1、中考数学复习中应注意的几个问题中考数学复习中应注意的几个问题顺平县文教局教研室 郑泉水中考数学复习是对初中三年所学的知识做一个全面、系统的梳理，并在此基础上深化对原有知识的理解，提高解题的能力，即达到中考复习的总体目标“系统、巩固、深化、提高”。因此，中考复习决不能只是知识点的简单罗列与重复，而必须明确方向，抓住重点，理清关系，明了规律，把握方法，提升能力。下面就中考数学复习中应注意的几个问题谈几点粗浅的看法，供参考。一、关于抓主干知识问题案例1 复习“整式及其运算”师：我们先回忆整式中有哪些基本概念？板书1：单项式：（学生回答）师：谁能举个例子？生1：2a. 生2：5a. 生3：4a. 生4
2、：10a. 生5：.板书2：代数式：（学生未能回答出来，教师给出）用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子.师：谁能举个例子？生1：. 生2：4x+6. 生3：4x. 生4：1.师：单独一个数或字母也是代数式。板书3：多项式（学生回答）师：谁能举个例子？生1：2a+3b. 生2：2a+3. 生3：.板书4：单项式的系数、次数（学生回答、举例）板书4：多项式的次数（学生回答、举例）评析：这些知识显然称不上“主干知识”，充其量也就是“毛刺”， 这些“毛刺”的东西占据了课堂的大部分时间，复习效率可想而知；退一步讲，就算是主干知识，但这种复习也仅仅是一些知识点的简单罗列与再现，根本谈不上深化与提高；
3、这种既抓不住“主干知识”、又谈不上深化知识的复习，实际上是在白白浪费学生的宝贵时间！河北省中考试题明确规定：重点考查代数式的运算、方程、不等式、函数、统计与概率、三角形和四边形等学科核心主干内容及数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化思想、统计意识、随机思想、待定系数法、换元法等因此，在复习时我们必须做到心中有数，切不可主次不分，眉毛胡子一把抓。更有甚者，少数教师总认为给学生补充的知识越多越好，作起题来会更快，于是乎，立方和、差公式，射影定理，正弦定理，都成为补充的对象。评析：教师的愿望是好的，但不能违背教学规律和学生的认知规律，不能无谓增加学生的负担；这种做法既达不到预期的目的，甚
4、至事与愿违，更与抓 “主干知识”不沾边！二、关于对知识与方法的深化理解问题案例2 复习“实数的有关概念”师：什么叫相反数？你是怎样理解的？生1：相加为0的两个数叫互为相反数. 生2：只有符号不同的两个数叫互为相反数.（教师补充：0的相反数是0） 生3：在数轴上，训练题：1.水位上升3米与水位下降2米，其中的两个数是相反数吗？2.与互为相反数吗？3.若a的相反数是，则a=？4.在数轴上，到原点的距离为3的点表示的数是 ；5.若a，b互为相反数，则6.若一个数的平方根为a3，2a+3，则这个数为 。评析：教师引导学生从不同的角度对相反数的概念进行定义，有助于学生对“相反数”这一重要概念的深化理解，
5、同时也调动了学生自主学习的积极性；训练题1，2是对学生的一种反面训练，旨在消除学生可能存在的模糊认识；训练题3是一种逆向思维的训练，旨在训练学生对知识的全面理解；训练题4是从“数形结合”的角度理解相反数；训练题5，6则是与其它知识相结合的一种综合运用；通过这样的训练有助于提高学生的解题能力。案例3 “分类思想”专题复习题组1.已知,且0，则+=？已知（2，a），（3，b）是直线y=kx+5上的点，试比较a，b的大小。若是完全平方式，则=?一水果经销商计划将一批苹果从我市运往某地销售，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中平均速度单位：千米/时途中平均费用
6、单位：元/千米装卸费用单位：元汽车7581000火车1006米2000设我市到某地的路程为x千米，这批水果在途中的损耗为150元/时，若选用汽车运输，其总费用为y1元，若选用火车运输，其总费用为y2元。（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式：（2）请你为水果经销商设计较省钱的运输方案。问题：上述题组具有怎样的共同特征？题组2. 已知等腰三角形的一个角是80，则另两个角的度数是多少？已知直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长是多少？已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则其腰长为 。（江苏2000）问题：上述题组具有怎样的共同特征？题组3. 已知等腰三角形一腰上的高等
7、于腰长的一半，求顶角的度数。在半径为5cm的圆中有两条长分别为6cm和8cm的平行弦，则它们之间的距离为 。如图1，在106的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），A的半径为1，B的半径为2，要使A与静止的B内切，那么A由图示位置需向右平移 个单位长（河北07）若直线y=kx+b经过点（0，4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，试确定直线的解析式。问题：上述题组具有怎样的共同特征？题组4. 如图2，RtABC中，AC=6cm，CB=8cm，点P从C出发，沿CB、BA到A（不与A重合），速度为1cm/s，设运动时间为t秒。求ACP的面积S与t之间的函数关系。已知：如图3，梯形ABCD
8、中，ADBC，AB=DC=6cm，ABC=60，BDDC，点P以2cm/s的速度从B到C，点Q以1cm/s的速度从C到D，设P、Q同时出发，运动时间为t秒（t0）.(1) t为何值时，PCQ与BCD相似？(2) t为何值时，OPC为等腰三角形？问题：上述题组具有怎样的共同特征？通过上述几组题目，你对“分类思想”有了怎样进一步的认识？与同学交流你的想法。评析：上述每组题目都有一个由浅入深的难度循环，且每组题目都具有共同的特征，这样，即照顾了大多数学生，又能培养学生的归纳总结的能力；通过上述几组题目的思考、讨论、交流，相信学生对“分类思想”会有更加深刻的理解。三、关于总结规律问题案例4 由抛物线的
9、位置确定一次项系数b的符号，有的教师总结出如下的规律让学生记忆：轴左a正b为正，轴左a负b为负；轴右a正b为负，轴右a负 b为正。案例5 由k，b的符号确定直线y=kx+b的位置，有的教师总结出如下的规律让学生记忆：当a0，b=0时，直线y=kx+b在一、三象限；当a0，b=0时，直线y=kx+b在二、四象限；当a0，b0时，直线y=kx+b在一、二、三象限；当a0，b0时，直线y=kx+b在一、三、四象限；当a0，b0时，直线y=kx+b在一、二、四象限；当a0，b0时，直线y=kx+b在一、三、四象限。更有教师将上述规律总结成顺口溜（杜郎口中学）：直线升降是重点，频频亮相到处见，何方神圣决
10、定它，系数k,b不等闲，k的取值大于0，左低右高向上升，k的取值小于0，左高右低向下冲，b的作用也明显，y轴交点它主管，正交正来负交负，b为0时在原点，要想性质掌握好，函数口诀须记牢。评析：总结规律的目的是便于学生记忆与掌握规律，并运用规律解决问题。但如果总结的规律很复杂，学生掌握起来很困难，岂不事与愿违？事实证明多数学生无法掌握上述规律，甚至一些成绩很不错的学生也反映：常常将符号记错，将象限记错！我们不能责怪学生！只能怪我们未能认识学生的认知规律。做任何事情，我们不能凭想当然，不要以为有好的愿望就会有好的结果，而必须要了解学生，符合学生实际，否则，达不到预期效果，甚至走向反面。我们不能不记取
11、上述教训！那么，总结规律应遵循怎样的原则呢？我自以为下列原则是值得考虑的：1. 简洁性（便于学生记忆与掌握）2. 必要性（针对重点与难点知识，不要到处总结规律）3. 一般性（即适用范围要广，适用范围窄的规律不总结也罢）4. 科学性（即不能出现科学性错误）案例6 对于等腰直角三角形斜边与直角边的关系，有的教师总希望学生记住以下规律：斜边等于直角边的倍，直角边等于斜边的倍。评析：教师是希望学生运用规律快速得到结果，但学生记忆得东西太多了就未必是好事，教学实践证明，一些中等或偏下学生常常将数据记忆混淆，造成不必要的错误！事实上，这种规律是没必要去总结的，学生只需运用所学知识就能迅速得到结果，记忆它只
12、是增加了学生的记忆负担。案例7 专题复习“与多边形面积有关的计算”题目：如图4，矩形的长和宽分别为4和3，现将矩形折叠，使A与C重合，EF为折痕，求重合（阴影）部分的面积。学生给出如下方法：设DF=GF=x,则AF=4-x,GF=x,AG=CD=3,由勾股定理，可得：,解出x,进而求得重合（阴影）部分的面积，即三角形AEF的面积。师生给予肯定后，进行下一个问题，评析：解题的目的是运用所学知识解决问题，并由此掌握解决问题的方法与策略，而不仅仅是会解这一道题。因此，通过解题进而掌握解决问题的方法与策略就显得特别重要！事实上，本题是一道典型的图形折叠问题，由此总结出解决这一类问题的方法与策略就是必要
13、的了：本题还可以运用相似形的知识求得AF的长，即我们不能满足于一种方法，要善于引导学生多角度思考问题，从而培养学生的发散思维。四、关于解题的入手点问题例1在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和y=bx+a（其中ab0，ab，a+b0）的图象可能为（ ）解析：本题若按常规的方法是无法确定正确答案的！注意到本题条件中的a+b0，而当x=1时，两个一次函数y=ax+b和y=bx+a的函数值均为a+b，即两个一次函数图象的交点为（1，a+b），由a+b0可知此交点在第一象限，故选B例2 （北京06）如图5，直角梯形ABCD中，C=45，AD=1，CD=，BECD于E。求BE=？解析：本题有C=
14、45联想到等腰直角三角形，从而可作出如图所示的两种辅助线，即：（1）作DFBC于F；（2）延长BA，CD，交于G。例3 （山东淄博06）如图6，ABC中，AB=AC=1, BAC=30，点D,E在直线BC上运动，且保持DAE=105,设BD=x，CE=y。求y与 x之间的函数关系。解析：因为y与 x分位于两个三角形中，且有DBA=ACE =105,由此猜想是否可应用相似三角形的知识找到y与 x之间的函数关系？事实上，由于DAB+CAE=10530=75，DAB+D=75，CAE=D。DABAEC。例4 （北京06）定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形。探究：当等对角线四边形中两条对角线的
15、夹角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。解析：两条等对角线的夹角为60，联想到顶角为60的等腰三角形是等边三角形，于是平移一条对角线，从而构成等边三角形（如图7），问题得以顺利解决（当然，还要考虑等腰梯形这一特殊情形）。从已知条件出发，从图形特征出发，进行充分的联想、猜想，找到解题的突破口，从而形成正确的解题思路。例4 已知：如图8，正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP，过点P作PEPB，交CD于E。过点P作MNAD，分别交AB、CD于M、N。（1）求证：BMPPNE；（2）四边形MBNE的面积是否会因P点位置的变化而改变？并说明理由。对于
16、第（1）问，学生没问题，而对于第（2）问，不少学生就不知道从哪里入手了！事实上，应该首先看四边形MBNE的面积与哪些因素有关，即：S=。然后再分析MB+NE是否发生变化。由第（1）问的结论：BMPPNE可知，MB=PN，NE=PM。 MB+NE= PN+ PM=MN。S=（定值）。即四边形MBNE的面积不会因P点位置的变化而改变。确定解决问题的方向、应用已经得到的结论，不失为一种解决问题的有效策略。五、关于学生思维的障碍点问题在我辅导学生的实践中，经常遇到学生思维“卡壳”的情形，他们不是不会，而是想不到，请看下面的例子：例1 如图9，正方形ABCD的边长为3，M是AD的中点。求阴影部分的面积。
17、面对这一问题时，学生都知道要将阴影部分的面积转化为正方形的面积减去三个三角形的面积，但当求OAM、OBC的高时，他们就“卡壳”了，不知道要用什么方法。而当你告诉他用相似形时，他就恍然大悟。为什么会出现这种情形呢？原来，学生学过的知识点有很多，当他们面对一个知识点不是很明确的问题时像点（x,x-2）位于第一象限，则x的取值范围是 ,这样的问题知识点就很明确！，他们无法在大脑中马上“搜索”到要用哪一个知识点！于是就“卡壳”了。类似的例子：如图10，直角梯形ABCD中，BC=3，AB=4，DAC=30，现将其折叠，使A、C重合，求折痕的长度。面对这一问题时，学生都知道首先要作出折痕的位置，即图中的E
18、F（EF垂直平分AC），由勾股定理求得AC=5，OA=,在RtAOE中，应用三角函数可求出OE的长，而当求OF的长时，他们就又“卡壳”了。那么，怎样避免这种情形的出现呢？我们可引导学生归纳总结几何计算常用到的知识与方法：经过这样的梳理，学生再遇到这种情形时，也许就可避免“卡壳”现象。例2 已知：如图11，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=6cm，ABC=60，BDDC，点P以2cm/s的速度从B到C，点Q以1cm/s的速度从C到D，设P、Q同时出发，运动时间为t秒（t0）.(1) t为何值时，PQBC？(2) t为何值时，OPC为等腰三角形？对于问题（1），不少学生通过看图形会产生疑惑：P
19、Q怎会与BC垂直？应该是与CD垂直吧？对于问题（2），多数学生知道要分两种情况，即：CO=CP,PO=PC。对第一种情况CO=CP，能够顺利解决，而对第二种情况PO=PC则束手无策，因为从图形中看，绞尽脑汁也不知道怎样求出PO的长。事实上，学生是受到了原图形的误导！他们忘记了原图形是不符合题意的，是需要自己画出符合题意的静态图形的。而一旦画出了符合题意的图形，问题解决起来就不那么难了。在教学中，当学生的解题出现问题时，我们仅仅教给他们怎样解、怎样更正还远远不够，还必须要了解学生出现问题的原因，找出他们思维的障碍点在哪里，这样，才可能对症下药，取得较好的效果！六、关于展示教师的思维过程问题我们的
20、学生常常有这样的疑问，教师课上分析问题时“要求（或证）什么，需要求（或证）什么，还需要求（或证）什么，”最后总能成功！可为什么当论到自己这样分析问题时却经常碰壁呢？这其中到底有怎样的奥秘呢？作为教师，我们不能不考虑学生的所思所想！我们不仅要展现解题中思维正确的一面，更有必要展现思维碰壁及转弯的一面。让学生看到教师思考问题的全过程，这对于学生来说也许更加珍贵！从而也消除学生的上述疑问及教师形成正确解题思路的神秘感，使学生更加感受到探究的乐趣。一天，我们家属院的一名初中学生问了我两道试题，下面就将我在与学生的共同探究中，展示解决问题的思维过程，特别是思维的碰壁过程、转弯过程的情形做一简要的介绍，期
21、冀能对大家的数学解题教学有所启发、有所帮助。1.按从小到大顺序排列的20个正整数的和是2210,求第5个数的最大值.分析:面对这样一道试题，开始时我也没有思路，只是试着用字母将它们表示一下：，表示完之后，就发现了解决问题的途径，要使最大，必须最小，而的最小值显然为1，2，3，4；的最小值显然是在上加上最小的数，即。这样就得到：1+2+3+4+。即，所以=130.试一试很重要，在试中也许你会有所发现，不试你就不会找到解题的思路！而我们很多同学在解题中就缺乏试的勇气，他们只是在大脑中思考，没有思路时就不动笔写写、画画，这不是探究问题、解决问题的好习惯，必须予以摒弃！试一试是形成正确解题思路的常用途
22、径！2已知：如图12，正方形ABCD中有内接四边形EFGH，其中BEG、AHF均为锐角，EG=3，FE=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积。分析：从已知条件EG=3，FH=4出发，将EG进行平移，使EG与FE位于同一个三角形中，但发现四边形EFGH的面积无法应用，此路不通！从四边形EFGH的面积为5出发，作HKEG于K，作FZEG于Z(图13).EGFZ+EGHK=5，EG=3，FZ+HK=。联想到“正方形中互相垂直的两条线段相等”这一结论，故延长FZ交AD于T。为将FZ、HK加在一起，过点H作HRFT交FT的延长线于R，则FT=EG=3，ZR=KH。即FR=.RT=FRFT
23、=。如何求得HR的长？已知中FH=4还未用！观察图形，发现：在RtFRH中，由勾股定理可求得HR=.TH=.为求得正方形的边长，需将这些已知条件及正方形的边长集中，为此过点F作FNAD于N，则RtFNTRtHRT。，从而求得FN=。正方形ABCD的面积为。七、关于训练到位问题案例8 复习不等式及其应用教师出示如下训练题：函数y=kx+b的图像如图14所示：则关于x的不等式kx+b0的解集是 。师：谁说一说自己的解题思路？生1：将（0，2）和（3，0）代入y=kx+b，解出k、b的值，然后解不等式kx+b0。师：其他同学呢？（多数同学同意这种思路）生2：从图像中可以看出不等式kx+b0的解集是x
24、3.师：比较两种方法，哪种方法更好些呢？生众：第二种方法。师：总结一下不等式的解法。评析：既然多数同学“数形结合”的意识较差，那么，仅仅靠比较一下而没有进一步的训练是不能解决问题的！事实上，我们可以马上出示几个类似的问题让学生解决：（1）关于x的不等式kx+b2的解集是 ；（3）在原图像的基础上再加入y1=mx+n（如图15），关于x的不等式kx+b mx+n的解集是 ，关于x的不等式kx+b mx+n的解集是 ，这样，“数形结合”的方法得到进一步的训练与巩固；知识和方法的掌握、能力的培养都需要训练，空洞的说教是不行的！训练需要到位，但怎样做才叫到位？是值得我们深入思考的一个问题。八、关于学生
25、的评价问题案例9（08年市中考复习研讨会课例）操作示例 （将一个三角形割补成矩形）分别过边AB，AC的中点E，F作BC边的垂线，垂足为D，G，然后将RtBDE割补到RtAKE的位置，将RtCGF割补到RtAHF的位置，这样，ABC就被割补成矩形DGHK（如图16-1）操作探究 对于任意四边形ABCD，你如何将其割补成矩形？学生开始在练习本上画，学生甲自告奋勇到黑板上去做，作法如图16-2所示，到此，该学生可能发现有误，做不下去了。此时，教师将学生甲的画图擦掉，“其他同学谁到黑板上来作？”学生乙上去并正确地割补，学生甲回到自己的座位，这里仅就教师对待学生甲的做法，谈几点感想：（1）数学课程标准明
26、确指出：对学生要多元评价，不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生的学习过程和思维过程，通过评价，帮助学生认识自我，建立自信。本案例中，学生甲的想法无疑是正确的，这从学生甲的画图中可以看出，P，E，F分别是AD，AB，DC的中点，他是想将四边形ABCD割补成三角形PGH，从而将四边形的割补问题转化成操作示例中的三角形的割补问题（但由于四边形ABCD是任意四边形，其想法无法实现），这就是学生探究过程中思维的闪光点！教师若从多元评价的角度对学生进行鼓励性评价，无疑对学生树立良好的自信心大有益处！而教师仅仅看到了学生错误的结果，未能发现其思维的闪光点，这对学生是一种无情的否定，学生会感到沮丧，这对于学
27、生的长远发展也显然是不利的！（2）教学中，教师不仅要关注预设（学生乙的作法显然是教师在备课中要求的方法预设），也要关注动态生成。本案例中，教师若能抓住学生甲的思路是正确的这一机会，引导学生探索：四边形ABCD在什么条件下，学生甲的作法是可行的？这样，不仅激发了学生的探究欲望，对学生甲来说也是一种无声的鼓励（因为发现一个问题比解决一个问题更重要，学生甲虽未发现问题，但他毕竟为我们提供了问题的素材）！事实上，通过探究可以发现：当ADBC时，学生甲的作法是可行的！若让学生去发现这一结论，既让学生享受了成功的喜悦，又使得动态目标得以达成，岂不一举两得？（3）通过（2）中的探究，不仅可以实现动态生成目标
28、，而且学生对“转化思想”的本质也会有更加深刻的体验和认识，从而也实现了预设的目标。由此可见，预设与生成不是对立的，而是相辅相成的，预设中有生成，生成中有预设。案例10 三角函数的复习题目 ABC中，A=30，C=105，AC=6。求BC=？一学生板演如下：如图17，作CDAB于D，A=30，CD=AC=3C=105，ACD=60，DCB=45B=45由勾股定理得：BC=师：他有没有错误？生众：有！师：哪里？评析：这是我们在课堂上经常见到的情形，教师只看到了学生的错误（错误的结果），而未看到学生的优点（学生思路清晰，步骤完整），其后果是学生没有成功的喜悦，有的只是沮丧，其学习的积极性也许会大打折
29、扣；我们平时总是埋怨学生学习不积极主动，而很少找自身的原因：我们给学生创设主动学习的氛围了吗？我们注意调动学生学习的积极性了吗？当然，指出学生的错误是必要的，也是必须的！但要讲究评价的艺术，比如可以这样评价：其思路清晰，步骤完整，只可惜结果错误，不然就是很完美的了！这样，即保护了学生的积极性，又让学生自己感到遗憾，今后应该汲取教训。九、关于学生的能动性问题案例11 复习不等式的应用教师出示如下的训练题：将一堆苹果分给几个孩子，若每人5个，还剩12个；若每人8个，则有一个孩子分到的苹果不足8个。问有多少个苹果？几个孩子？教师给学生几分钟的思考时间，然后到讲台上去讲解自己的解题方法。生1：设有x个
30、孩子，则有苹果（5x+12）,根据题意可得：1（5x+12）8（x1）8，解得：4x，x=5，6。（课堂上绝大多数学生都是运用这种方法，但教师并没有就此打住，而是进一步提出问题：哪位同学有不同的想法？）生2：设有x个孩子，则有苹果（5x+12）,根据题意可得：8（x1）5x+128 x。师：请你解释一下式子的含义？生2：类似的例子：试卷讲评课题目 已知：如图18，AB是O的直径，ABC=60，弦AC=6，BCD=120，则BD= .教师：你们认为哪道题最需要帮助？学生：几个学生主动到讲台上去讲解自己的解题思路：生1：由AB是O的直径，ABC=60可知A=30，ACB=90，D=30,BC=.在等腰三角形BCD中，应用三角函数就可求得 BD的长为6。生2：由已知条件可知A=ABE=30, D=DBC=30,
