1、 2014年中考数学综合题复习（动点问题详细分层解析，尖子生首选资料 ）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生
2、解决问题的能力图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利
3、于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90的扇形OAB的弧AB上,有
4、一个动点P,PHOA,垂足为H,OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).HMNGPOAB图1(3)如果PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (06).(3)PGH是等腰三角形有三种可能情况:GP=PH时,解得. 经检验,
5、是原方程的根,且符合题意.GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.PH=GH时,.综上所述,如果PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果BAC=30,DAE=105,试确定与之间的函数解析式； AEDCB图2 (2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=10
6、5, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函数关系式成立,=, 整理得.当时,函数解析式成立.例3(2005年上海)如图3(1),在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EPED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.PDEACB3(2)OF(1)求证: ADEAEP.(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段
7、AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)当BF=1时， 若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.类似,可得CF=C
8、E.5-=2,得.可求得,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式ABCO图8H例4 如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=,A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,AOC的面积为.(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O与A相切时,AOC的面积.解:(1)过点A作AHBC,垂足为H.BAC=90,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)当O与A外切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.当O
9、与A内切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.综上所述,当O与A相切时,AOC的面积为或.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题1（09年徐汇区）如图，中，点在边上，且，以
10、点为顶点作，分别交边于点，交射线于点（1）当时，求的长； （2）当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的相切时，求的长； （3）当以边为直径的与线段相切时，求的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解区分度性小题处理手法1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程2
11、圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=Rr()建立方程3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. 略解解：（1） 证明 ，代入数据得，AF=2（2）设BE=,则利用（1）的方法， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，；内切，当和相切时，的长为或（3）当以边为直径的与线段相切时，类题 一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、 两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题（二）线动问题在矩形ABCD中，AB3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD
12、的对称中心A重合，求BC的长；ABCDEOlA(2)若直线l与AB相交于点F，且AOAC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由题型背景和区分度测量点ABCDEOlF本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二区分度性小题处理手法1找面积关系的函数解析式，
13、规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. 略解(1)A是矩形ABCD的对称中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圆A与直线l相切，则，(舍去)，不存在这样的，使圆A与直线l相切类题09虹口25题（三）面动问题 如图，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.（1）试求的面积；（2）当边与重合时，求正方形的边长；（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长 题型背景和区分
14、度测量点例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二 区分度性小题处理手法1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方
15、程思想解决3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. 略解解：（1）.（2）令此时正方形的边长为，则，解得.（3）当时， ，当时， . （4）.类题 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N （1）求证：BDMCEN； （2）设BD=，ABC与DEF重叠部分的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以
16、M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由例1：已知O的弦AB的长等于O的半径，点C在O上变化（不与A、B）重合，求ACB的大小 .分析：点C的变化是否影响ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=AOB=300，当点C在劣弧
17、AB上变化时，ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=1500，因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式1：已知ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求C的大小.本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,则,即,从而当点C在优弧AB上变化时，C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧
18、AB的一半，即,当点C在劣弧AB上变化时，C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，因此或C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则AOB=600，即AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的
19、面积为，而三角形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EHOE=，当ABCD时，EH=OE，因此四边形ABCD的面积最大值为+=.对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题） 分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CDA
20、B于点D，连结CO，由于CDCO，当O与D重合，CD=CO，因此，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C重合），证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图显然三角形 ABC1的面积=ABC1D，而C1D C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=ABC1DABC1O=三角形 ABC的面积,因此,对于除点C外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问
21、题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ABC的面积，因此ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:一、 特殊探路，一般推证例2： 如图，O1和O2内切于A，O1的半径为3，O2的半径为2，点P为O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交O2于点C，PB切O2于点B，则的值为（A） （B） （C） （D）分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当
22、点P满足PBAB时，可以通过计算得出PB=BCAP=BPAB，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=选（B）当然，本题还可以根据三角形相似得，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. AEF的面积是否随着点E、F的
23、变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点F与点C无限接近，此时EOF无限接近AOC，而AOC为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相等吗？EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，则OEAOFC，则OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF
24、=FOC+FOA=900，则EOF为直角，故EOF为等腰直角三角形。二、 动手实践，操作确认例4 ）在O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选
25、（B）本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则OEODDE,即OBOADE,因此,即三、 建立联系，计算说明例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 .分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN，显然有ND=NB，则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般情况下：BN+NMBM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值为BM=本题通过建立平面上三个点中构成的
26、三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例3的第2、第3问）分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=，而三角形AOB的面积与三角形
27、AOE的面积之比=，而三角形AOB的面积=，则三角形AOE的面积=，同理三角形AOF的面积=，因此四边形AEOF的面积=；即AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2. 当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛. 第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, AEF的面积=,又的变化范围为,由二次函数知识得AEF的面积的范围为:AEF的面积
28、.本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AEF的面积范围:不难证明AEF的面积OEF的面积，它们公用边EF，取EF的中点H，显然由于OEF为等腰直角三角形，则OHEF，作AGEF，显然AGAH=AG（=），所以AEF的面积OEF的面积，而它们的和为2，因此AEF的面积.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果、
29、同时出发，用t秒表示移动的时间（0 t 6），那么：（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，即时，三角形QAP为等腰三角形；（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积三角形QDC的面积三角形PBC的面积=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。（3）显然有两种情况：PAQABC，QAPABC，由相似关系得或，解之得或建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面
