1、中国古代的计算工具教材中国独特的计算工具筹算和珠算根据马来西亚的报纸报道，现在的马来西亚政府在全国的小学数学教育，采用中国的算盘为计 算工具。在美国也有一些小学，利用中国的算盘来计算，而不是用计算器。我想在这里介绍一下中国人在发明算盘之前是用什么计算工具，以及算盘产生的经过。中国在三百多万年前已有古人类活动，在云南的元谋，人们找到距今一百七十万年前的人类化 石，陕西出现八十万年前的蓝田人以及广东马坝人、湖北长阳人、广西柳江人、北京山顶洞人等旧 石器时代的古人类。大约在一万年前，我们的祖先进入新石器时代，人们过着群聚、渔猎的生活，懂得磨出石器及 制造陶器。随着以后生活及生产的需要，人们开始要计数
2、。最初我想人们是以他们的手指作为计算 工具，这是“屈指可数”这个成语的来源。（见后来人们用石子、贝壳等自然实物来协助计算。在中国古书易经的系辞里记载：“上 古结绳而治，后世圣人，易之以书契。”在四千多年前的甲骨文，有一个“数”字，左边形如一根 绳上打了许多结，上下有被栓在主绳上的细绳，而右边是一只右手，这表示古人是用结绳来计数 图一）。我们没有实物可以证明中国人结绳，可是从古代秘鲁人的遗物（图二、图三）我们是看到这样 的例子。可能结绳还不是太方便计算。在黄河、长江流域生活的祖先，利用盛产的竹子制成竹签，称为 筹码，摆成不同的形式来表示数字。我们现在的算”这个字，在古代是写成下面形状：这是很形象
3、的表示用手摆弄算筹的象形。这个字形在公元前三世纪已出现。在石头、泥坯、树木上进行刻痕划线来表达与计算数字，应该是许多民族进化过程的一种生活 活动。在西安半坡等遗址出土的六千年前的彩陶钵口沿上有一些刻划的符号和后来在甲骨文、金文 出现的“丨”、“|”、“ III ”、“| ”、“十”等数字符号相似。陶文中还有这样的符号（图五），可能是表示较大的数字。国五在台湾的少数民族排湾族，以及在云南的一些少数民族在五十多年前还在木棒上刻线表示他们 狩猎到野猪的数目。筹的起源有许多外国人以为中国古代的人是用算盘来作计数工具。事实上，在几千年前中国人为了生活 的需要利用一种独特的计算工具一一算筹。筹是一些小竹、
4、木棍。从西周直到宋元，有两千多年的时间，人们都是以筹来作计算工具。筹 也有以骨、玉、铁等材料制成。1954年考古学家在湖南省长沙左家公山发现一座距今二千一百多年前战国晚期的楚墓， 里面有一个竹筒，装有天平、法码、毛笔，以及四十根长短约 12厘米的竹筹，这是最早发现也是最古的算筹实物。到了 1978年在河南省登封出土的早期战国陶器，在上面刻有算筹记数的陶文。因此可以把使 用算筹的时间推上更远。远在人们从渔猎时代过渡到畜牧时代，为了计算他们的羊群或马群。人们用小石块或木枝来和 所畜养的动物建立一个一一对应的关系，这样方便及较准确的计算。可是有时搬迁的地方，没有太 多石块，或者携带石块来计算太过笨重
5、。于是人们想到为什么不用到处可见的竹子为材料制造帮助 计算的工具。在五千多年前古代黄河流域一带， 气候比现在温暖湿润， 竹子丛生，是大象、犀牛出没的地方。我们的祖先已会充分利用竹子建住房、作竹筏、制箭、吃竹笋、用筷子夹烤熟的肉免烫手，当然会 想到削竹片来作为计算的辅助工具。由于竹容易腐烂，不易保存几千年，因此我们看不到在殷墟出土有算筹的实物。可是那里留下 来的二十多万片龟甲兽骨上的文字，就有明显的数字遗迹显示距现在三千三百多年前的商代，人们 已用算筹了。在甲骨文上的“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”和“十”是形如“一”“ =“三”“ ”“ ”“X”和“人”、“ | ”的样子。如果用
6、I、II、III 、Illi 、IIIII来表1、2、3、4、5,那么很自然我们会想到用 6根竹棒表示6 了，可是这样很不方便，在公元前六到公元前三世纪的周人就用 或 表示6。而7就用来表示。8就用 、I来表示，而9就是以丄或 门来表示。到了秦汉时期基本上就把数码定为横式及纵式两种，而且固定个位、百位、万位是用纵式，而十位，千位是用横式:大约在公元三世纪出现的孙子算经中说：“凡算之法，先识其位。一纵十横（个位纵划, 十位横划），百立千僵（百位纵的，千位横的），千十相望（千位和十位相同），万百相当（万位 和百位相同）。”（见图六）表5宜术的纵式和慣式12 3 4 5 6 T 9 飙式 I II
7、in mi iiiii t Traun 構式=三邑蚩丄土兰吉32 5 6II = T筹算加减法筹算加减的方法比较简单。把加数和被加数摆上两行，然后由高位数算起，即由左向右计算， 变成一行就是答案。这方法和我们现在通行的笔算恰好相反。现代的笔算法是由低位数往高位数计 算。古代西方和中国人一样是由左而右计算的，到了 12-13世纪以后才转变成我们现在的方法。我们举下面的例子说明进行筹算时的过程：我们要算43792+3056减法的计算刚好是前面的逆转。比如我们要算46848-3056首先列出46848，然后由千位中减去 3，依次再减去百位、十位和个位的数码，也是由左向右 计算的。读者可在计算过程试试
8、发现。3世纪末的孙子算经是一部算术启蒙书，里面有讲乘法，可是现在的中学生要看懂一千六 百多年前的文字，并理解它的意义是不太容易的，故我们加以说明，在下面逐步解释：1)重置其位，上下相观。(下层的最低位数与上层的最高位数对齐。)士 I上位中位=I 下位(2)以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位。士 1上位 丄1111中位 =1下位(3)以上八呼下一，一八如八，即位下八十。(4)退下位一等，收上头位八十。(下层乘数向右移一位，去掉上属八。)|上位1111 中位 士 I下位(5 )以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十。I上位 mm 中毡 土 I下窗(6)以上位一呼下位一，一一如一，即于中
9、位下一。中位 =I下位(7)上下位俱收，中位即得六千五百六十一。 (把上下位数去掉，剩下中位数就是答案 6561。)上位1| 1 I中位 下位从这个例子可以看出，把多位数乘多位数变成用单位数去乘多位数，乘一位加一位，基本想法 是和现在的笔算是一样。现在举另外一个例子 236X 428,为了让习惯看阿拉伯数字的读者能较易理解， 我们不写筹式而用阿拉伯数码记数。O D 3 e上位 + 8 5 6 中位4 ? 3 下位856C3X4=)12(+g76(3X2=E ( +982(3X0=)24 (十-y84 46上位 +6844 中位4 2 8下屈9 S 4 4(&XV ) 2 4( +1 0 0 8
10、 4) 12( +1 0 0 9 6W ) 4 呂+ 1I o 0 g上位10 13 0 8中位下位消掉（5）中的6,及把下位的数去掉，我们全部乘完，所得的答案就是中位所示。 筹算除法根据孙子算经及夏侯阳算经的记载，我们知道除法的过程像是乘法的逆运算。这个除 法和我们现在所用的笔算是一致。其法则如下：“凡除之法，与乘正异，乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实。以六 除百，当进之二等，令在正百下，以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位。以法除实言 一六而折百为四十，故可除。若实多而法少，自当百之，不当复退，故或步法，十者置于十位，百 者置于百位，除法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法
11、为母，实除为子。”现在举例子说明，计算 2761 56。(1)上位中fit(2)因被除数首二位 27小于除数56,不够除。把除数向右移一位。f4XE= ) 2 0 (-T 6(4X6匸) 2 4(52 1(3)将初商4置于被除数之上，以 4乘除数各位，并从被除数中减去。4商5 2 0 1 实 岳6法5 2 1C9X5= ) 4 5 C -7 1) 5 4(1 7(4)把除数再向右移一位，议得次商 9后，得余数17。由上可见筹算除法是随乘随减，一气呵成。我们的祖先还可以用筹算开平方及开立方，过程较复杂，这里就不介绍了。用筹表示负数魏晋数学家刘徽在注九章算术里写道：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异
12、。”如果万一黑色的算筹不够，那么怎办呢？人们就用斜放的算筹表示负数， 正放的算筹表示正数,就像刘徽注所说的“以邪(通斜字)正为异。”北宋著名的科学家沈括(1031 1095 )晚年写的梦溪笔谈，是一部笔记文集，其中三分之一谈论自然科学，记述了北宋时期各方面的数学成果。在该书的卷八就写道： “算法用赤筹、黑筹,以别正负之数。”可见在北宋时，这个方法还是千年不变沿续下来。在西汉时算筹一般是圆形竹棍，把二百七十一枚筹捆成六角形的捆。这在汉书律历志中 记载：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”从汉朝到隋朝（公元 581年 618 年），算筹渐渐改变成短小，而且把圆柱形改成棱柱
13、形，主 要原因是为了方便取用。隋代的三棱的算筹表示正数，四棱形的算筹表示负数。束置的方法是把正 数的算筹二百六十枚，束成一个六角柱体，每一边六筹，对径十二筹。负数的算筹一百四十四枚， 束成方柱体，每边是十二筹。隋书律历志这么描述：“其算用竹广二分，长三寸，正策三广，积二百一十六枚，成六 觚，乾之策也；负策四广，积一百四十枚，成方，坤之策也。觚、方皆径十二，天地之数也。” 筹算的缺点中国人利用算筹为计算工具，从春秋至到汉、唐、宋、元有二千多年以上。 可是算筹在数字计算方面有一定的缺点：（1） 用筹拼排数码， 1 9的九个数要用 29根筹，平均每个数需用 3.2 根。这就是说一个数码 平均要做 3
14、.2 个动作，所以速度慢，不利于速算。（2） 算筹较长，计算时占地多。汉算筹长 13.8 厘米，隋筹虽较短，也还长 8.85 厘米。如果 以隋筹的长度来说，在计算多位数加、减、乘、除时，一个数码连同左、右、上、下各个数码间应 留的空隙，估计所占的面积要 121 平方厘米。计算一道 4位乘 4位积数是 8位的乘算题， 按照筹算乘法的方法将算筹分上、 中、下三层排列， 约占长 90 厘米、宽 40 厘米的地位，一张方桌不够做两道这样的乘算题。宋代马永卿曾在嬾真子一书记载：“出算子约百简，布地上，几长丈余。” 筹算不但做乘除法时占位多，做多位数加减法时也是这样。我们现在可以想像距今一千五百年 前南朝
15、的祖冲之要计算圆内接正 24576边形的边，而得到圆周率 n的近似值是在3.1415926及3.1415927 之间，其计算量及他所要用的计算面积的巨大。难怪算盘出现以后，由于构造简单，价格低廉，计算方便，很快取代筹算。 中国人长期用算筹来作计算的工具，可是随着生产和商业交换活动的发展，筹算逐渐不能适应 生活的需要，特别是商贾买卖，需要快速计算。筹算摆放速度慢，占用的面积大，很不方便。因此 当珠算盘产生之后，筹算很快就从历史舞台上退出。珠算的起源1976年 3月，中国考古工作者在陕西省岐山县的凰雏村发掘出西周王朝早期宫室的遗址， 在出土之文物中发现了青黄两色的陶丸九十粒： 青色二十粒， 黄色七
16、十粒， 这些陶丸直径是 1.52厘米， 考古学家认为这是西周时用的算珠。在 1953 年 3 月在山东沂南发掘了汉代古墓，墓室内有一些图像，其中一幅拓片，描绘在基室 内有一人跪地上，双手捧着长方板，向其主人作奉敬状态。长方板上有六个直行，有二行内有圆珠， 每行八颗（上五下三）。另外在墓室一侧的小几上也有长方板，所绘直行和放置的圆珠个数，与拓 片手捧长板是一样。因此从周朝到汉朝，除了用竹筹以外，人们也利用刻有槽并放圆珠的算板作计算工具。 事实上，古巴比伦人也用类似的计算工具协助计算。我们的祖先觉得像这样的计算板还是有缺点，因此后来转变成有轴穿珠，便于操作。“珠算” 这个名词， 最早见于汉书 数术
17、纪遗 ，按书中所述， “珠算控带四时， 经纬三才 （天、 地、人三才）”，里面注释是：“刻板为三分，其上下二分，以停游珠”故可解释为游珠算盘。宙七数术纪遗中还说：黄帝的臣子隶首定计数的方术多种，除遗忘者外，尚有稽算、太乙、丙 仪、三才、五行、八卦、九宫、运算、了知、成数、把头、龟算、珠算、计算等共十四种。（见图 七）数术纪遗的著者是徐岳，他是后汉末年人。注释的甄鸾是三国以后北周人。四库全书 提要中说这本书事实上是甄鸾假托徐岳的名而作，如果这是真的话，我们可以认为中国的游珠算盘 在后汉北周时期已经出现。东汉是因公元220年董卓之乱而结束。三国的纷争是从四百年的太平转为四百年的魏、晋、南 北朝大纷
18、乱的开端。李约瑟教授在他的中国科学技术史第三卷，引北史八十九卷关于北齐冶金家綦母怀文 （公元550年一570年）的传记中一段记载，说明在北齐时就有珠算。“昔在晋阳为监馆，馆中有一蠕蠕客，同馆胡沙门指语怀文云，此人别有异算术，乃指庭中一 枣树云，令其布算子，即知其实数。乃试之，并辨若干纯赤，若干赤白相半，于是剥数之，唯少一 子。算者曰，必不少，但更撼之，果落一实。”李约瑟把他译成英文，下面是中译本的译文：“据说，在晋阳学馆，有一次有一个蠕蠕（匈奴）客人来访，馆中的一个外国僧侣指着綦母怀 文对他说：“这个人有奇异的数学才能！ ”并指着庭院中的一棵枣树，请怀文用算子计算树上有多 少枣实。计算后，怀文
19、不仅说出枣实的总数，并说出其中有多少已熟，多少未熟，多少半熟。 当把枣实计数核对之后， 发现只少一个，但这位数学家说：“这是不会错的，请把树再摇一摇! 这样做了以后，果然它有一个枣实掉了下来。这故事真是奇妙，把綦母怀文的计算能力说得神乎其技。人们现在认为汉代已有游珠算盘，晚唐产生了串珠算盘，宋元已经普及使用，晚清勃兴起来后 直到现在。291366年浙江黄岩的陶宗仪所著的南村辍耕录中，就有关于珠算盘的明确记载。书中卷 讲到一条俗谚，这条俗谚用“擂盘珠”和“算盘珠”打比喻时指出，“擂盘珠，不拨自动”，“算盘珠，拨之则动”。又在元朝杂剧元典选“庞居士误放来生债”一折中有“去那算盘里拨了我的岁数” 一
20、句唱 词。可见那时珠算盘已是一件比较常见的工具，并反映到作品中去了。元初画家王振鹏在公元 1310年所绘的乾坤一担图中，有一个货郎担上有一把算盘，其横 梁和档子，穿珠极为清晰，同现代算盘一样。元末1334年出版了一部世界上最古老的有插图儿童读物对相四言杂字，里面就有珠算盘 的最早图说。北宋名画家张择端所绘的清明上河图，在卷末有赵太丞家药铺，柜子绘有算盘的图形。可 见在北宋时人们已普遍使用算盘当计算工具。曾经有日本专家认为中国算盘起源自罗马、希腊的沟算盘，中国后汉和罗马有贸易来往，商人 把贸易物资与这种算盘传到当时的汉朝。可是中国史学家认为从国外传入的文物，如西汉张骞由西 域传入的乐曲、乐器、汉
21、血马、苜蓿、葡萄等等，都有文献记载。传入的文物，还加“胡”字，如 胡琴、胡床、胡豆、胡桃等等。汉代以后传入的数学，如唐朝的印度数学，宋、元传入的伊斯兰数 学，明清传入的西方数学都有详细的记载。因此“算盘西来说”是不对的。 写出最好珠算书的数学家程大位被中算史家严敦杰、梅荣照两位先生称赞为：“明代最杰出的数学家程大位”，明、清正 史中都没有他的传记。程大位( 1533 1606)，安徽休宁人，原来从商。壮年后在率口专门从事数学写作，历时三十 余年，他用二十年的时间写了直指算法统宗简称算法统宗，这书很快到处流传和翻刻。他 在算法统宗出版以后六年写了算法纂要。算法统宗流传广泛对明末以及清代民间数学知
22、识的普及和中国古代数学知识的继承有不可 忽视的作用。可是在 1781 年清朝编的四库全书对算法统宗评价不高，说：“此书专为珠算 而作，故世俗通行。惟拙于属文，词多支蔓，未免榛晅勿翦之讥。”在 1795 年由阮元负责，李锐编纂的一部记述历代天文学家、数学家学术活动及成果的传记体 数学史和天文历法史书畴人传，对程大位的工作是这样的贬低：“大位算学未能深造，故其为术类多舛错，然杂采诸家，往往有宋元以来相传旧法如仙人换影 之术，非所能作也。”这里我们简略介绍他的生平以及工作，希望大家能对他有一个客观的认识：程大位，字汝思，号宾渠。幼年除了学习数学外，则学儒家的学问，可是在学成以后没有参加 当时的科举考
23、试。年纪大了就出外做生意，“周游吴楚之墟”。他把皖南地区盛产的桐油、茶叶、纸张、砚、墨用车船运出，再换回丝绸、布匹、五金等。他 在经商期间，除了收集算书外，也同时收集文字方面的书籍。由于算盘是当时从商者的工具，但是 缺少统一的珠算教科书，计算方法往往因人因地而异。程大位每到一地，都要观察同行的计算方法， 回到客店或床上就细心琢磨，归纳顺口的口诀。听到那里有好书，就或买或借，“齐心一志，至忘 寝食”。程大位在几十年的经商期间，收集了很多数学书籍，以及积累了丰富的数学知识。后来在写算法统宗时，他除了从这些书籍中吸收其精华，同时也保留了许多重要的文献。 他在书中开列一个从北宋到明万历年间的数学书目，
24、是研究中国数学史一项重要的参考资料。当时 他所知所见的数学著作有 51 种，其中只有 15 种流传至今。他的同乡吴宗儒在算法统宗和算法纂要的程大位“像赞”中(见图八)称赞他：“书擅八分，算穷九九，迹隐市衢，心超林薮。”他晚年退居乡下，用 20年的时间写了算法统宗。全书共 17卷。（见图九）卷一是数学词汇、度量衡单位以及珠算的基本方法、 有整数运算、分数运算、开平方和开立方、定位方法、加法口诀及九归口诀。卷二是整数和份数的基本运算，主要是归除法与留头乘法。卷三 至卷十按九章算术体例分方田、粟布、衰分，少广、商功、均输、盈肭、方程、勾股十章。其 杂诗包括写算、一笔锦、纵横图等。他的书中问题和解法汇
25、编，所引起的题目很多出自南宋末年的杨辉详日解九章算法。书中 称为“古题”，但解法是全新的珠算方法。卷六和卷七把筹算的开带从平方和开带从立方（正系数数字二次方程和三次方程求根）用到珠 算中。例 算法统宗六卷：“今有直田积一千七百五十步，长比阔多一十五步，问该长、阔各若干？” 程大位提出两种不同的解法： 解法 1 设长为 a ，阔（宽）为 b ，则ab=1750， a-b=15 。根据勾股算术的方法得224ab+（a-b ）2=（a+b）2=7225用“归除开平方”求得 a+b=85,所以a=50, b=35。解法2令x=b, x+15=a，据题意得2x2+15x=1750x=b=9， a=x+3
26、=12这部书刊行之后，由于适应了时代的需要，只在短短五六年内，书坊就竞相翻刻。这本书的初刊本出现后十年，李之藻和意大利传教士利玛窦合作，以直指算法统宗和利玛 窦的老师，德国数学家克拉维斯的实用算术概论为底本，编释出一部名为同文算指的书在 1613 年出版，是一本著名的教科书。1659 年李长茂编的算海说详九卷，全部取材于算法统宗。梅文鼎（ 1 63 3 1 72 1 ） ，清初的天文学家和数学家，在他的方程论、勾股誉隅、几 何通解等著作也多处引用算法统宗。清代完成的大型类书古今图书集成将直指算法统宗全文辑入。到了清末，人们对这书 的需求量很大，连主要翻译出版西方著作的江南制造局也进行了翻刻。1
27、627明末日本丰臣秀吉命令毛利重作来华学习数学时带回算法统宗和中国算盘。以后多八种不 同的版本流入日本。毛利重作向他的弟子介绍程大位的工作，后来还著归除滥觞二卷。在 年他最得意的弟子吉田光由写了一本尘劫记，以程大位的书为蓝本改写而成。随后在日本出现 上一珠下五珠的菱珠算盘，一直到今仍在使用。日本珠算普及情况，按人口密度，大大超过中国， 对珠算的各个领域都有深广的研究。程大位的算法统宗在 1 592年出版之后，从明代到清代，各地书商纷纷翻刻，这书流传的广泛和长久，在中国数学史上是罕见的。明末时，这书传入日本、朝鲜、东南亚各国，对该地区的数学发展有很大的影响。1716 年（康熙五十五年），程大位的
28、曾孙程先坤翻刻他的书，在序中说：“风行宇内，迄今盖 已百有数十年，海内握算持筹之士，莫不家藏一编，老业制举者之于四子书、五经义，翕然奉以为 宀 ”宗。”从清朝一直到民国初年，出现了算法统宗的各种翻刻本及改编本，民间还有各种手抄本流 传，对民间普及珠算和数学起了重要的作用。一、数学史的研究对象数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学， 简单地说就是研究数学的历史。 它不仅追溯数 学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科 学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历 史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科
29、学内容，是一门交叉性学科。从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学 资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是 最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演 变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数 学家的生平等等。数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历 史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学 发展的规律与文化本质。作为数学史研究的
30、基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究 等方法。不会比较就不会思考 , 而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较，或者说，比较是认识的开 始。今日世界的发展是多极的，不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展，因而随着 多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化，异质的区域文明日益受到重视，从而不同 地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数 学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理 科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史 料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正 本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。
