1、1.2.1 任意角的三角函数,1.复习引入,我们已经学习过锐角的三角函数，如图：,你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的距离是_过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为_线段MP的长度为_,2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数,将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆,3.利用单位圆定义任意角的三角函数,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),(1)y叫做的正弦,记作sin,即 sin=y(2)x叫做
2、的余弦,记作cos,即 cos=x,(3)叫做正切,记作tan,即,4.三角函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系,三角函数可以看成自变量为实数的函数,解:在直角坐标系中,作出,5.典型例题,练,例2 已知角的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值,解:,设角的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则,知道终边上任意一点P(x,y),就可以求出角的三角函数值.,练,6.三角函数的定义域,R,R,根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号
3、,-,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,口诀：一全正 二正弦 三正切 四余弦,例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三角限角,证明:如果式都成立,那么为第三象限角.若sin0,那么角的终边可能位于第一或第三象限.因为式都成立,所以角的终边只能位于第三象限.于是为第三象限角,可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2(或0至360)角的三角函数值.,7.终边相同的角的同一种三角函数值相等,角终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现,例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:,解:(1)因为250是第_象限角,所以cos250 0(2)因为 是第_象限角,所以(3)因为tan(
4、-670)=tan(48-2360)=tan48而48是第一象限角,所以 tan(-672)0(4)因为tan3=tan(+2)=tan=0,三,四,练,例5 求下列三角函数值,练习1.,D,练习2.,B,练习3.,C,1.下面从图形角度认识一下三角函数,角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.,|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|,思考,(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?,|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|,当角的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线
5、段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cos 当角的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sin,(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角的正切吗?,思考,过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边或其反向延长线相交于点T.,这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线,当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一
6、个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的正切值不存在.,例题,求证：当为锐角时，,1.任意角的三角函数的定义。,2.明确各种三角函数的定义域。,3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况.,小结,单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆。三角函数线：用有向线段的数量来表示。,规律：三角函数线是有向线段的数量，要分清起点、终点。1）凡含原点的线段，均以原点为起点；2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线）与过A的圆的切线的交点,作业,课本第20页习题1.2A组 2,5,7,练习,利用三角函数的定义求 的三个三角函数值,解:如图 与单位圆的交点为,返,练习,已知角的终边过点P(-12,5),求角的三角函数值,解:,返,口答:设是三角形的一个内角,在sin,cos,tan,tan(/2)那些可能取负值?,确定下列三角函数值的符号,0,练习,返,tan196o0,填表:,A B C D,反馈训练,（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）,（3）若角的终边过点，且，,（2）若，都有意义，则,则,
