1、近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题2一、 （2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分）1、 设A与B都是非空集合，那么 A B xx A且x B。 （）2、 设A、B、D都是非空集合，则 A B到D的每个映射都叫作二元运算。 （）3、 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1。 （）4、 如果循环群 G a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。 （）5、 如果群G的子群H是循环群，那么 G也是循环群。 （）6、 近世代数中，群 G的子群H是不变子群的充要条件为 g G, h H;g 1Hg H。（）7
2、、 如果环R的阶 2，那么R的单位元1 0。 （）8若环R满足左消去律，那么 R必定没有右零因子。 （）9、 F（x）中满足条件p（ ） 0的多项式叫做元 在域F上的极小多项式。 （）10、 若域E的特征是无限大，那么 E含有一个与 Z?p同构的子域，这里 Z是整数环， p是由素数p生成的主理想。 （）二、 （2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1分，共10分）1、设A,阳 ,An和D都是非空集合，而f是A1 A2 An到D的一个映射，那么（ ）集合A|, A2 , , An , D中
3、两两都不相同； A1 , A2 , , An的次序不能调换；A1 A2 An中不同的元对应的象必不相同；一个元 a1,a2, , an的象可以不唯一。2、 指出下列那些运算是二元运算（ ）a K t 在整数集Z上，a b -； 在有理数集Q上，a b . |ab ；ab在正实数集 R上，a b a In b；在集合 n Zn 0上，a b a b。3、 设 是整数集Z上的二元运算，其中 a b max a,b （即取a与b中的最大者），那么在Z中（）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、 设G,为群，其中G是实数集，而乘法 :a b a b k，这里k为G中固定的常数。那
4、么群 G,中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）0和 x ； 1和0； k和x 2k ； k和（x 2k）。5、 设a,b, c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1，-cx xac，那么x （） bc 1a 1 ； c 1a 1 ； a 1bc 1 ； b 1ca 。6、 设H是群G的子群，且G有左陪集分类 H , aH，-H ,cH。如果6,那么G的阶G （）6； 24； 10 ； 12。7、 设f ：G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）f的同态核是G1的不变子群； G2的不变子群的逆象是 G1的不变子群；G1的子群的象是G2的子群； G1的不变子群的象是 G2的不变子群
5、。8设f :尺 R2是环同态满射，f（a） b，那么下列错误的结论为（ ）若a是零元，则b是零元； 若a是单位元，则b是单位元；若a不是零因子，则b不是零因子；若 r2是不交换的，则 R1不交换。9、 下列正确的命题是（ ）欧氏环一定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环； 唯一分解环必是欧氏环。10、 若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ）1E: I E: I I : F ； F:E I :F E : I ； l:F E:F F : I ； E : F E: I I : F。三、（2011年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者
6、，该空无分。每空 1分,共10分）1、 设集合 A 1,0,1 ; B 1,2，则有 B A 。2、 如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1 f a 。3、 设集合A有一个分类，其中 A与Aj是A的两个类，如果 Ai Aj，那么Ai Aj 。4、 设群G中元素a的阶为m，如果an e ,那么m与n存在整除关系为 。5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6、 给出一个5-循环置换 (31425)，那么 1 。7、 若I是有单位元的环 R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。8若R是一个有单位元的交换环， I是R的一个理想，那么 R是一个域当且仅当I是_。9、 整环I
7、的一个元p叫做一个素元，如果 。10、 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。四、(2011年近世代数)改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出 错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分)1、如果一个集合 A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在 a1 a2 an里，元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 成立。3、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么 S 0。4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若 d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d d。5、 叫做域F的一个代
8、数元，如果存在 F的都不等于零的元 a0,a1, ,an使得a0 a1 an n 0。五、(2011年近世代数)计算题(共15分，每小题分标在小题后)1、给出下列四个四兀置换1 2 3 4 1 23 41 2 3412 341 , 21 2 3 4 1 24 3 ,3 2 1 344 21 43组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及111 1,2,3,14和G的所有子群。2、设 Z6 0, 1, 2, 3, 4, 5是模6的剩余类环，且f (x),g(x)Z6 x3。如果 f (x) 3 x 5 x 2、g(x) 4 x2 5 x 3，计算 f(x) g(x)、f (x) g(x
9、)和 f(x)g(x)以及它们的次数。3、群G=(a),|a|=7 ，求出群G的所有子群。、(近世代数)判断题123456789 10x x V V x V V V x x二、 （近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10三、 （近世代数）填空题1、 1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1。 2、a。 3、 。 4、mn。 5、变换群。6、13524。 7、xiayi, ,yi R。 8、一个最大理想。 9、p既不是零元，也不是单位，且 q只有平凡因子。 10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、（近世代数）改错题1、 如果一个集合 A的代数运
10、算 同时适合消去律和分配律，那么在 a1 a2 an里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G作成一个群，如果满足 G对于乘法封闭；结合律成立、交换律 成立。消去律成立3 I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么 S 0。S=I 或 S=R4、 唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若 d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d=d。一定有最大公因子；d和d 只能差一个单位因子5、 叫做域F的一个代数元，如果存在 F的都不等于零的元 a0,a1, ,an使得a0 a1 an n 0。不都等于零的元近世代数模拟试题一一、
11、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、 设A= B= R（实数集），如果 A到B的映射 ：XTx+ 2, x R,贝U 是从A到B的（ ）A、满射而非单射 B单射而非满射C 一一映射 D既非单射也非满射2、 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AX B中含有（ ）个元素。A、 2 B、 5 C、 7 D、 103、 在群G中方程ax=b , ya=b, a,b G都有解，这个解是（ ）乘法来说A、不是唯一 B 、唯一的 C、不一定唯一的 D、
12、相同的（两方程解一样）4、 当G为有限群，子群 H所含元的个数与任一左陪集 aH所含元的个数（ ）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、 设集合 A 1,0,1 ; B 1,2 ,则有 B A 。2、 若有元素 e R使每a A,都有ae=ea=a，则e称为环R的 。3、 环的乘法一般不交换。如果环 R的乘法交换，则称 R是一个 。4、 偶数环是 的子环。5、 一个集合 A的若干个-变换的乘法作成的群叫做
13、 A的一个 。6、 每一个有限群都有与一个置换群 。7、 全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 -,元a的逆元是 。&设I和S是环R的理想且丨S R，如果I是R的最大理想，那么 。9、一个除环的中心是一个 。三、 解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合 Mm 0,1,2, ,m 1,m（m ，定义 Mm 中运算“ m ”为 a mb=（a+b）（modm）,则（M m, m ） 是不是群，为什么？四、证明题（本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）21、 设
14、G是群。证明：如果对任意的 x G，有x e，则G是交换群。2、 假定R是一个有两个以上的元的环， F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。A3a b 、 a,e c 、 e, a3D 、 e,a,a2、下面的代数系统（G, * ）中，(）不是群AG为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法CG为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N上，下
15、列哪种运算是可结合的？（)A、a*b=a-b B a*b=maxa,b C、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|5、任意一个具有A、不可能是群2个或以上元的半群，它（B、不一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。2、 一个有单位元的无零因子-称为整环。43、 已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于-4、 a的阶若是一个有限整数 n,那么G与 同构。5、 A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AA B=-。6、 若映射 既是单射又是满射，则称 为 9、 有限群的
16、另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 10、 一个环R对于加法来作成一个循环群，则 P是 o三、 解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）1、 设集合A=1,2,3G 是A上的置换群，H是G的子群，H=l,（1 2），写出H的所有陪集。2、 设E是所有偶数做成的集合，“ ？ ”是数的乘法，则“ ？ ”是E中的运算，（E, ?）是一个代数系统，问（E, ?） 是不是群，为什么？3、 a=493, b=391, 求（a,b）, a,b 和 p, q。四、 证明题（本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、 若G, *是
17、群，则对于任意的 a、b G,必有惟一的x G使得a*x = bo2、 设m是一个正整数，利用 m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m| a - bo近世代数模拟试题三一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、 6阶有限群的任何子群一定不是（ ）oA 2阶 B、3阶 C、4阶 D、6阶2、 设G是群，G有（）个元素，则不能肯定 G是交换群。A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）oA、偶数 B奇数 C、4的倍数 D
18、、2的正整数次幕4、 下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、（N, ） B 、（乙）C （2,3,4,6,12,| （整除关系） D （P（A）, ）5、 设S3= （1） , （12） , （13） , （23） , （123） , （132），那么，在 S3中可以与（123）交换的所有元素有（ ）A （1） , （123） , （132） B 、12） , （13） , （23）C （1） , （123） D 、S3中的所有元素二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。3、4、5、6、7、
19、8如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 区间1，2上的运算a b min a,b的单位元是-可换群 G 中 |a|=6,|x|=8, 则 |ax|= 环Z8的零因子有 9、1、一个子群H的右、左陪集的个数 从同构的观点，每个群只能同构于他 /它自己的 无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为 R的-小 n设群G中元素a的阶为m，如果a e，那么m与n存在整除关系为 、解答题(本大题共 3小题，每小题10分，共30分)用2种颜色的珠子做成有 5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、Si, S2是A的子环，则 sn S2也是子环。S1+S2也是子环吗?3、设有置换(1345)(1
20、245)， (234)(456) Se 1.2.1和 的奇偶性。确定置换四、证明题(本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25 分) 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明 b=a-1的充分必要条件是 aba=a和ab2a=e近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选 均无分。1设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A X B中含有(A.2 B.5C.7 D.102设A = B = R(实数集)，
21、如果A到B的映射:xtx+ 2， x R，)个元素。贝U是从A到B的(A.满射而非单射 B.单射而非满射C. 一一映射 D.既非单射也非满射3. 设S3 = (1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3中可以与(123)交换的所有元素有(A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么， Z15的子群共有(A.2 B.4C.6 D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是( )A.整系数多项式全体 Z : x关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全
22、体 Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”： m，D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”： m，二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6. 设“”是集合 A的一个关系，如果“”满足 )个。n Z, n Z,m n= 0m n= 1，则称“”是 A的一个等价关系。17. 设(G，)是一个群，那么，对于 a， b G，则ab G也是G中的可逆元，而且(ab)8. 设(23)(35)，t= (1243)(235) S5,那么(tt= (表示成若干个没有公共数字的循环置换之积9. 如果G是一个含有1
23、5个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于 a G，则元素a的阶只可能是_10.在3次对称群S3中，设H = (1)，(123)，(132)是S3的一个不变子群，则商群 G/H中的元素(12)H = _11设Z6= : 0: , : 1 :, : 2, : 3 , : 4, : 5 是以6为模的剩余类环，则 Z6中的所有零因子是 12.设R是一个无零因子的环，其特征 n是一个有限数，那么，n是 。13.设Z : x 是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成的主理想，则（x）= O14.设高斯整数环Z :i= a + bi|a, b Z，其中i2=- 1，贝V Z i中的所有单位是 1
24、5.有理数域Q上的代数元 屈+活 在Q上的极小多项式是 。三、解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）16. 设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群， 是Z到Zm的一个映射，其中:kf k , k Z,验证：是Z到Zm的一个冋态满射，并求 的冋态核Ker 。17.求以6为模的剩余类环 Z6= : 0, : 1, : 2 , : 3 , : 4 , : 5 的所有子环，并说明这些子环都是 Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共 3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G
25、 = a , b, c, G的代数运算”由右边的运算表给出，证明： （G,）作成一个群。abcaabcbbcaccab20.设a 0a, c Z ,c 0I是R的一个子环，但不是理想。a bR * a,b,c,d Z , Ic d已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：21.设（R,+,）是一个环，如果（R, + ）是一个循环群，证明： R是一个交换环。近世代数模拟试题一 参考答案一、 单项选择题。1、C; 2、D; 3、B; 4、C; 5、D;二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。1、 11 11 1,0 1 1,1 2, 1 1 2,0 1 2,1 ; 2、单位元；3、
26、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ; 8、S=I 或 S=R ; 9、域；三、解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换， 为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B2(A1A) C (A A)2、解：设A是任意方阵，令2, 2 ，则B是对称矩阵，而 C是反对称矩阵，且 A B C。若令有A B1 C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 B B1 C1 C，而等式左边是对称矩阵
27、，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即：B B1 , C C1，所以，表示法唯一。3、答：（Mm , m）不是群，因为 Mm中有两个不同的单位元素 0和四、证明题（本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）2 1 11 2 11、 对于G中任意元x, y,由于（xy） e，所以xy （xy） y x yx （对每个,从x e可得x x ）2、 证明在F里1 1 aab b a （a,b R,b 0）Q显然是R的一个商域 证毕。近世代数模拟试题二 参考答案一、 单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C; 2、D; 3、B; 4、B; 5、A;二、 填空题
28、(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25; 4、模n乘余类加群；5、2 ; 6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、 解答题(本大题共 3小题，每小题10分，共30分)1、 解：H 的 3 个右陪集为：1,(1 2) ，(1 2 3 ) ，(1 3) ，(1 3 2 ) ，(2 3 )H 的 3 个左陪集为：1,(1 2) ，(1 2 3 ) ，(2 3) ，(1 3 2 ) ，(1 3 )2、 答：(E, ?)不是群，因为(E, ?)中无单位元。3、 解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3X 102+
29、85102=1X 85+17由此得到(a,b)=17, a,b=a X b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3 X 102)=4 X 102-b=4 X (a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、 证明题(本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、 证明 设 e 是群 的幺元。令 x= a 1*b，贝U a*x = a*(a 1*b) = (a*a 1)*b = e*b = b。所以，x= a 1*b 是 a*x =b的解。若 x G也是 a*x = b 的解，贝U x = e*x = (a 1*a)*x = a 1*(a*x ) = a 1*b = x。所以，x = a 1*b 是 a*x = b 的惟一 解。2、 容易证明这样的关系是 Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合 Z记为Zm每个整数a所在的等价类记为a= x Z; m| x - a或者也可记为 a,称之为模 m剩余类。若 m | a - b也记为a= b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题三 参考答案一、 单项选择题(本大
