版高中数学第二章空间向量与立体几何5夹角的计算学案含答案北师大版选修21.docx

1、版高中数学第二章空间向量与立体几何5夹角的计算学案含答案北师大版选修215 夹角的计算学习目标1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.知识点一直线间的夹角思考1设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为a，b吗？思考2当两条直线平行时，它们的夹角是多少？梳理(1)共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在0，内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为_.(2)异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我

2、们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.两条异面直线的夹角的范围为_，当夹角为时，称这两条直线异面_.综上，空间两条直线的夹角的范围是_.(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于_；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于_.知识点二平面间的夹角思考若平面1与平面2平行，则它们的夹角是多少？梳理(1)平面间夹角的概念如图，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则

3、l1l2R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角.由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是_.当夹角等于0时，两个平面_；当夹角等于时，两个平面互相_.(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.已知平面1与2的法向量分别为n1与n2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于_；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于_.事实上，设平面1与平面2的夹角为，则cos |cosn1，n2|.知识点三直线与平面的夹角思考若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？梳理(1)直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投

4、影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是_.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是_.由此可得，直线与平面夹角的范围是_.(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定.设平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面所成的角为.当0n，a时，_；当n，a时，_.即sin |cosn，a|.类型一直线间的夹角求解例1已知直线l1的一个方向向量为s1(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2(1,2，2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值.反思与感悟利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是0，而两条直线的夹角的范围是0，所以这两者不一定相等，还可能互补.由于任意两条直线的夹角0，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|coss1，s2|.跟踪训练1如图所示，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.