1、高考数学一轮考点训练平面解析几何含答案2017高考数学一轮考点训练-平面解析几何（含答案） 第九 平面解析几何考纲链接1平面解析几何初步(1)直线与方程在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离(2)圆与方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程能根据给定直线、圆的
2、方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系能用直线和圆的方程解决一些简单的问题初步了解用代数方法处理几何问题的思想2圆锥曲线与方程(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(4)理解数形结合的思想()了解圆锥曲线的简单应用 91直线与方程1平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为
3、x2，则A，B两点间的距离|AB|_(2)平面直角坐标系中的基本公式：两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，1)，B(x2，2)之间的距离公式为d(A，B)|AB|_线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，1)，(x2，2)，线段P1P2的中点的坐标为(x，)，则x，2直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴_或_时，我们规定它的倾斜角为0因此，直线的倾斜角的取值范围为_(2)斜率：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即_(_)当直线平行于x轴
4、或者与x轴重合时，_0；当直线的倾斜角为锐角时，_0；当直线的倾斜角为钝角时，_0；倾斜角为_的直线没有斜率倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度(3)经过两点P1(x1，1)，P2(x2，2)(x1x2)的直线的斜率公式为3直线方程的几种形式(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的_叫做直线l在x轴上的截距，直线l与轴交点(0，b)的_叫做直线l在轴上的截距注：截距_距离(填“是”或“不是”)(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式存在斜截式存在两点式截距式a0且b0一般式平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例(3)过点P1(x1
5、，1)，P2(x2，2)的直线方程若x1x2，且12时，直线垂直于x轴，方程为_；若x1x2，且12时，直线垂直于轴，方程为_；若x1x20，且12时，直线即为轴，方程为_；若x1x2，且120，直线即为x轴，方程为_自查自纠：1(1)|x2x1|(2)x2x12212x1x221222(1)正向平行重合0<180(2)正切值tan90><90(3)21x2x13(1)横坐标a纵坐标b不是(2)0(xx0)xb121xx1x2x1x1x2且12xab1AxB0(A，B不同时为0)点斜式两点式(3)xx11x00 过点(1，)，N(1，4)的直线的斜率等于1，则的值为()A1
6、B12 2 D13解：由421，得1故选A 直线3x310的倾斜角是()A30 B60 120 D13解：直线方程可变形为3x33，tan3，倾斜角0，180)，60故选B 过点(，2)，且在轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是()A2x120B2x120或2x0x210Dx210或2x0解：当直线过原点时所求方程为2x0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa2a1，由该直线过点(，2)即可解得a6，对应方程为x6121，即2x120故选B 已知直线l过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为4，则直线l的方程为_解：s4，0，)，sin3，tan34直线l的方程为234x，即3x480故填3x
7、480 下列四个命题中真命题有_个经过定点P(x0，0)的直线都可以用方程0(xx0)表示；经过任意两点P1(x1，1)，P2(x2，2)的直线都可以用方程(1)(x2x1)(xx1)(21)表示；不经过原点的直线都可以用方程xab1表示；经过定点(0，b)的直线都可以用方程xb表示解：当不存在时，直线方程为xx0，不正确；正确；当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；可能不存在，不正确故填1类型一直线的倾斜角和斜率(1)经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角的取值范围分别为_，_解：如图所示，为使l与线段AB总有公共点
8、，则PAPB，而PB>0，PA<0，故<0时，倾斜角为钝角；0时，0；>0时，为锐角又PA2（1）101，PB1（1）201，11又当01时，04；当1<0时，34<故倾斜角的取值范围为0，434，故填1，1；0，434，(2)如图所示，直线l1的倾斜角130，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率1_，直线l2的斜率2_解：由图可知，2190120，则直线l1的斜率1tan1tan3033，直线l2的斜率2tan2tan1203，故填33；3点拨：直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直
9、线的倾斜程度，两者由公式tan联系在使用过两点的直线的斜率公式21x2x1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为xx1在已知两点坐标，求倾斜角的值或取值范围时，用tan21x2x1转化，其中倾斜角0，)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题(1)直线xsin10的倾斜角的变化范围是()A0，2 B(0，)4，4 D0，434，解：直线xsin10的斜率是sin，1sin1，11，当01时，倾斜角的范围是0，4；当1<
10、0时，倾斜角的范围是34，故选D(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1，1)和Q(2，2)，若直线l：x0与线段PQ有交点，则实数的取值范围是_解：如图所示，直线l：x0过定点A(0，1)，当0时，QA32，PA2，l1，12或132，解得012或230；当0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数的取值范围为23，12故填23，12类型二求直线方程根据所给条求直线的方程(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(，10)，且到原点的距离为解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为，则sin1010(0，)
11、，从而s31010，则tan13故所求直线的方程为13(x4)，即x340(2)若截距不为0，设直线的方程为xaa1，直线过点(3，4)，3a4a1，解得a1此时直线方程为x10若截距为0，设直线方程为x，代入点(3，4)，有43，解得43，此时直线方程为4x30综上，所求直线方程为x10或4x30(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x0当直线斜率存在时，设其方程为10(x)，即x(10)0由点到直线的距离公式，得1012，解得34此时直线方程为3x420综上知，所求直线方程为x0或3x420点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱(
12、1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线求满足下列条的所有直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线3x的倾斜角的2倍解：(1)根据题意，设直线l在x，轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0，0)和(4，1)，l的方程为14x，即x40若a0，则设l的方程为xaa1，l过点(4，1)，4a1a1，得al的方程为x0综上可知，直线l的方程为x40或x0(2)由已知设直线3x的倾斜角为，则所求
13、直线的倾斜角为2tan3，tan22tan1tan234又直线经过点(1，3)，因此所求直线方程为334(x1)，即3x410类型三直线方程的应用(1)已知点A(4，1)，B(8，2)和直线 l：x10，动点P(x，)在直线l上，则PAPB的最小值为_解：设点A1(x1，1)与A(4，1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，P0A1P0A，PA1 PAPAPBPA1 PBA1BA1P0P0BP0AP0B当P点运动到P0点时，PAPB取到最小值A1B点A，A1关于直线l对称，由对称的充要条知，11x1411，x14211210， 解得x10，13， 即A1(0，3)(PAPB)inA1B
14、82（1）26故填6点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条又是求对称点的依据(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和轴的正半轴于A，B两点，为坐标原点当|A|B|最小时，求l的方程；若|PA|•|PB|最小，求l的方程解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为，则直线l的方程为4(x1)(<0)令0，可得A14，0；令x0，可得B(0，4)|A|B|14(4)4449当且仅当4且<0，即2时，|A|B|取最小值这时l的方程为2x60|PA|•
15、;|PB|4216•1241（）8(<0)，当且仅当1且<0，即1时，|PA|•|PB|取最小值这时l的方程为x0点拨：直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，的关系，将问题转化为关于x(或)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)解决已知直线l：x120(R)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交轴正半轴于点B，AB的
16、面积为S(为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程解：(1)证明：将直线l的方程变形得(x2)(1)0，令x20，10，解得x2，1，无论取何值，直线l过定点(2，1)(2)当直线l的倾斜角0，90时，直线l不经过第四象限，0(3)由l的方程，得A12，0，B(0，12)依题意得12<0，12>0，解得>0S12•|A|•|B|12•12•|12|12•（12）21241412(224)4，当且仅当41且>0，即12时等号成立，Sin4，此时直线l的方程为x2401直线的倾斜角和斜率的关系，可借助tan的
17、图象(如图)解决这里，0，)，的范围是两个不连续的区间这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论2直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况3在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单4对于直线方程说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条，在求解时要细心处理，否则容易产
18、生增解或漏解的情形如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条A2B20而出现增解1若AB0，则直线AxB0必经过点()A(0，1) B(1，0)(1，1) D(1，1)解：将点(1，1)代入AxB0，得AB0，直线AxB0必过点(1，1)故选2下列命题中，正确的是()A直线的斜率为tan，则直线的倾斜角是B直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D直线的倾斜角0，22，时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率tan，且
19、0，)时，才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角0，)，而当2时，直线的斜率不存在，所以B不对；当0，2时，斜率大于0；当2，时，斜率小于0，不对故选D3已知直线的倾斜角为120，在轴上的截距为2，则此直线的方程为()A3x2 B3x23x2 D3x2解：tan1203，且直线在轴上的截距为2，由斜截式得3x2故选4已知直线l：ax2a0在x轴和轴上的截距相等，则实数a的值是()A1 B1 2或1 D2或1解：显然a0，由题意得a2a2a，解得a2或1故选D将直线l沿轴的负方向平移a(a>0)个单位，再沿x轴正方向平移a1个单位得直线l，此时直线l与l重合，则直线l的斜率为(
20、)Aaa1 Baa1a1a Da1a解：设直线l的倾斜角为，则根据题意，有tan()tanaa1，tanaa1故选B6(2013•北京海淀模拟)已知点A(1，0)，B(s，sin)，且AB3，则直线AB的方程为()A3x3或3x3B33x33或33x33x1或x1D2x2或2x2解：AB（s1）2sin222s3，s12，sin32当点B的坐标为12，32时，直线AB的方程为33x33；当点B的坐标为12，32时，直线AB的方程为33x33故选B7直线l：xsin30s1010的斜率是_解：由题意得直线l的斜率sin30s10tan3033，直线l的斜率为33故填338若直线l的斜
21、率为，倾斜角为，而6，423，则的取值范围是_解：tan ，6，423，3<0或331故填3，0)33，19已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程解：设所求直线l的方程为xab116，ba16，得a6b又S12|a|•|b|3，|ab|6联立a6b，ab6，得a6，b1或a6，b1所求直线方程为：x611或x611，即x660或x66010已知AB的三个顶点分别为A(3，0)，B(2，1)，(2，3)，求：(1)B边所在直线的方程；(2)B边上中线AD所在直线的方程；(3)B边的垂直平分线DE的方程解：(1)直线B经过B(2，1)和(2，3)两
22、点，由两点式得B的方程为131x222，即x240(2)易得B边的中点D的坐标为(0，2)，B边的中线AD过点A(3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x321，即2x360(3)由(1)知，直线B的斜率112，则直线B的垂直平分线DE的斜率22由(2)知，点D的坐标为(0，2)由点斜式得直线DE的方程为22(x0)，即2x2011已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求AB的面积的最小值及此时直线l的方程解法一：设直线l的方程为xab1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得3a2b126ab，得ab24，从而SAB12
23、ab12，当且仅当3a2b时等号成立，这时ba23，从而所求直线l的方程为2x3120解法二：依题意知，直线l的斜率存在且<0，可设直线l的方程为2(x3)(<0)，则A32，0，B(0，23)，SAB12(23)321212（9）412122（9）•412(1212)12，当且仅当94，即23时，等号成立AB的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x3120 已知AB中，顶点A(4，)，点B在直线l：2x20上，点在x轴上，求AB周长的最小值解：设点A关于直线l：2x20的对称点为A1(x1，1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点，则此时AB的周长取最小值，且最小值为A1A2A1与A关于直线l：2x20对称，1x1421，2x1421220，解得x10，17A1(0，7)易求得A2(4，)，AB周长的最小值为A1A2（40）2（7）2410
