1、高中数学不等式性质平均不等式一. 实数集的有关知识 2 两实数的运算性质 3 比较实数的大小的法则 实数与数集上的点是一一对应的。 定义： 应用：可以比较实数的大小，即判断差即可。二. 不等式的性质 定理1. 证明： 定理2. 证明： 定理3. 证明： 推论1. 推论2. 推论3. 定理4. 证明： 推论1. 推论2. 推论3. 定理5. 证明：（反证法） 三. 算术平均数与几何平均数 1. 结论： （当且仅当a=b时取“等号”） 证明： 当且仅当a=b时取“=” 2. 定理1. （当且仅当a=b时取“=”） 证明： 故定理可表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 证法二：以a+
2、b长的线段为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC=a，CB=b，过C作垂直于AB的弦DD，连AD、DB 故定理可表述为：（几何意义：半径不小于半弦。） 则定理可表述为：两个正数的等差中项、不小于它们的等比中项。 4. 定理推广： （当且仅当a=b=c时取等号） 结论： （当且仅当a=b=c时取“=”） 证明： 另证： 当a=b时取“=” 同理： 以上结论得： 推广： 例题选讲 例1. 分析：比较两个实数的大小，可以用作差法，依据就是教材中方框内的三个等价关系。也可以先恒等变形，然后进行比较。 解： 小结：两个实数比较大小，常用作差法，或通过变形后进行比较；有时也可利用数轴来比较，直观而简明。
3、 例2. 分析：分别展开后即可看出，比较这两式的大小，实质上只要比较2a1b1a2b2与a12b22+a22b12的大小，而这两式作差后即为完全平方式，从而可得结论。 解： 小结：作差比较时，常用公式法，配方法，因式分解法等，这样做便于判断差的符号。 例3. 分析：观察两式的结构特征，可以先作差，再配方，然后判断。 解： 小结：对于比较复杂的式子在应用作差、配方法时，注意运用换元法和整体思想，如本题把x2+y2、xy分别看做两个数处理则十分简捷，但若把两式直接展开，就会十分繁琐，也难以配方。 例4. 分析：这类问题的求解，除利用不等式性质外，还可用中间值法，即在要比较大小的两数之间插入一数作为
4、中间值，通过比较两数与中间值的大小，确定原来两数的大小。常用作中间值的有0，1等。 解： 小结：是很有用的。 例5. 分析：此时用作差比较法难以奏效，注意到分子有理化后，两式的分子均为1，这样转化为比较分母的大小就可化难为易了。 解： 小结：对于类似的根式比较大小的问题，常考虑用分子有理化的方法。 例6. （1）求证：1-aa2； （2）比较A、B、C、D的大小。 分析： 又易知A、B、C、D均大于零，故可用作差法，也可用作商法比较大小。 解： 显然D0， 故BC，从而DABC。 小结：在解答（2）时，利用（1）的结论可简化解题过程。 例7. 分析：若从左边出发，则根据本节定理有 。 三式相加
5、可证。若从右边出发， 证明：a、b、c都是正数， 小结：与本题类似的问题还有很多，像这种关于三个字母轮换对称的不等式，常用先两两比较，再把所得的几个同向不等式相加的方法求解。 例8. 分析：的最小值，事实上只要求x+y的最小值。利用本节例1“积为定值，和有最小值”即可求得最值。 解： 小结：应用平均值定理求最值时，不能只注意结果而忽视了定理成立的条件。 例9. 分析：像这样的不等式要拆成两个不等式分别证明。具体说来，可先展开 证明： 小结：这组不等式提供了三实数和的平方、平方的和以及两两乘积之和的大小关系，在解题中十分有用。另有两实数和的平方、平方和以及乘积之间的大小关系是 例10. 解法一：
6、 解法二： 解法三： 小结：这是一道灵活性较强且易出错的试题，有同学用连续两次均值不等式求解其错误在于两次取“=”的条件不同。【模拟试题】 1. 已知：，下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 3. 若_。 4. 若，则一定成立的不等式是（ ） A. B. C. D. 5. 设，且（ ） A. B. C. D. 6. 不等式能同时成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若中最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知则下列不等式恒成立的是（ ）
7、 A. B. C. D. 9. ，下列命题中正确的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 10. 设，试比较的大小。 11. 已知，试求的取值范围。【试题答案】 1. 解析：用特例法，取a=2，b=3，m=1，只有A正确。 答案：A 2. 解析：当 答案：C 3. 答案： 4. 解析：当c=0时，A不成立； 答案；C 5. 解法一：举反例否定A、B、C有误。 解法二： 答案：D 6. 解析： 答案：B。 7. 解析：， 答案：B。 8. 解析： 答案：C 9. 解析： 答案：C 10. 解： （的正负取决于与1的大小关系，故需分以下三种情况讨论） （1）当时， 11. 解： 解得 评述：解此类题常见的错误是：依题意得 用（1）（2）进行加减消元，得 由 其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形。
