1、六年级下册数学试题奥数专题讲练第十三讲最大公因数与最小公倍数无答案全国通用第十三讲 最大公因数与最小公倍数知识导航：1.最大公因数和最小公倍数的概念和最简单的表示方法（1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。自然数 a、b 最大公因数记作(a,b)。例如：12 和 18 的最大公因数是 6，可以记作（12,18）=6。（2）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍 数。自然数 a、b 的最小公倍数记作a,b例如：24 和 18 的最小公倍数是 72，记作24,18=72。2关于最大公因数和最小公倍数的有关性质（
2、1）如果 a 和 b 互质，那么 a 和 b 的最大公因数是 1，最小公倍数是 ab。（2）如果 a 是 b 的整数倍，那么 a 和 b 的最大公因数是 b,最小公倍数是 a。（3）非零自然数 a、b 分别除以它们的最大公因数 d，所得商是互质的。（4）公因数是最大公因数的因数。（5）若两个数同时扩大 m 倍，它们的最大公因数也扩大 m 倍。（6）两个数的任意公倍数是它们最小公倍数的倍数。（7）两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积与它们最大公因数的商。3求最大公因数和最小公倍数的方法（1）列举法：例：12 的因数：1、2、3、4、6、12； 12 的倍数:12、24、36、4818 的因数：1
3、、2、3、6、9、18； 18 的倍数：18、36、54 即（12，18）=6 12，18=36（2）短除法： 求几个数的最大公因数，用几个数的公因数去除，除到这几个数只有公因数“1” 为止，将左半边的公因数相乘。求几个数的最小公倍数，也是用几个数的公因数去除，除到两两互质为止。将左半边的公因数和拐弯处剩下的数都相乘。（3）分解质因数法：12=223; 18=233 即（12，18）=6 12,18=36（4）辗转相除法：主要针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数， 得余数 r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数 r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大
4、公因数。第一关：必须会例 1.求 24 和 32 的最大公因数24 3212 166 8解析：要想求几个数的最大公因数，我们要掌握求最大公因数的几种方法。有：列举法、短除法、 分解质因数法、和辗转相除法等。最常用、最方便的方法是短除法。解： 2223 4(24,32)=222=8答：24 和 32 的最大公因数是 8。我试试：1、用短除法求出下面各组的最大公因数（1）56 和 42 （2） 225 和 15 （3） 84 和 105（4）72 和 90 （5） 60、90 和 120 （6）48、12 和 162、直接说出下面各组数的最大公因数，你能发现什么规律？（1）8 和 9 7 和 11
5、 13 和 20（2）4 和 12 16 和 32 15 和 30（3）1 和 10 7、8、和 9 5、10 和 153、填空（1）最小质数与最小合数的最大公约数是 （ ）（2）自然数 a 除以自然数 b，商是 15，最大公因数是 （ ）（3）甲235，乙237，甲和乙的最大公因数是（ ）（4）两个数为互质数，这两个数的最大公因数是 （ ）（5）相邻的两个自然数一定只有公因数 （ ）（6）甲、乙两数的最大公因数是 7，甲数的 3 倍与乙数的 5 倍的最大公因数是（ ）（7）所有偶数的最大公约数是（ ），所有奇数的最大公约数（ ）（8）把自然数 a 与 b 分解质因数，得到 a=257m，b=
6、35m （a，b）=（ ） 例 2. 求 36 和 60 的最小公倍数。解析：求最小公倍数和求最大公因数的方法有相同之处，都可以用短除法。 解： 3223 536,60 =32235=180答：36 和 60 的最小公倍数是 180。我试试：1、 求下列各组数的最小公倍数（1）25 和 15 （2）140 和 35 （3）24 和 36（4）4，8 和 16 （5）45 和 135 （6）48，16 和 242、直接说出下列各组数的最小公倍数，你发现了什么？（1）18 和 36 12 和 24 8、16 和 72（2）9 和 10 5、7 和 11 3、4 和 53、填一填，判一判，选一选。（
7、1）填一填a 和 b 都是自然数，如果 a 除以 b 商是 5 没有余数，那么 a 和 b 的最大公约数是（ ），最小公倍数（ ）。如果 a 和 b 是互质的自然数，那么 a 和 b 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。三个质数的最小公倍数是 42，这三个质数是（ ）。100 以内能同时被 3 和 7 整除的最大奇数是（ ），最大偶数是（ ）。已知两个互质数的最小公倍数是 153，这两个互质数是（ ）和（ ）。所有偶数的最大公约数是（ ），所有奇数的最大公约数（ ）。甲数=2357，乙数=2311，甲乙两数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）（2）判一判几个数的公倍数是无限的，最小的
8、只有一个。（ ）两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小。（ ）如果三个自然数两两互质，它们的最大公约数是 1，最小公倍数就是三个数的乘积。（ ）如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数。（ ）一个数的约数必定小于它的倍数。（ ）（3）选一选96 是 16 和 12 的（ ）A、倍数 B、最小公倍数C、公约数几个质数的连乘积是（ ）A、合数 B、质数C、最大公约数D、最小公倍数甲是乙的 15 倍，甲和乙的最小公倍数是（）A、15 B、甲C、乙D、甲乙12 是 24 和 36 的（ ）A、约数 B、质因数C、最大公约数一个数的最大约数（ ）它的最小倍数。A、 B
9、、 C、 D、M225， N235，那么 M 和 N 的最小公倍数是（ ）A、600 B、300 C、60 D、10例 3.有一筐苹果 4 个 4 个拿，6 个 6 个拿，或者 8 个 8 个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（ ） 个。解析：因为 4 个 4 个拿，6 个 6 个拿，或者 8 个 8 个拿都正好拿完，说明苹果的总个数一定是 4、6、8 的公倍数，要求苹果至少有多少个，就是求它们的最小公倍数。解： 2我试试：1 3 24 ，6, 8 =24答：这筐苹果至少有 24 个。1、某班学生做操，每行12人或每行16人，都正好整行。这个班学生不到50人，算一算这个班究 竟有多少人？2、老师组织
10、同学们去植树，分成5人一组、9人一组和15人一组，都恰好无剩余。植树学生至少有多少人？3、公共汽车站有三路汽车通往不同地方，第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发 车一次，第三路车每隔6分钟发车一次，三路汽车在同一时间发车后，最少再过多长时间能同时发车？例4.有三根铁丝，一根长15米，一根长18米，一根长27米，把它们截成同样长的小段，不许有剩 余，每段最长有几米？一共可以分成几段？解析：如果把三根铁丝截成同样长的小段，没有剩余有许多种方法，但是，截成最长的一段，只 有一种，可以求三根铁丝的最大公因数。解： 35 6 9（15,18,27）=3 5+6+9=20（段）答：每段最长3
11、米，一共可以分成20段。我试试：1、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余， 至少能裁多少张？2、用 96 朵红花和 72 朵白花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的朵数也都相等，每个花束里最少有几朵花？3、有一个长 80 厘米，宽 60 厘米，高 115 厘米的长方体储冰容器，往里面装入大小相同的立方体冰块，这个容器最少能装多少数量冰块？第二关：我能会例1学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面 红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？解析：要想求出有多少面小旗不动，就必须知道在9
12、6米之内，4和6的公倍数有多少个。在加上一 端的。解： 4,6=12 9612=8 8+1=9（面）答：可以不必拔出来的小红旗有9面。我能行：1、一只电子钟，每到整点响一次铃，每走9分亮一次灯。中午12时整，它既响铃又亮灯。下一次 既响铃又亮灯是几时？2、小明和爸爸进行登台阶运动。台阶共有60级，爸爸每步登3级，小明每步登2级。问小明和爸爸 都没有登过的台阶有多少级？3、已知某小学六年级学生超过 100 人，而不足 140 人。将他们按每组 12 人分组，多 3 人；按每组 8 人分，也多 3 人。这个学校六年级学生多少？例2用某数去除47、61、75，结果都有余数5，问这个数最大是多少？解析
13、：根据题意可知47a=X5, 61a=Y5 75a=Z5 用75-47=28，相当于把余数5消去了，就剩下几个除数，再用61-47=14，最后求28和14的最大公因数。解： 75-47=2861-47=14（28,14）=14答：这个数最大是14。我能行：1、 有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，问这个整数是几？2、一个整数除3073余28，除1883余27，问这个整数是几？3、某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是几？例3.甲数是32，甲乙两数的最小公倍数是224，最大公因数是8，求乙数。解析：由于两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘
14、积，所以求乙数就用最大 公因数乘最小公倍数再除以甲数。解： 224832=56答：乙数是56。我能行：1、 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，求另一个数。2、 已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数各是多少？3、两个整数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？例4.把一些糖果平均分成若干包，每包10粒余9粒，每包12粒余11粒，每包15粒余14粒，这些糖 果最少有多少粒？解析：根据已知条件可知，如果糖果总数增加1粒后，则恰好是10、12、15的倍数，求糖果最少 有多少粒，就是求三个数的最小公倍数，再减去1粒。
15、解：10,12,15=6060-1=59（粒）答：这些糖果最少有59粒。我能行：1、一个自然数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个自然数最小是多少？2、一个自然数加上7是7的倍数，加上8是8的倍数，减去9是9的倍数，求这个数最小是多少？3、有一个数，被 4 除余 1，被 5 除余 4，被 7 除余 2，这个数最小是多少？第三关：我想会例1.求 3 、 9 、 27 的最大公因数。14 28 70解析：求几个最简分数的最大公因数的方法是：取各最简分数分子的最大公因数做分子，取各最 简分数分母的最小公倍数做分母，所得新分数就是这几个最简分数的最大公因数。解： （3,9,27）=314,28,7
16、0=140 （ 3 ，9 ， 27 ）= 314 28 70 140答： 3 、 9 、 27 的最大公因数是 3 。我要学：14 28 701401、求 7 和 21 的最大公因数。15 222、求 12259 18、 、 的最大公因数。40 357 8 123、求 、 、 的最大公因数。13 9 25例 2.求10 15 5、 、21 56 14的最小公倍数。解析：求几个最简分数的最小公倍数的方法是：取各分数的分子的最小公倍数做分子，取各分数 分母的最大公因数做分母，所得到的新分数就是这几个最简分数的最小公倍数解： 10,15,5=30（21,56,14）=710 15 5， ，= 302
17、1 56 14 710 15 5 30答： 、 、21 56 14的最小公倍数是 。7我要学：1、求11 22 33、 和30 25 40的最小公倍数。2、求7 35 7、 和30 48 24的最小公倍数。3、求2 4 5、 和9 15 12的最小公倍数。例 3.求 2430 和 1686 的最大公因数。解析：我们发现这个数比较大，用短除法求最大公因数不容易找出它们的公因数，我们可以掌握 另一种求最大公因数的方法 辗转相除法。解：2430=16861+744 1686=7442+198744=1983+150198=1501+48150=483+648=68（2430,1686）=6答：243
18、0 和 1686 的最大公因数是 6。我要学：1、求 36963 和 59570 的最大公因数。2、求 5890 和 6327 的最大公因数。3、两个数的积是 5766，它们的最大公因数是 31，求这两个数是多少？例 4.一次会餐，每两个人合用一只饭碗，三个人合用一只菜碗，四个人合用一只汤碗，会餐共用65 只碗。问参加会餐的有多少人？解析：会餐的人数应该是 2、3、4 的倍数，就是先求 2、3、4 的最小公倍数，2,3,4=12，看看 12 个人里面可以用几只饭碗，几只菜碗，几只汤碗，再用总碗数除以每 12 个人所用的碗数， 得到的数就是有多少个 12 个人用餐。解：2,3,4=12122=6
19、 6+4+3=13123=4 6513=5124=3 125=60（人）答：参加会餐的共有 60 人。我要学：1、老师为春游的同学发饮料，每两人一瓶 A 饮料，每三人一瓶 B 饮料，每四人一瓶 C 饮料，全班共喝了 52 瓶饮料，共有多少人？2、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种分成 12 等份，第三种将木棍分成 15 等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？3、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过几年是你的 5 倍、4 倍、3 倍。”小明现在几岁？大显身手：1、一种长方形的地砖，长 24 厘米，宽 16
20、厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？2、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是 360。他们中年龄最大是多少岁？3、汽车站内每隔 3 分钟发一辆公交车，4 分钟发一辆中巴车，1 小时共发了几辆汽车？其中有几辆中巴车？4、一块长方形铁皮，长 96 厘米，宽 80 厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？被剪成几块？5、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?6、两个数的最大公因数是 42，最小
21、公倍数是 2940，且两个数的和是 714，求这两个数是多少？7、有一个三位数能被 7 整除，这个数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这个数是多少？8、甲乙丙三个班的学生人数分别是 54 人、48 人、42 人，现在要在各班内进行分组，各小组的人数要相同，求各小组的人数最多是多少人？9、一个小于 200 的数，除以 24 或 36 都有余数 16，求这个数。10、有两个两位数，这两个两位数的最大公因数与最小公倍数的和是 91，最小公倍数是最大公因数的 12 倍，求这两个数各是多少？真题欣赏：1、四个连续的自然数的最小公倍数是 5460，求这四个数的和是多少
22、？（第十一届“迎春杯”题）2、一个自然数被 5、6、7 除时余数都是 1，在 1000 以内，这样的数共有多少个？（北京市第十一届“迎春杯”竞赛题）3、有 5000 多根牙签，可按六种规格分成小包。每 10 根一包，那么最后还剩 9 根，每 9 根一包， 那么最后还剩 8 根，第三、四、五、六种的规格是分别以 8、7、6、5 根为一包，那么最后也分别剩 7、6、5、4、根，原来一共有牙签多少根？（华杯赛真题）4、有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数，问这个整数是几？（华杯赛真题）5、幼儿园买来桃 273 个，杏 219 个，桔子 252 个，分给小班的小朋友，每人要分得一样多，结果桃、杏各剩下 3 个，桔子恰好分完。小班的小朋友最多有多少个？（希望杯题）
