应当成为评价的首要方面，对这一方面评价的重点显然不是记忆概念的准确性和使用技能、法则的熟练程度，而是对以下诸方面的考查：从事活动的投入程度，从表格、表达式、图像中获取信息的
9、准确性和广泛性，对具体情境中变量之间的关系的敏感性，运用语言等描述变量之间关系的合理性等。 例如，在对学生探索小车下滑时间与支撑物高度关系的过程进行评价时，可以关注以下几个方面：学生是否积极地进行活动，并在活动中进行独立思考；能否从实际操作或表格中意识到下滑时间与支撑物高度之间存在着相依关系；能否从表格中获取尽可能多的信息；能否运用自己的语言描述下滑时间与支撑物高度之间的关系等。2、在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解。在考查学生对变量之间关系的理解时，应关注学生是否能够感受世界中的变量，是否能够发现变量之间互相依赖的关系；关注学生是否能从表格和图像中获取信息，并由此进行预测；关注学生能否
10、运用语言、表格、表达式描述一些变量之间的关系等。 评价时应提供具体的问题情境，从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发，避免形式化地对函数性质本身进行讨论。教学课题用表格表示变量之间的关系授课班级教学用时1课时授课时间教学目标知识目标：经历探索具体情景中两个变量之间关系的过程，探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。在具体情景中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。能力目标：学生在探讨小车下滑时间与支撑物高度之间的关系的过程中，进一步发展符号感和抽象能力，通过观察、实验、猜想得到结论。情感目标：通过联系生活实际的学习，学生体会到变量之间的关系，体验数学活动充满着探索性和
11、创造性。教学重点与难点教学重点：1、理解变量之间的关系。2、找问题中的自变量和因变量。教学难点：寻找自变量和因变量之间的对应关系。突破措施教师出示自学提纲，学生根据自学提纲自主讨论学习，对于不理解的问题，教师给予适当的点拨。教学方法讲练结合学习方法自主探索，小组交流教学用具多媒体课堂类型新授课教 学 过 程二次备课教 师 活 动学 生 活 动一、创设情境生活实例：今天早上一起床，我就到厨房烧上了一壶水，10分钟后，水烧开了.在这一过程中，谁知道，什么在发生变化？你能从生活中找到一些发生变化的例子吗？你能大概描述一下是怎样变化的吗？一天的气温在发生变化.一般情况下，早晨3时，温度最低；然后温度就
12、渐渐地升高；到了下午2或3时温度升到最高；最后温度就逐渐的下降.我们就生活在这样一个变化的世界中.从今天开始，我们就从数学的角度研究这些变化的过程，将有助于我们更好地认识我们这个世界.这节课我们就来研究变量之间的关系中的用表格来表示二、探索新知下面是王波学习小组得到的数据：支撑物高度/厘米102030405060708090100小车下滑时间/秒4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35根据上表来试着回答下列问题串：（出示投影片）（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t变化趋势如
13、何？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是怎样估计的？读表可知：当支撑物高度为70厘米时，小车下滑的时间是1.59秒.从表中可以看出：第一行是支撑物高度h的值，从左往右逐渐增大；第二行是小车下滑的时间t的值，从左往右逐渐减小.由此可知，支撑物h越高，小车下滑时间t越短.师从表格中我们得出上述结论，根据我们做的实验和经验，谁来解释为什么会有支撑物h越高，小车下滑时间t越短呢？这儿我给大家提供演示课件.图61从演示课件不难发现：小车是从同一块木板上滑下的，也就是说，小车滑行的长度就是木板的长度.当木板支撑得越高，它形成的坡度越陡，下滑的速度越快
14、，所用的时间自然就会随着坡度的升高而逐渐减小.师很好.我们接着来分析表格中的数量关系.通过观察和计算，h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？不相同.当支撑物高度从10厘米变化到20厘米，小车下滑的时间缩短了4.233.00=1.23秒；当支撑物高度从20厘米变化到30厘米时，小车下滑的时间缩短了3.002.45=0.55秒；当支撑的高度从90厘米变化到100厘米时，小车下滑的时间缩短了1.411.35=0.06秒.师看第（4）个问题，根据（3）你能估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是如何估计的.由（3）可知，h从10厘米开始增加时，所用的时间t变化较快；当h从60厘米开始增加时，每增加1
15、0厘米，所用时间t每次减少约0.09秒、0.09秒、0.06秒.因此当h=110厘米时，t的值可以是1.35秒到1.29秒中任意一个值.师由以上问题串可知，h和t是两个变化的数量，而h的每一次变化，都会引起t的变化，下滑时间和支撑物高度之间存在着相依关系.接下来，我们再来看生活中的一个变化关系（出示投影片）议一议我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：时间/年194919591969197919891999人口/亿5.426.728.079.7511.0712.59（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（2）从1949年起
16、，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？从表格的数据可知：随着x的增加，y也增加.从1949年起，19491959年，我国人口增加1.30亿；19591969年，我国人口增加1.35亿；19691979年，我国人口增加1.68亿;；19791989年，我国人口增加1.32亿；19891999年，我国人口增加1.52亿.也可以说，从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增加1.5亿左右.师在前一个问题中，支撑物高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量.在第二个问题中，我国人口总数y随时间x 的变化而变化，x是自变量，y是因变量.而
17、因变量随自变量的变化而变化的情况，借助于表格就可以表示出来.生活中有哪些例子也反映了变量之间的关系？并指出哪一个是自变量？哪一个是因变量？师同学们要举的例子很多很多，说给你的同伴听听. 3.课堂小结师通过今天的学习，同学们有何收获和体会.今天的学习，使我认识到我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度用表格表示两个变量之间的关系，并且能从表格中获得变量之间的信息，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.生在具体的情境中理解了什么是自变量、因变量，并能反映变量之间关系的例子.4.课堂练习研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮服的施用量有如下关系：氮肥施用量/（千克/公顷）03
18、467101135202259336404471土豆产量/（吨/公顷）15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.学生自学后小组讨论交流教育引导学生学习知识.板书设计：用表格表示变量之间的关系常量变量自变量因变量课后反思：这堂课大部分学生达到了预期的教学目标以后的改进：多加注意学生
19、思维，有延伸，有些学生对表格的分析还不到位，让学生了解到它的本质，让学生有法可依先整体再局部。1.学生的实际参与情况基本参与到了学习活动中来2.知识的落实情况基本知识落实还可以，但是个别同学掌握不好教学课题用表达式表示变量之间的关系授课班级 教学用时1课时授课时间教学目标知识目标：经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。能力目标：能根据具体情况，用表达式表示某些变量之间的关系。情感目标：能根据表达式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系教学重点与难点重点：学会用表达式整理试验得出的数据获得变量之间关系的信息难点：能用表达式刻画简单实际问题中
20、变量之间的关系。突破措施教师出示自学提纲，学生根据自学提纲自主讨论学习，对于不理解的问题，教师给予适当的点拨。教学方法引思探究，讲练结合学习方法合作探究教学用具多媒体、白板、三角板课堂类型新授课教 学 过 程二次备课教 师 活 动学 生 活 动一、 尝试导入、引定目标：在用表格表示变量之间的关系中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量。这节课我们尝试用另一种方法表示变量之间的关系（引入新课，认定目标）二、 新授三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？1、
21、操作多媒体，演示“三角形面积的变化” 2、问题探究：(1) 问题：决定一个三角形面积的因素有哪些？(2) 课件演示：（高一定）变化中的三角形（如图4-1）三、尝试探究、引导解惑如果ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？在这个变化过程中，ABC中的哪些因素在改变？(1)这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2)如果三角形的底边长x（厘米），那么三角形的面积 y（厘米2）可以表示为 _。（3) 当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从_平方厘米变化到_平方厘米.学生活动：(1)同学们能根据要求填写下列的表格吗？根据三
22、角形的底边长为 x（厘米），和三角形的面积 y（厘米2）的关系式填表：X(cm)10987654Y(cm2)(2)通过填表、探究，同学们能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？四、尝试自结、引导拓展 1、谈本节的收获和体会2、主要探索了图形中的变量关系。能用表达式表示变量之间的关系。能根据表达式求值。五、作业布置1、在地球某地，温度T（）与高度d（m）的关系可以近似地用来表示，根据这个关系式，当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果。2、仿照“议一议”中的（2），你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化
23、的情况吗？学生记忆掌握，然后互相检查学生自己动脑思考解答学生自己操作 、讨论学生思考，小组讨论再发言板书设计：用表达式表示变量之间的关系课后反思：新的数学课程理念认为：数学活动是学生探索、掌握、应用数学知识的过程。本节课遵循这种理念，在教师引导下，让学生在实际问题中发现问题，从数学角度去观察、思考、解决问题。学生基本上能准确地找到自变量和因变量，但是对于自变量由一个值变化到另一个值时，找随之而变化的因变量的值，有部分学生感到难以理解。教学课题用图象表示的变量间关系授课班级初一一班教学用时1课时授课时间教学目标知识目标: 能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；能力目标：能对实际情境中
24、所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；情感价值：进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。 教学重点与难点教学重点: 从图象上了解变量的变化情况。教学难点: 利用图象解决实际问题。突破措施强化练习，从丰富的生活情景中经历概念，性质产生的过程，体会数学与现实生活的密切联系教学方法引思探究，合作交流学习方法合作探究教学用具多媒体、白板、三角板课堂类型新授课教 学 过 程二次备课bring 拿来 brought brought教 师 活 动steal 偷 stole stolen学 生 活 动一、 回顾思考catch 捕捉 caught caught学生自己总结
25、已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。1.列表法bear 忍受 bore born下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化：bear 忍受 bore born降价（元）5spin 旋转 spun / span spun10forget 忘记 forgot forgot / forgotten15begin 开始 began begun20253030shrink 收缩 shrank /shrunk shrunk / shrunken日销量（件）saw 锯 sawed sawed / sawn71878784589593797
26、31000在这个表中反映了个变量之间的关系，是自变量，是因变量。2.关系式法某出租车每小时耗油5千克，若小时耗油千克，则自变量是，因变量是，与t的关系式是。3.图象法下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。（1）大约什么时刻港口的水最深？约是多少？（2）A点表示什么？（3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？2二、讲授新课例 汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。（1）汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？（4）
27、用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义（选23个小组代表讲解）三、合作学习1柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？5. 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶。过了一段时间,汽车到达下一个车站。乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶。下面哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？(横轴表示时间,纵轴表示速度)四、课堂小结1.今天你有哪些收获？2.总结：1通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深了对图象表示的理解。2不仅读懂了文字语言，而且还读懂图形语言。3最关键是搞清楚自变量、因变量，并且明白了它们的变化关系。五、布置作业1一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）；2一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；3足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；4匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）。学生小组讨论，学生自学如何发现变量之间关系学生做练习学生讨论，回答问题板书设计：用表格表示变量之间的关系课后反思：
