1、算法的概念的教学设计算法的概念的教学设计杭二中分校 陈海玲一内容和内容解析算法是规则系统一种循序渐进解决问题的过程，尤指一种为在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算过程。（概念的内涵 广义）在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。（概念的内涵 狭义）算法概念这一节，立足于用自然语言描述解决问题过程中的明确顺序，是实现用程序框图、程序语言的表示方式的基础。（内容及在本章的地位）算法的思想方法几乎贯穿整个高中数学课程的所有章节，如解三角形、数学归纳法、数学建模等本节的内容能为以后学习本章程序框图、基本算法语
2、句以及选修1-2第四章“框图”内容奠定基础由于程序框图体现的是算法的思想，故其思想方法可运用到数学的各个领域之中（在学科中地位）算法也是数学及其应用的重要组成部分，算法是连接人和计算机的纽带。是计算机科学的基础，利用计算机解决问题需要算法。首先研究解决问题的算法的自然语言表达，再把算法转化为程序，所以本节课学习用自然语言进行算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。（体现其应用性）二目标和目标解析本节课通过对解决具体问题的过程与步骤的分析，让学生体会算法的思想，了解算法的含义。具体目标为：1 要求学生了解算法的含义，体会算法的思想。2 在分析实例的基础上了解算法的基本特征。3 能够
3、用自然语言描述一些具体问题的算法。本节课教学重点通过实例让学生体会算法思想，会用自然语言表达一些具体问题的算法.三教学问题诊断本节算法对学生来说并不陌生。生活中很多问题是按照指定的要求一步步解决的；小学的四则混合运算所遵循的先乘除、后加减的规则，括号的处理规则等，都是学生最初接触到的算法实例。初中学习的方程组的解法等，也是算法的典型体现。高中学习的必修1中求函数零点的二分法的解题步骤、必修5中线性规划的解题规律等更成了算法的经典问题。还有数列的求和、质数的判定、最大公约数和最小公倍数的求法等，都涉及到算法。同时，在其他学科、甚至生活中也离不开算法。算法的实质是将人的思维过程处理成计算机能够一步
4、一步执行的步骤，进而转化为一步一步执行的程序。这种处理问题的方式，学生以往有一些经验，如教师对某些题型总结的较为固定的解题步骤。不过这种经验并没有得到应有的升华。只有在完整地学习了算法后，学生才能把这些知识提升到新的高度来认识。算法是对解题方案的准确而完整的构造性的描述。算法并不是容易理解和掌握的内容。教学难点是对算法概念的理解和对算法的描述，尤其是对循环问题的递归语言表达，由于学生初次接触，更加难以掌握。教师可以首先通过实际生活中的生动有趣的例子帮助学生了解算法的含义，明白算法是规则系统一种循序渐进解决问题的过程。在此基础上通过引导学生在具体情境之下回顾特殊的二元一次方程组的求解，自然展示求
5、解的“步骤”，从而帮助学生进一步明白算法是在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算过程，并能够编成计算机可以执行的程序让计算机执行并解决问题的。在建立了算法的概念以后，教师可以通过进一步介绍学生熟悉的例子，并尝试着让学生自己举算法的例子，帮助学生进一步领会算法的思想。接着通过例1和例2设计算法，帮助学生学会用自然语言描述算法，质数的判断是学生小学就接触过的，用二分法求近似解在必修1中学生也已经学习过，因此这两个问题学生都是熟悉的。这里重点是通过设计理解算法概念，而不在于算法所涉及问题本身。教学时可以先让学生回顾问题的解题过程，再让他们整理出步骤，并有条理的用自然语言表达出来。通过这样的教学
6、使学生体会算法设计的基本思路。在例题之后，借助课本中的思考，得出算法的特征，并通过练习促进对算法概念的理解与掌握。通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。本节课教学，要围绕算法概念，立足于用自然语言描述解决问题过程中的明确顺序。根据这节课的教学内容、教学目标，结合以上分析，本节课建议采用以教师引导分析讲授为主，着重一个“导”字，并通过适量的练习加以巩固。四教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器来参与运算或表达算法。通过计算机演示帮助学生体会算法研究的价值。五教学过程设计（一）结合章头图对学生进行数学史教育，同时让学生认识算法研
7、究的价值。1看章头图，介绍图中在春秋时期盛行的算筹；明朝时期已广泛使用直至今日仍在发挥作用的算盘；当今时代已进入各个领域的计算机。2提出问题：是什么把这三这联系在一起？引出算法。3从古到今算法始终扮演着重要的时代角色。我国古代数学在世界数学史中曾一度占领先地位。通过介绍我国古代部分数学成就，加强对学生进行爱国主义教育，同时体会算法的研究价值。4从为了了解计算机的工作原理，引出课题算法的概念。（二）问题情境，引出算法概念：问题情境：一个农夫带着一条狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设
8、计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河.设计意图：通过这个学生容易感兴趣的问题，让学生有一个对算法的初步认识。师生活动：教师可以在学生看后引导学生整理出按步骤解决问题的方案，并告诉学生这就是一个解决该问题的算法。第一步，农夫带羊过河. 第二步,农夫独自回来.第三步，农夫带狼过河.第四步，农夫带羊回来.第五步，农夫带蔬菜过河.第六步，农夫独自回来.第七步，农夫带羊过河.当然,也有可能学生提出第二套过河方案.第一步，农夫带羊过河. 第二步, 农夫独自回来.第三步，农夫带蔬菜过河.第四步，农夫带羊回来.第五步，农夫带狼过河.第六步，农夫独自回来.第七步，农夫带羊过河.在这里目的不是为了解决这个
9、问题本身,而是为了从这里让学生初步了解算法,所以不需要两种方案都讲.只要在学生回答的基础是整理出一个解决问题的步骤即可. （三）解决问题，建立算法概念“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学着作孙子算经中的一个有趣而具有深远影响的问题，从学生熟悉的鸡兔同笼问题解决引出数学中的算法问题：问题1:一个笼子里有一些鸡和兔，现在知道里面一共有个头,只脚，问鸡和兔各有多少只？设计意图：通过学生熟悉的问题的解决，帮助学生形成按步骤表达解决问题的想法。为下面学习复杂问题中用自然语言描述算法打好基础。师生活动：这个问题学生容易解决，可以由学生独立思考，之后汇报其解决方案。1小学里解决方法：兔的只数，可以得到鸡的只数。
10、在此基础上归纳出一般结论。2中学解决方法：设立未知数，建立方程，解方程。解：设有只鸡，只兔，则得：，解（3）得将代人（1）求得。答：笼子里有鸡23只，兔12只。3从上述解决问题的过程看，解决以上问题可以分若干步完成：第一步，设有只鸡，只兔，第二步，列方程：第三步，解方程求得：，第四步，答：笼子里有鸡23只，兔12只。教师在学生回答的基础上指出上述四个步骤构成解决“鸡兔同笼”问题的一个算法。同时指出：第一步，设. 第二步，列. 第三步，解. 第四步，答.这四个步骤构成了一般的列方程解应用题的算法。问题2：你能写出求解二元一次方程组： 的步骤吗？设计意图：在上述“鸡兔同笼”问题中涉及解具体二元一次
11、方程组的问题，通过复习所学过的解二元一次方程组的基本步骤自然过渡得到解一般的二元一次方程组的步骤，为建立算法概念打下基础。师生活动：教师先提出问题，让学生对求解过程一步步表达出来。解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，教师引导学生用加减消元法写出它的求解过程，然后让学生尝试用代入消元法表达出解决问题的步骤。解：第一步：得：第二步：解（3）得第三步：将代人（1）求得。无任学生用代入消元法还是加减消元法，在这里目的不是为了解方程的方法,而是为了从这里让学生初步了解算法,所以不需要两种方法都讲. 教师只要和学生共同整理出一个解方程的步骤即可. 教师在学生回答的基
12、础上指出：1.以上求解的步骤就是解二元一次方程组的算法.2.本题的算法也适合一般的二元一次方程组的解法.3在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法问题2：写出求方程组的解的步骤设计意图：在复习解具体二元一次方程组基本步骤的基础上进一步分析解一般的二元一次方程组的步骤，并指出上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法，从而加深学生对算法的了解。通过教师事先编好的程序的演示，让学生感受算法研究的价值。师生活动：教师在提出问题后，可以让学生来说出其解题步骤，教师用投影给出求解过程步骤。解：第一步：（2）- （1），得： （
13、3） 第二步：解（3）得 ；第三步：将代入（1），得.在完成求解一般的二元一次方程组步骤的基础上教师指出：1本题的步骤就是求一般的二元一次方程组的解法的算法.2在写出此步骤基础上，我们将上述步骤进一步用计算机能够识别的语言表达出来并输入计算机就可以解决用计算机求二元一次方程组的解了。这里老师事先按照上述步骤编写了程序，同学们可以跟老师一起来看看。3让学生输入数据，计算机直接给出方程组的解。（四）分析归纳，得到算法概念 问题3：到底什么是算法？如何表达算法的含义？设计意图：在提出算法这一概念后，学生自然想进一步了解到底什么是算法。教师在此处设问，目的不是要求学生直接作答，而是为了自然过渡到对算法
14、的更进一步研究上。用上面几个学生熟悉的问题来帮助学生建立算法的概念，降低难度，有利于学生正确理解算法的概念。培养学生体会发现、抽象、总结的能力。师生活动：教师在提出问题后，可以先让学生用自己的语言表达对算法思想的理解，在学生回答的基础上教师进行归纳帮助学生建立算法的概念。教师指出:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。教师可以通过进一步从算法的角度介绍学生熟悉的例子，并尝试着让学生自己举算法的例子，帮助学生进一步领会算法的思想。例1.写出交换两个大小相同的杯子中的液体 (A水、B酒) 的一个算法例2写出求一元二次方程
15、根的算法.(五)算法的应用：问题1设计一个算法，判断7是否为质数。设计意图：在给出算法的概念后，教师在此处安排这样一个问题，目的强化化学生对算法思想的领会，使学生体会到算法并不抽象，实际上是我们从前解题步骤的总结。然后通过一连串问题的追问，由浅入深，由特殊到一般，培养学生体会发现、抽象、总结的能力。通过计算机演示，让学生感受算法研究的价值。师生活动：教师引导学生回忆质数的概念，提出如下一系列问题帮助学生形成解决问题的基本步骤，也就自然完成了一个算法的设计。1.什么是质数？2.如何判断一个数是不是质数？3.你在回答这个数是不是质数前，你在头脑中经历了怎样的思考、操作过程？在学生回答这个问题的基础
16、上，教师接着提出问题：4.计算机如何判断整除呢?从而引导学生用规范的语言来表达算法.5.能否设计一个算法，判断35是不是质数？6判断7是否是质数的算法和判断35是否是质数的算法有什么不同？6.任意给定一个大于1的整数n，能否设计一个算法对n是否为质数做出判断？这时候学生知道要判断一个大于2的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数。有了前面的基础，这里学生多数可能回答用2（n-1）去除n，于是将判断的过程表达出来就形成了解决问题的这样一个算法：第一步，给定大于2的整数n.第二步,用2去除n，得到余数t.若t
17、=0，则2能够整除n, n 不是质数,算法结束；否则,进入第三步.第三步,用3去除n，得到余数t.若t=0，则3能够整除n, n 不是质数,算法结束；否则,进入第四步.第（n-1）步,用（n-1）去除n，得到余数t.若t=0，则（n-1）能够整除n, n 不是质数,算法结束；否则, n是质数.教师首先应该肯定学生的做法,但在学生回答的基础上向学生提出这里从2（n-1）都在重复同一件事,象这种情况在设计算法时经常遇到,然后教会学生用递归语言进行表达.在完成上述算法表达的基础上教师指出：1用自然语言描述一个算法,最便捷的方式就是按解决问题的步骤进行描述,每一步做一件事情.这样描述的算法体现按部就班
18、程序性的特点.对于在解决问题过程中反复进行的步骤,同学们要学习用递归语言进行描述. 用递归语言进行描述时,通常分三个步骤:首先要给一个初始值,接着表达重复做的事情,最后要进行终止判断.2教师用事先按照上述步骤编写的程序演示，判断学生说出的数是否为质数。问题2.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.设计意图：二分法是算法中的经典问题，具有明显的顺序和可操作的特点。因此在这里安排这样一个例题既可以巩固前面已形成的用自然语言描述的算法，也可以提高用自然语言描述的算法的表达水平。师生活动：教师引导学生回顾二分法求方程近似根的方法，回忆二分法的基本思想。教师提出精确度要求，然后引导学生说出解决该问题的每
19、一个步骤，形成本例算法。教师可以通过以下一连串问题的设问，引导学生完成二分法求方程近似解的算法设计。1二分法求方程近似解是通过求对应函数的近似零点得到的，所以首先要建立函数，而且要有具体精确度要求，因此第一步应该怎么做？2二分法分的是什么？3如何确定新区间的端点？4如何表达出反复二分区间的过程？（引导学生学习用递归语言表达）解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过，算法：第一步，令.给定精确度.第二步, 给定区间,满足.第三步,取中间点.第四步,若则含零点的区间为;否则含零点的区间为.将新得到的含零点的仍然记为. 第五步, 判断的长度是否小于或者是否等于.若是，则是方程的近似解;否则，返回第
20、三步 在得到算法后教师可以带领学生看书,阅读课本第4页上有关内容,并说明（五）小结：将本节的主要内容以问题的形式呈现，让学生通过思考和回答问题，达到回顾和总结的目的问题1：你能举出更多算法的例子吗？设计意图：为了学生掌握算法的思想，所以这里让学生充分结合具体问题，以举例的形式来表达算法，以此评价他们对算法特征的理解情况，并让他们联系已经学习过的内容学会用算法的思想方法去解决问题师生活动：教师应尽可能让更多的学生举出不同的实例，并引导他们认识到算法的几个特征问题2：与一般解决问题的过程相比，你认为算法最重要的特征是什么？设计意图：通过让学生思考回答来评价他们对算法的特征中顺序、确定、有限的步骤的
21、领会情况同时提高学生的总结、归纳、表达能力。师生活动：如果学生不能回答提出的问题，可让他们在本节课已有问题的基础上进行思考并进行归纳总结.算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.与一般解决问题的步骤相比,算法具有程序性、有限性、构造性、精确性等特点。六目标检测设计1课堂检测课本第6页练习12课后检测第1题. 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假
22、银元。你能设计用天平（不用砝码）将假银元找出来的算法吗？设计意图：检查学生是否真正了解算法的思想。通过本题评价学生能否结合实际问题，用本节课所学的算法的思想用自然语言表达算法 第一步,将9枚金币平均分成三组,将其中两组放在天平的两边. 如果天平平衡, 则假的金币必定在另外一组;如果天平不平衡,则假的金币必定在较轻的一组.第二步,将有假金币的一组金币中,取出两枚金币,分别放在天平的两边.如果天平平衡,则假的金币必定是剩余的;如果天平不平衡,则假的金币必定在较轻的一边.第2题.任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所有因数.设计意图：检查学生是否会用自然语言正确表达算法。通过本题评价学
23、生是否真正掌握判断给定一个正整数是否是质数的方法，同时也训练学生的应变能力。解：算法步骤：第一步,依次以2（n-1）为除数去除n，检查余数是否为0.若是，则是n的因数；若不是，则不是n的因数.第二步,在n的因数中加入1和n.第三步,输出n的所有因数.第3题.写出解方程的两个不同的算法.设计意图：检查学生能否用自然语言正确表达算法。本题写两个不同的解决方案,让学生体会算法的不唯一性,而且通过比较知道今后在解决问题过程中合理地进行选择体现研究算法的价值.分析：本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面分别用配方法、判别式法写出这个问题的两个算法.解：算法1：第一步,移项，得： 第二步,式两边同加1并配方，得： 第三步,式两边开方得： 第四步,解得： 或.算法2：第一步，计算方程的判别式并判断其符号，. 第二步,将代入求根公式.得：或.
