1、第五章 模糊逻辑与模糊推理,2023/7/1,1,主要内容5.1 概述5.2 模糊集合及其运算5.3 模糊关系5.4 模糊逻辑与近似推理5.5 基于控制规则库的模糊推理5.6 模糊控制的基本原理,2023/7/1,2,5.1 概述,2023/7/1,3,模糊的概念“fuzzy”,不同的类别之间不存在精确的分类标准，从而对一事物是否属于某一类很难做出明确肯定的断言。,例：高低、冷热、快慢、年轻人、中年人、老年人,2023/7/1,4,精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即非此即彼。把经典的二值逻辑用于处理Fuzzy概念和Fuzzy命题时，将会在理论上导致逻辑悖论。,模糊概念是亦此亦彼：从 0和1
2、 从 0至1。,公设（1）存在秃头的人和非秃头的人。（2）若有n根头发的人秃，则有n+1根头发的人亦秃。由此会导致：秃头悖论：所有人都秃。,人脑具有Fuzzy思维功能。,模糊描述是必要、必然的,2023/7/1,5,J.A.Goguen 1974 说：“描述不确切性并非坏事，相反倒是一件好事，它能用较少的代价传输足够的信息，并能对复杂事物做出高效率的判断和处理。也就是说，不确定性有助于提高效率。”爱因斯坦：“So far as the laws of mathematics refer to reality,they are not certain,And so far as they are
3、 ceitain,they do not refer to reality.”关于现实的数学定理是不确定的，而确定的数学定理并不能描述现实。不相容原理：(L.A.Zadeh 1975 提出)“当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减低，在达到一定的阈值时，复杂性和精确性将相互排斥。”,2023/7/1,6,模糊性也是一种不确定性，但不同于随机性，模糊理论不同于概率论。,模糊性指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性，主要是人为的主观理解上的不确定性。,随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。,模糊性与随机性,2023/7/1,7,模糊集合与模糊数学的概念,模糊
4、集合：一种特别定义的集合，它可用来描述模糊现象,模糊数学：有关模糊集合、模糊逻辑等的数学理论,2023/7/1,8,5.2 模糊集合及其运算,2023/7/1,9,表示方法：1)定义法：A=x|x为偶数，x10 2)列举法：A=2,4,6,8 3)特征函数法：,一、普通集合,论域：讨论的范围，U、V、W集合：U上的一部分叫U上的集合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v、w幂集：U的所有子集构成的集合，P(U),2023/7/1,10,二、模糊集合的定义及表示方法、名词术语,定义：设论域为U，称映射确定U的一个模糊集合。称为 的隶属函数。，表示u隶属于 的程度，简称隶属度。论域U
5、指的是所讨论的事物的全体。,模糊幂集：论域U上的全体模糊子集构成的集合，记为F(U)，,2023/7/1,11,设U=x1,x2,x3,x4,x5，xi表示同学。对于每个同学的“性格开朗”的程度在0,1中打分，便得到从U到0,1的一个映射=“性格开朗”(x1)=0.85，(x2)=0.75，(x3)=0.98，(x4)=0.30，(x5)=0.60,举例：,2023/7/1,12,1、论域U为离散有限集x1,x2,xn(xi)=ai,扎德表示法：,向量表示法：,表示方法：,2023/7/1,13,2、论域是离散无限域,可数：,不可数：,扎德表示法：,3、论域是连续域,当U是一个实数区间时，可以
6、用普通的实函数表示,扎德表示法：,2023/7/1,14,以年龄为论域，取U=0,200，扎德给出了“年老”与“年轻”两个模糊集的隶属函数为：,举例：,2023/7/1,15,“核”：Ker=5，6 Ker 称为正则模糊集 Ker 称为非正则模糊集,“单点模糊集合”：若台集仅为一个点，且该点隶属度为1,“台”：隶属度大于0的元素的全体，支撑集,“”截集：,Supp=3,4,5,6,7,8,名词术语：,2023/7/1,16,1、相等：,三、模糊集合的基本运算,2、包含：,各元素的隶属度分别相等,2023/7/1,17,3、并,：取大运算,2023/7/1,18,4、交,取小运算,2023/7/
7、1,19,5、余,2023/7/1,20,和 的直积为定义在积空间UV上的模糊集合,两个模糊集合直积的概念可以很容易推广到多个集合,6、笛卡尔直积(Cartesian product),2023/7/1,21,交换律,结合律,分配律,吸收律,复原律,两极律（同一律）,对偶律（D摩根律）,幂等律,2023/7/1,22,五、模糊集合的其它类型运算,作为Fuzzy集合基本运算的并、交运算，采用Zadeh算子按点“取大取小”，不仅很好符合人脑通常的Fuzzy思维方式，而且在研究和处理模糊性问题时带来了很多方便，因此在有关Fuzzy集合论与逻辑的文献中，大多采用了Zadeh的取大取小运算进行分析。有些
8、学者认为，只取两个隶属度中的最大或最小值，忽略了另一个隶属度的值，是造成信息失落的根源。因此人们提出了不少与、相对应的算子。改善后的Fuzzy算子尽管在某种意义上更加接近人类思维，然而由于其变化复杂且失去了许多好的运算性质而很少使用。,2023/7/1,23,1、代数和,2、代数积,3、有界和,4、有界差,2023/7/1,24,5、有界积,6、强制和,7、强制积,2023/7/1,25,5.3 模糊关系与模糊矩阵,2023/7/1,26,n元模糊关系R是定义在直积U1U2Un上的模糊集合,模糊关系不是“有”“无”关系，而是多少有点关系。,模糊关系是模糊集合直积集的一个子集,一、模糊关系的定义
9、及表示,2023/7/1,27,求U到V满足 b“大约是”a 的平方关系：,举例,2023/7/1,28,U=1,5,7,9,20 序偶中前元比后元“小得多”的关系,隶属度运算用公式,举例,2023/7/1,29,模糊关系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法来表示。,模糊矩阵：,将ui，vj作为节点，在连线上标上值,当论域为有限集合时，用矩阵和图的形式更形象地加以描述,模糊图：,2023/7/1,30,设U为家庭中的儿子和女儿，V为家庭成员中的父亲和母亲，对于“子女与父母长得相似”的模糊关系R表示为：,举例,2023/7/1,31,二、模糊关系的合成,定义：RF(UV),SF(VW)(R是U到
10、V的一个模糊关系，S是V到W的一个模糊关系，称U到W的模糊关系T为模糊关系R与模糊关系S的合成。记为T=RS,其中是并的符号，表示对所有v取极大值或上界值，“”是二项积的符号,其隶属函数,该合成称为最大星合成(max-star composition),其中“”为模糊矩阵的合成运算。,2023/7/1,32,二项积算子“”可以定义为以下几种运算：,交,最大最小合成(max-min composition)最常用,代数积,有界积,强制积,2023/7/1,33,当论域U、V、W为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成表示。,2023/7/1,34,已知子女与父母长相相像的关系为：,父母与祖父母
11、长相相像的关系：,举例,2023/7/1,35,求：子女与祖父母相似关系模糊矩阵,按最大最小合成规则：,2023/7/1,36,举例,用U=x1,x2,x3表示病人集合，V=y1,y2,y3,y4,y5表示症状集合，W=z1,z2,z3表示病名集合。,从U到V的模糊关系为：,2023/7/1,37,R与S的复合关系为：,从V到W的模糊关系为：,从症状V到病名集合W的模糊关系S是一个医学诊断知识库，它表明了症状与病名之间的关系程度。,2023/7/1,38,5.4 模糊逻辑与近似推理,2023/7/1,39,一、模糊命题、语言变量、模糊算子,模糊命题：含有模糊谓词的句子,例:“今天很冷”“张三年
12、轻”,不能简单地用“F”、“T”区别,模糊算子：,用于加强或减弱语气的词,“极”，“非常”，“相当”：集中化算子,“比较”，“略”，“稍微”：散漫化算子,2023/7/1,40,语言变量：,语言变量由一个五元体(x,T(x),U,G,M)来表征，其中：,x：语言变量名称，如年龄，速度等,U：x的论域,T(x)：语言变量值的集合，其中每个语言变量值都是论域U上的模糊集合,T(x)=T(速度)=慢，适中，快，很慢，稍快，,G：语法规则，用以产生语言变量x的值的名称,M：语义规则，用以产生模糊集合的隶属度函数,Zadeh于1975年给出了如下的语言变量的定义：,2023/7/1,41,二、模糊蕴含关
13、系,2、模糊蕴含积运算(Larsen),3、模糊蕴含算术运算(Zadeh),“如果x是A，则y是B”(AB),表示了A与B之间的模糊蕴含关系,1、模糊蕴含最小运算(Mamdani),2023/7/1,42,4、模糊蕴含的最大最小运算(Zadeh),5、模糊蕴含的布尔运算,6、模糊蕴含的标准运算(1),2023/7/1,43,7、模糊蕴含的标准运算(2),2023/7/1,44,如果论域U和V是离散的，则模糊蕴含关系R可用模糊矩阵来表示。,对于离散的模糊集合A和B，可用相应的模糊向量来表示。,则模糊蕴含关系矩阵R可以采用如下的方法计算：,2023/7/1,45,三、模糊推理,简言之,从巳知条件求
14、未知结果的思维过程就是推理。,用传统的二值逻辑迸行演绎推理和归纳推理时,只要大前提或推理规则是正确的，小前提是肯定的，那么就一定会得到确定的结论,然而,在现实生活中我们获得的信息往往是不精确的、不完全的;或者事实本身就是模糊而不完全确切的,但又必须利用且只能利用这些信息进行判断和决策。,此时,传统的形式逻辑和近代的数理逻辑均无法解决这类问题,2023/7/1,46,解决模糊性问题就需要用模糊推理。,这种结论不是从前提中严格推出来而是近似逻辑地推出结论的方法,通常就称为假言推理或似然推理。,模糊推理 是一种以模糊判断为前提,运用模糊语言规则,推出一个新的近似的模糊判断结论的方法。,模糊逻辑推理是
15、一种不确定性的推理方法。,模糊推理是一种近似推理,提法有两种形式。,2023/7/1,47,第一种提法(广义的肯定式推理方式)：,给定一个模糊蕴含关系：“若A则B”,AV,BV”,巳知某个A，AV，求从蕴含关系能推断出什么样的结论B?,例如：已知模糊推理语句：若“A大”,则“B小”,利用似然推理进行推理:如果巳知“A偏大”,问B将如何?,模糊取式推理：,巳知：模糊蕴含关系AB的关系矩阵R,对于给定的A，AU，则可推得结论B，BV，B=AR,其中“”表示合成运算，即模糊关系的sup-*运算。,2023/7/1,48,第二种提法(广义的否定式推理方式)：,给定一个模糊蕴含关系：“若A则B”,AV,
16、BV”,已知某一个BV，求从蕴含关系能推出什么样的结论A?,例如：已知模糊推理语句若“A大”,则“B小”,利用似然推理进行推理:巳知B不很小问A又如何?,模糊拒式推理：,巳知：模糊蕴含关系AB的关系矩阵R,对于给定的B，BV，则可推得结论AU A=RB,2023/7/1,49,例：已知若 A小则B大,当A=A=较小，问B如何?,解：采用(Zadeh)的模糊蕴含关系Rm,2023/7/1,50,2023/7/1,51,2023/7/1,52,采用最大最小合成,它与大相比,显然是比较大。,因此不难发现,由模糊推理所得到的结论是与人们的思想相吻合的。,这样的模糊性推理采用传统的形式逻辑推理不可能实现
17、的,而采用建立在模糊集合论基础上的模糊逻辑却能实现上述推理。,2023/7/1,53,四、句子连接关系的逻辑运算,1、句子连接词“and”,或者：,模糊蕴含关系记为：,规则为：如果x是A and y是B 则z是C,前提条件“如果x是A and y是B”可以看成是直积空间XY上的模糊集合，记为AB，其隶属度函数为：,其具体运算方法也如前面简单模糊蕴含关系那样有6种，如：,2023/7/1,54,如果x是A and y是B 则z是C,其中R是模糊蕴含关系，“”为合成运算符。,2023/7/1,55,2、句子连接词also,多条控制规则，之间无先后次序。,连接这些子句的连接词用“also”表示。,一
18、般采用求“并”运算。,2023/7/1,56,7.5 基于控制规则库的模糊推理,一、模糊推理的Mamdani法,Mamdani推理法是一种在模糊控制中普遍使用的方法,它本质上仍然是一种合成推理方法,只不过对模糊蕴含关系取不同的形式而已。,if A then B,if Ai then Bi,if A then B else C,R(u,v)=A(u)B(v),if A and B then C,2023/7/1,57,例：已知一个双输入单输出的模糊系统，其输入量为x和y，输出量为z，其输入输出关系可用如下两条模糊规则描述：R1：如果 x 是 A1 and y 是 B1 则 z 是 C1R2：如果
19、 x 是 A2 and y 是 B2 则 z 是 C2,现已知输入为 x 是 A and y 是 B，试求输出量 z。这里x，y，z均为模糊语言变量，且已知：,2023/7/1,58,解：所有模糊集合的元素均为离散量，所以模糊集合可用模糊向量来描述，模糊关系可用模糊矩阵来描述。,为进一步的计算，可将模糊矩阵 表示成如下的向量：,1、求每条规则的蕴含关系,2023/7/1,59,2023/7/1,60,2、求总的模糊蕴含关系R,2023/7/1,61,3、计算,4、计算输出量的模糊集合,2023/7/1,62,输出量 z 的模糊集合为：,2023/7/1,63,二、模糊推理的性质,1、若合成运算
20、“”采用最大最小法或最大积法，连接词“also”采用求并法，则“”和“also”的运算次序可以交换，即：,2、若模糊蕴含关系采用Rc和Rp时，则有：,2023/7/1,64,3、对于,的推理结果可以采用,如下简洁的形式表示：,推论：如果输入量的模糊集合和模糊单点，即：,则：,2023/7/1,65,结合性质1和性质3，可以得到：,这里i可以看成是相应于第 i 条规则的加权因子，它也看成是第 i 条规则的适用程度，或者看成是第 i 条规则对模糊控制作用所产生的贡献的大小。,2023/7/1,66,7.6 模糊控制的基本原理,一、模糊控制器的基本结构和组成,二、模糊化,将输入的精确量转换成模糊化量
21、。,2023/7/1,67,1、输入量变换：,其中 k 称为比例因子。,例：若实际的输入量为x0*，其变化范围为xmin*，xmax*，若要求的论域为xmin，xmax，若采用线性变换，则：,尺度变换，将实际的输入量变换到要求的论域范围。,变换可以是线性的，也可以是非线性的。,如果要求离散的论域，则需要将连续的论域离散化或量化。量化可以是均匀的，也可以是非均匀的。,2023/7/1,68,单点模糊集合：如果输入数据x0是准确的，则通常将其模糊化为单点模糊集合。设该模糊集合用A表示，则有：,三角形模糊集合：如果输入数据存在随机测量噪声，这时模糊化运算相当于将随机量变换成模糊量。取模糊量的隶属度函
22、数为等腰三角形，或铃形函数，即正态分布函数：,2、将论域范围内的输入量进行模糊处理：用模糊集合表示。,2023/7/1,69,三、清晰化,其中z0表示清晰值。若输出量的隶属度函数有多个极值，则取这些即值的平均值为清晰值。,1、将模糊的控制量经清晰化变换成论域范围内的清晰量,最大隶属度法：,若输出量模糊集合C的隶属度函数只有一个峰值，则取隶属度函数的最大值为清晰值，即：,中位数法：,2023/7/1,70,加权平均法：也称重心法,取 的加权平均值为z的清晰值，即：,2023/7/1,71,变换的方法可以是线性的，也可以是非线性的。若z的变化范围为zmin，zmax，实际控制量的变化范围为umin
23、，umax，采用线性变换，则：,其中 k 称为比例因子。,2、将表示在论域范围内的清晰量经尺度变换成实际的控制量,2023/7/1,72,四、输入和输出空间的模糊分割,模糊分割是要确定对于每个语言变量取值的模糊语言名称的个数，模糊分割的个数决定了模糊控制精细化的程度。,也可以为非对称和非均匀分布,语言名称通常均具有一定的含义。,NB：负大(Negative Big)；,NM：负中(Negative Medium),NS：负小(Negative Small)；,ZE：零(Zero),PS：正小(Positive Small)；,PM：正中(Positive Medium,PB：正大(Positi
24、ve Big),2023/7/1,73,模糊分割的个数也决定了最大可能的模糊规则的个数。,2023/7/1,74,五、模糊集合的隶属度函数,1、数值描述法,x0是中心值2是方差,对于论域为离散，且元素个数为有限时，模糊集合的隶属度函数可以用向量或者表格的形式来表示。,2、函数描述法,最常见的有铃形函数、三角形函数、梯形函数。,2023/7/1,75,六、论域为离散时模糊控制的离线计算,当论域为离散时，经过量化后的输入量的个数是有限的，因此可以针对输入情况的不同组合离线计算出相应的控制量，从而组成一张控制表，实际控制时只要直接查这张控制表即可，在线的运算量是很少的。,相当于非线性的PD控制,k1
25、，k2，k3：尺度变换的比例因子。,2023/7/1,76,设e，和u的变换范围分别为：,并设x，y，z的论域分别为：,则：,设：,量化的功能是将比例变换后的连续值经四舍五入变为整数值。,2023/7/1,77,语言变量x的隶属度函数,2023/7/1,78,语言变量y,z的隶属度函数,2023/7/1,79,模糊控制规则表,2023/7/1,80,设已知输入为x0和y0，模糊化运算采用单点模糊集合，则相应的输入量模糊集合A和B分别为：,采用Mamdani法进行推理，则：,2023/7/1,81,设x0=6，y0=6,2023/7/1,82,2023/7/1,83,按同样的方法可求出,，并最终求得：,对所求得的输出量模糊集合进行清晰化计算，采用加权平均法：,按同样的步骤，可以计算出当x0，y0为其它组合时的输出量z0。,最后可列如下控制表。,2023/7/1,84,2023/7/1,85,
