1、高中数学必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语 第1113节学案人教A版集合核心知识；集合易错题精析集合核心知识重点集合的概念、元素与集合的关系，集合的表示方法，集合与集合的关系，集合的运算难点集合中元素的特征，描述法表示集合，属于与包含之间的区别，集合的运算考试要求考试： 考查题型：选择题、填空题和解答题。 考查难度：小题的难度一般中等偏下，存在个别较难的试题；解答题的难度中等偏上，属于易错题。备注：为高频重点，为易错点 为难点核心知识点一：集合的概念和表示集合概念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性表示方法列举法2 元素一一列举出
2、来用“”括起来元素间用“，”隔开描述法写清楚集合中元素的代号说明该集合中元素的性质；所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。常用数集及其记法N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数组成的集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成的集合。例题1 已知a1，1，a2，则a的值为_。答案：a1，1，a2，a可以等于1，1，a2。（1）当a=1时，集合则为1，1，1，不符合集合元
3、素的互异性。故a1。（2）同上，a=1时也不成立。（3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为1，1，0。综上，a=0。解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题。总结提升：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。例题2 判断下列三个集合是否相等。（1）x|y=x21（2）y|y=x21（3）（x，y）|y=x21答案：（1）x|y=x21表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x21=x|xR=R。（2）y|y=x2
4、1表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x21=y|y1。（3）（x，y）|y=x21表示点的集合，这些点在二次函数y=x21的图象上。解析：处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。总结提升：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为（x，y）|的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。核心知识点二：集合间的关系子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合AB，但存在元素xB，且xA，称集合A是集合B的
5、真子集符号语言若任意xA，有xB，则AB。若集合AB，但存在元素xB，且xA，则AB表示方法A为集合B的子集，记作AB或BA。A不是B的子集时，记作AB或BA。若集合A是集合B的真子集，记作AB或BA。性质AA AAB，BCACAB，且BCAC子集个数含n个元素的集合A的子集个数为含n个元素的集合A的真子集个数为1空集不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若A非空（即A），则有A。核心知识点三：集合的运算：1. 并集（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或xB。（3）图形语言（
6、Venn图）表示：。（4）性质：AB=BA；AA=A；A=A。2. 交集（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且xB。（3）图形语言表示（Venn图）：。（4）性质：AB=BA；AA=A；A=。3. 补集（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。（2）符号语言表示：A=x|xU，且xA。（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。（4）性质：（A）A=R；（A）A=；（A）=A。（AB）=（A）（B），（AB）=（
7、A）（B）。重要结论：AB=AAB；AB=BAB；AB=AAB=B。例题3 设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求CR（AB）。解：把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，ABx|210，总结提升：求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否。集合的交并补运算应当逐步求解，一层一层的求解。本节重要知识点1. 对描述法中代表元素的理解；2. 集合间的基本关系；3. 集合的基本运算。（答题时间：30分钟）1. 集合1，3，5，7，9用描述法表示应是（ ）A. x|x是不大于9的非负奇数B. x|x9，xNC. x|
8、1x9，xND. x|0x9，xZ2. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）A. x|x1 B. y|（y1）20C. x1 D. 13. 若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）A. AC B. CA C. AC D. A4. 设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）PP，则MP等于（ ）A. M B. P C. P D. 5. 设集合Mx|xR且1x2，Nx|xR且|x|a，a0，若MN，那么实数a的取值范围是（ ）A. a1 B. a1 C. a2 D. a26. （x，y）|xy6，x，yN用列举法表示为_7. 设满足y|x1|的点（x，y）的集合为A，满足y|x|+2的
9、点（x，y）的集合为B，则AB所表示图形的面积是_。1. A2. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是1，而C选项表示含有一个方程的集合。3. A 解析：由ABBC，知ABB，ABC，ABC。故选A。4. D 解析：由（M）PP，知PM，于是PM。故选D。5. D 解析：Mx|1x2，Nx|xa或xa。若MN，则a1且a2，即a1且a2，综上a2。6. （0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）7. 解析：画出y|x1|及y|x|+2的图象，则AB表示的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得。集合易错题精析典例一：描述法中代表运算的
10、理解【能力提升】已知集合M（m，n）|mn2，N（x，y）|xy4，那么集合MN_。答案：（3，1）解析：M、N中的元素是平面上的点，MN是集合，并且其中元素也是点，所以集合M可以等价表示为M（x，y）|xy2解方程组得MN（3，1）。易错点拨：1. 对于描述法，首先应该看代表元素的类型，是代表的数还是点；2. 集合的代表元素仅仅有代表作用，与用哪个字母代表是无关的。典例二：已知集合的包含关系或运算关系求参数连续型【能力提升】已知集合Ax|1x3，Bx|mx0时，因为Ax|1x3，BA，所以在数轴上标出两集合，如图，所以所以0m1。综上所述，m的取值范围为（，1。易错点拨：（1）若集合A是集合
11、B的子集，则应当首先考虑集合A是否为空集。（2）分类讨论的思想典例三：已知集合的包含关系或运算关系求参数离散型【能力提升】已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若ABA，求实数m的取值集合。解：ABAAB，当A时，即方程x24mx2m60无实根，故16m28（m3）0，解得1m。当A时，方程x24mx2m60的根为负，则 。综上，实数m的取值集合是m|3m。易错点拨：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化。典例四：集合知识解决实际
12、问题【能力提升】某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A、B、C三道知识题作答，答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A、B者5人，答错A、C者3人，答错B、C者4人，全答错1人，则全答对者有（ ）A. 12 B. 15 C. 17 D. 18答案：D解析：由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B 的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1，2，3，4，10，7，5，因此ABC中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有503218人。一、本节重要知识点1. 对描述法中
13、代表元素的理解；2. 集合间的基本关系；3. 集合的基本运算。二、易错点1. 容易忽略集合的元素类型是离散的（整数集）还是实连续的（实数集）；2. 容易忽略空集，空集是任何集合的自己，凡是考查集合的基本关系首先考虑空集。三、必会题型1. 简单的交并补运算；2. 已知集合的包含关系或运算关系求参数（答题时间：30分钟）1. 设集合A（x，y）|xy0，B（x，y）|2x3y40，则AB_。2. 已知集合Ax|xa，Bx|x23x20，若ABB，则实数a的取值范围是（）A. a2 D. a23. 设集合A1，0，1，B，AB0，则实数a的值为_。4. 设集合A0，4，Bx|x22（a1）xa210
14、，xR。若ABA，求实数a的取值范围。5. 已知集合UxN|1x9，AB2，6，（CUA）（CUB）1，3，7，A（CUB）4，9，则B等于（）A. 1，2，3，6，7 B. 2，5，6，8C. 2，4，6，9 D. 2，4，5，6，8，96. 五年级一班共45人，其中语文得优者20人，数学得优者15人，均不得优者20人，则两门功课均得优者有（ ）人 （ ）分。A. 20 B. 10 C. 15 D. 251. 答案：（4，4）解析：由得AB（4，4）。2. 答案：3，a2解析：集合Bx|x23x20x|1x2，由ABB可得BA，作出数轴如图。可知a2。4. 答案：a1或a1解：因为A0，4，ABA所以BA分以下三种情况：当B时，4（a1）24（a21）0，解得a1。当B且BA时，B0或B4，并且4（a1）24（a21）0，解得a1，此时B0满足题意；当BA时，B0，4，由此知0和4是方程x22（a1）xa210的两个根，则解得a1；综上所述，所求实数a的取值范围是a1或a1。5. 答案：B解析：根据题意可以求得U1，2，3，4，5，6，7，8，9，画出Venn图（如图所示），可得B2，5，6，8，故选B。6. 答案：B解析：利用文氏图设双优者人
