1、2014年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）设全集U=xN|x2，集合A=xN|x25，则UA=（）AB2C5D2，52（5分）已知i是虚数单位，a，bR，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A90cm2B129cm2C132cm2D138cm24（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位5（5分）
2、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A45B60C120D2106（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c且0f（1）=f（2）=f（3）3，则（）Ac3B3c6C6c9Dc97（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象可能是（）ABCD8（5分）记maxx，y=，minx，y=，设，为平面向量，则（）Amin|+|，|min|，|Bmin|+|，|min|，|Cmax|+|2，|2|2+|2Dmax|+|2，|2|2+|29（5分）已知甲盒中仅有1
3、个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m3，n3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）则（）Ap1p2，E（1）E（2）Bp1p2，E（1）E（2）Cp1p2，E（1）E（2）Dp1p2，E（1）E（2）10（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（xx2），i=0，1，2，99记Ik=|fk（a1）fk（a0）|+|fk（a2）fk（a1）丨+|fk（a99）fk（a98）|，k=1，2，3，则（）AI1I2I3BI2I1I3CI1I3I2
4、DI3I2I1二、填空题11（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 12（4分）随机变量的取值为0，1，2，若P（=0）=，E（）=1，则D（）= 13（4分）当实数x，y满足时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是 14（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）15（4分）设函数f（x）=，若f（f（a）2，则实数a的取值范围是 16（4分）设直线x3y+m=0（m0）与双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A，B若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的
5、离心率是 17（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB=15m，AC=25m，BCM=30，则tan的最大值是 （仰角为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求ABC的面积19（14分）已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=
6、6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn （i）求Sn； （ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn20（15分）如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDE=BED=90，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=（）证明：DE平面ACD；（）求二面角BADE的大小21（15分）如图，设椭圆C：（ab0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限（）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab22（14分）已知函数f（x）=x3+3|xa|（aR）（）若
7、f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）m（a）；（）设bR，若f（x）+b24对x1，1恒成立，求3a+b的取值范围2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）设全集U=xN|x2，集合A=xN|x25，则UA=（）AB2C5D2，5【考点】1F：补集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】先化简集合A，结合全集，求得UA【解答】解：全集U=xN|x2，集合A=xN|x25=xN|x3，则UA=2，故选：B【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题2（5分）已知i是虚数单位，a，
8、bR，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；A1：虚数单位i、复数菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=1”，故“a=b=
9、1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题3（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A90cm2B129cm2C132cm2D138cm2【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四
10、棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，几何体的表面积S=246+36+33+234+234+（4+5）3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键4（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】57：三角函数
11、的图像与性质【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y=的图象故选：C【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查5（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A45B60C120D210【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0
12、y3，项的系数，求和即可【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120故选：C【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力6（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c且0f（1）=f（2）=f（3）3，则（）Ac3B3c6C6c9Dc9【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【
13、分析】由f（1）=f（2）=f（3）列出方程组求出a，b，代入0f（1）3，即可求出c的范围【解答】解：由f（1）=f（2）=f（3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0f（1）3，得01+611+c3，即6c9，故选：C【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题7（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象可能是（）ABCD【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0a1时和当a1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax
14、的图象，比照后可得答案【解答】解：当0a1时，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象为：此时答案D满足要求，当a1时，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键8（5分）记maxx，y=，minx，y=，设，为平面向量，则（）Amin|+|，|min|，|Bmin|+|，|min|，|Cmax|+|2，|2|2+|2Dmax|+|2，|2|2+|2【考点】98：向量的加法；99：向量的减法菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析
15、】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断【解答】解：对于选项A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min|+|，|=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max|+|2，|2=|+|2=4，而不等式右边=|2+|2=2，故C不成立，D选项正确故选：D【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，
16、也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法9（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m3，n3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）则（）Ap1p2，E（1）E（2）Bp1p2，E（1）E（2）Cp1p2，E（1）E（2）Dp1p2，E（1）E（2）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网
17、版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（1），E（2）进行比较即可【解答】解析：，所以P1P2；由已知1的取值为1、2，2的取值为1、2、3，所以，=，E（1）E（2）=故选：A【点评】正确理解i（i=1，2）的含义是解决本题的关键此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解10（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x
18、x2），i=0，1，2，99记Ik=|fk（a1）fk（a0）|+|fk（a2）fk（a1）丨+|fk（a99）fk（a98）|，k=1，2，3，则（）AI1I2I3BI2I1I3CI1I3I2DI3I2I1【考点】57：函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据记Ik=|fk（a1）fk（a0）|+|fk（a2）fk（a1）丨+|fk（a99）fk（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故=1，由，故=1，+=，故I2I1I3，故选：B【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题二、填空题11
19、（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6【考点】E7：循环结构；EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S50，跳出循环体，确定输出的i的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=21+2=4，i=3；第三次循环S=24+3=11，i=4；第四次循环S=211+4=26，i=5；第五次循环S=226+5=57，i=6，满足条件S50，跳出循环体，输出i=6故答案为：6【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法12（4分）随
20、机变量的取值为0，1，2，若P（=0）=，E（）=1，则D（）=【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（=1），P（=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得【解答】解析：设P（=1）=p，P（=2）=q，则由已知得p+q=，解得，所以故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式13（4分）当实数x，y满足时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，再由1ax+y4恒成立
21、，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）联立，解得B（2，1）在xy1=0中取y=0得A（1，0）要使1ax+y4恒成立，则，解得：1实数a的取值范围是解法二：令z=ax+y，当a0时，y=ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1a；当a0时，y=ax+z，在C点取得最大值，a1时，在B点取得最小值，可得，解得0a（不符合条件，舍去）1a0时，在A点取得最小值，可得，解得1a（不符合条件，舍去）综上所述即：1a；故答案为：【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，
22、考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题14（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】5O：排列组合【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种故答案为：60【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题15（4分）设函数
23、f（x）=，若f（f（a）2，则实数a的取值范围是（，【考点】5B：分段函数的应用菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a）2，可得 f（a）2，数形结合求得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=，它的图象如图所示：由 f（f（a）2，可得 f（a）2当a0时，f（a）=a2+a=（a+）22恒成立；当a0时，f（a）=a22，即a22，解得0a，则实数a的取值范围是a，故答案为：（，【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题16（4分）设直线x3y+m=0（m0）与双曲线=1（a0，b0）
24、的两条渐近线分别交于点A，B若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=3，从而可求双曲线的离心率【解答】解：双曲线（a0，b0）的两条渐近线方程为y=x，则与直线x3y+m=0联立，可得A（，），B（，），AB中点坐标为（，），点P（m，0）满足|PA|=|PB|，=3，a=2b，=b，e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题17（4分）如图
25、，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB=15m，AC=25m，BCM=30，则tan的最大值是（仰角为直线AP与平面ABC所成角）【考点】HO：三角函数模型的应用；HU：解三角形菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】过P作PPBC，交BC于P，连接AP，则tan=，求出PP，AP，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论【解答】解：AB=15m，AC=25m，ABC=90，BC=20m，过P作PPBC，交BC于P，连接AP，则tan=，设BP=x，
26、则CP=20x，由BCM=30，得PP=CPtan30=（20x），在直角ABP中，AP=，tan=，令y=，则函数在x0，20单调递减，x=0时，取得最大值为=若P在CB的延长线上，PP=CPtan30=（20+x），在直角ABP中，AP=，tan=，令y=，则y=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题18（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求ABC的
27、面积【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由ab得，AB，又A+B（0，），可得，即可得出（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由题意得，化为，由ab得，AB，又A+B（0，），得，即，；（2）由，利用正弦定理可得，得，由ac，得AC，从而，故，【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn （i）求Sn； （ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式
