1、定积分的概念和性质公式1.曲边梯形的面积设在区间*I上：；-L ,则由直线工=、応匚、V 1及曲线 V /W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积007-1分割求近似：在区间-八中任意插入若干个分点将 宀-分成 n个小区间兀5 5 ，小区间的长度 &广呜一為（t三12在每个小区间- ：-一 I上任取一点-作乘积求和取极限：则面积取极限J=1其中；1 ； J L厂V ，即小区间长度最大者趋于零。2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度 | I是上*的连续函数，且1 求在这段时间内物体所经过的路程。分割求近似：在内插入若干分点 - _ 将其分成n 个小区间 ，小区间长度 -
2、_ .-1, 1丄。任取 _ _做求和取极限：则路程 一 取极限定义设函数、在L二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点将分成 n个小区间-，其长度为 2 - ，在每个小区间上任取一点 :，作乘积- ，并求和 r ，记 1 r 1 ，如果不论对怎样分法，也不论小区间 : 上的点怎样取法，只要当 I;时，和 总趋于确定的极限，则称这个极限为函数-I在区间上的定积分，记作 J ，即其中叫被积函数，一，八叫被积表达式，叫积分变量，二叫积分下限, 叫积分上限，-叫积分区间。叫积分和式。说明：1.如果（*）式右边极限存在，称-在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间上-可积，（1）在区间-LL - - 上连续
3、，则 J-在可积。（2） -八 在区间-丄-上有界且只有有限个间断点，则 在- 上可积。2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所3.在-上一，时，j 表示曲线、两条直线= - =:与T轴所围成的曲边梯形的面积；在1上 I时，V表示曲线，一、两条直线、-L 与工轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在 k轴的下方）；S7-2例1利用定积分的几何意义写出下列积分值(1)12 （三角形面积） （2）妇評（半圆面积）yiy|设- 可积性质1 J/土畧（胡必=f如 畑賈性质2 J灯（力缶=斤/（对乂性质3（定积分对区间的可加性） 对任何三个不同的数,有性质5如果在区间
4、上，则J推论性质6 (定积分的估值) 设 M及 m分别是函数在区间一上的最大 值及最小值，则a) i /(x)必 a)性质7 (定积分中值定理)如果函数一、八在区间-上连续，则在 圖上至少有一点 ：，使 C .成立17-7例2比较下面两个积分的大小在(0, 1 )内，- 一-单调增当 兀0时，有 =6 2/(0) = 0，即尹 m2-的值&、令1 ,得由性质5,例3估计积分J1解 只需求出在区间-上的最大值、最小值即可。设 7(0)-L/-所以，在区间- 1上枳分上限询超哉乱其导銘由性质6, 1；/ 一定存在,设丿丿在区间-，! 上连续， - ，则定积分当T在-一上变动时，它构成了一个 T的函
5、数，称为,的变上限积分函数,记作,-即S 工2?)yi定理 如果函数在区间- - 上连续，则积分上限的函数-上具有导数，且导数是 -，即di = /(x)说明:1.由原函数的定义知，T -是连续函数 的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。2.当积分上限的函数是复合函数时，有更一般的有订十例1=-f sm idl 兀)=i( f 血站=-，则: 中(开)=血曲=g(xa) = = JT3) g(w) = f 血皿禮二生，色=啦0(2工)二2玄鈕H则哎=sin xa -2r dx du dx dr=f血滅=sin tdt +sin tdt ,； ，则: E =泄加丫 斗【I汕=
6、伽 兀)2耳- (sii 2忑 (2); = Szsiii F - 2 sin=(5)设此题中疋为函数的自变量,f为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式由求导法则d2 1 p x sinf r dtd=戌rJ I + cos2 t且X空s inf dr1 + cos t(6)sin I ,ISxsin 7=0 (因定积分的结果为一常数，故导数为零)(7)所确定的函数，求解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有例5+顿求-例2设f G 迪 lim血斗一 例4求 .lim 虑严 =lirn gm =-r3 5 2x 2定理（牛顿一一莱公式）如果函数 是连续函数川在区间亠二上的一个原函数，则f
7、/乂 73） - 誉样俐:例3设/（X）为连续函数，（1）若lim f fdt(2)亠”*xf此公式表明：一个连续函数在区间 b-上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。解这是11型不定式，用罗必塔法则義窃尼塗仝扎f arcig/3 - a 吃临(_1)解原式解原式订- - 一卜/0八1解利用定积分的可加性分段积分，I解被积函数是分段函数，分段点1】在积分区间-内,-天 - 1)|z(2x-l)| = *x(2x- 1),+3T- 251D SC05 点Jl sin解原式注意:=忆（刈是分段函数T J*（GGS 2； - SUl 不）必 + J2（sm C5S 忑）dx=sin cos x q -cos x+ sin
