1、第三章 离散系统的时域分析,1.LTI离散系统的时域分析：,2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换,时域分析法：序列的变量-k,域分析法的基础,3.时域分析法主要内容：,概述：,求出响应与激励关系,经典法,零输入响应和零状态响应,冲击响应与卷积和,建立线性差分方程并,注意：离散系统与连续系统的分析方法并行相似,连续系统,离散系统,微分方程,差分方程,卷积积分,卷积和,变换域（傅氏、s）,变换域（离散傅氏、z）,系统函数,系统函数,系统描述,分析方法,离散与连续对比,1.著名的斐波那契数列问题：,假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而,每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会死亡,。在最初
2、一个月内有一对大兔子，问第k个月时,一共有几对兔子？,2.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,解：,y(k)：第k个月兔子的对数,第k个月,老,小,y(k)对,第k+1个月,老,小,y(k+1)对,第k+2个月,老,小,y(k+2)对,老,老,y(k),y(k+1),y(k),y(k+2)=y(k+1)+y(k),差分方程,差分与差分方程,设有序列f(k)，则,1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等,称为f(k)的移位序列。,仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。,定义差分,（1）一阶前向差分定义：f(k)=f
3、(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k 1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2 f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m),2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k)+an-1y(k-1)+a0
4、y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。,例,一般不易得到解析形式的(闭合)解。,差分方程的迭代解法,差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差,差分方程迭代解举例,例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。,解：y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k)k=2 y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2 k=3 y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 k=4 y(4)=3y(3
5、)2y(2)+f(4)=10,二、差分方程的经典解,1.齐次解：,与微分方程经典解类似:y(k)=yh(k)+yp(k),y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),齐次方程 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=01+an-1 1+a0 n=0，特征方程即 n+an-1n 1+a0=0其根i(i=1，2，n)称为差分方程的特征根。,根据特征根，齐次解的两种情况,2.有重根 特征根为r重根时,例,差分方程齐次解重根例,求差分方程y(k)+6y(k 1)+12y(k 2)+8y(k 3)=0的解。,解：特征方程,齐次解,由初始条件定C1，C2，C
6、3,三重特征根,差分方程齐次解单根例,求解二阶差分方程y(k)5y(k 1)+6y(k 2)=0已知y(0)=2，y(1)=1，求y(k)。,解：特征方程,齐次解,定C1，C2,解出,特征根,2.特解yp(k):,激励f(k),响应y(k)的特解yp(k),特解的形式与激励的形式类似,例,或,差分方程全解举例,例：系统方程 y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解：特征方程 2+4+4=0 特征根 1=2=2 齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k 特解 yp(k)=P(2)k,k0 代入差分方
7、程 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2=f(k)=2k 解得 P=1/4 所以特解 yp(k)=2k2,k0故全解为 y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2,k0 代入初始条件解得 C1=1,C2=1/4,三.零输入响应和零状态响应,y(k)=yzi(k)+yzs(k),LTI系统 响应,第1种：自由响应+强迫响应,第2种：零输入响应+零状态响应,yzi(k):没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；,yzs(k):不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系,统外加输入信号所产生的响应。,全响应 y(t)=yzi(k)+yzs(k)的求取方法：,借助经典方法,卷
8、积和方法（后面学）,1.概 述,y(k)=yh(k)+yp(k),零输入响应和零状态响应,（1）.yzi(k)零输入响应,差分方程：齐次,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0,Czij-待定系数,（2）.yzs(k)零状态响应,差分方程：非齐次,y(k)=yzi(k)+yzs(k),y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),2.借助经典法,零输入响应和零状态响应,其中：Czsj-待定系数,yp(k)-特解,（3）.y(k)全响应,零输入响应,由yzi(k)起始条件,由yzs(k)起始条件,y(0)、y(1)-起始条件,待定系数代差分方程,
9、待定系数代差分方程,零状态响应,强迫响应,自由响应,起始条件的确定,yzi(-1)=y(-1),yzi(-2)=y(-2),-,yzi(-n)=y(-n),连续系统yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),（2）yzs(k)起始条件,yzs(-1)=yzs(-2)=-yzs(-n)=0,连续系统yzs(j)(0-)=0,yzs(0)、yzs(1)、-yzs(n)=？,例,yzi(1)=？,yzi(2)=？,-,yzi(n)=？,有必要吗？,借助微分方程,（4）.起始条件的确定,（1）yzi(k)起始条件,k0,激励没有接入f(k)=0,零输入响应举例,求系统的零输入响应。,
10、系统的方程,解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。,题中y(0)=y(1)=0，是激励加上以后的，不能说明状态为0，需迭代求出 y(-1)，y(-2)。,求初始状态,由初始状态确定C1，C2,解得,零输入零状态举例,例1：系统方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励 f(k)=2k,k0 初始状态 y(1)=0,y(2)=1/2 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yzi(k)零输入响应,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,解为 yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k,特征根 1=1，2=2,yzi(1)=
11、y(1)=0,yzi(2)=y(2)=1/2,零输入响应,yzi(1)=3yzi(0)2yzi(1)=3,初始值代入并解得 Czi1=1,Czi2=2,yzi(k)=(1)k 2(2)k,k0,递推求 yzi(0)、yzi(1),yzi(k)=3yzi(k 1)2yzi(k 2),yzi(0)=3yzi(1)2yzi(2)=1,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k,有必要吗？,零输入零状态响应,（2）零状态响应yzs(k)满足,yzs(k)+3yzs(k 1)+2yzs(k 2)=f(k),yzs(1)=yzs(2)=0,y
12、zi(k)=(1)k 2(2)k,k0,k,0,yzi(k),yzs(k),起始储能,激励,零输入零状态响应,代入初始值求得 Czs1=1/3,Czs2=1,零状态响应,yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,yzs(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+yp(k),=Czs1(1)k+Czs2(2)k+(1/3)2k,yzs(1)=3yzs(0)2yzs(1)+2=1,递推求初始值 yzs(0),yzs(1),yzs(0)=3yzs(1)2yzs(2)+1=1,yzs(k)=3yzs(k 1)2yzs(k 2)+2k k0,零输入零状态举例,例2：系统方程为 y(k)
13、+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励 f(k)=2k,k0 初始状态 y(0)=0,y(1)=2 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yzs(k)零状态响应 同例1,yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,yzs(0)=1、yzs(1)=1,（2）yzi(k)零输入响应,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,零输入响应,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,解为 yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k,特征根 1=1，2=2,yzi(0)=?、yzi(1)=?-,根据 y(k)=yzi(k)+y
14、zs(k),yzi(0)=y(0)-yzs(0)=-1,yzi(1)=y(1)-yzs(1)=3,yzi(k)=-(2)k k0,单位序列响应 阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,复习：序列(k)和(k),这两个序列是普通序列-非奇异函数,1.单位(样值)序列(k),取样性质：,定义：,1,-1,-2,2,0,1,放在第1章,f(t)(t)=f(0)(t),f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0),f(k)(k k0)=f(k0)(k k0),f(k)(k)=f(0)(k),2.单位阶跃序列(k)定义,(k)与(k)的关系,(k)=(k)(k 1),或(k)=(k)+(k 1)+,定
15、义,K-j=ij=0 i=kj=i=-,一、单位序列响应,单位序列(k)所引起的零状态响应，记为h(k)。h(k)=T0,(k),例1,例2,单位序列响应例1,例1 差分方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。,解 根据h(k)的定义 有 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)（1）h(1)=h(2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。,h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k)h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1 h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,(2)求h(k),对于k 0，h(k)满足齐次方程 h(k)h(k 1)2h
16、(k 2)=0特征方程(+1)(2)=0 h(k)=C1(1)k+C2(2)k，k0 h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1 解得 C1=1/3,C2=2/3 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k,k0或写为 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k),单位序列响应例2,例2 系统方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)-f(k-2)求单位序列响应h(k)。,解 h(k)满足 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)(k 2)令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k),它满足 h1(k)h1(k 1)2h1(k 2)=(k)根据线性
17、时不变性 h(k)=h1(k)h1(k 2)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)(1/3)(1)k 2+(2/3)(2)k2(k 2),二、阶跃响应,g(k)=T(k),0,由于,(k)=(k)(k 1)=(k),所以,，h(k)=g(k),(k2k1),两个常用的求和公式：,卷积和 卷积和图解法 不进位乘法求卷积 卷积和的性质,3.3 卷积和,一、卷积和,1.序列的时域分解,任意序列f(k)可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+,信号f(k)分解为单位序列叠加,2.任意序列作用下的零状态响应,根据h(
18、k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k-i),h(k-i),f(i)(k-i),由齐次性：,f(i)h(k-i),由叠加性：,f(k),yzs(k),卷积和,3.卷积和的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(k),为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为,举例,f(k)=f1(k)*f2(k),注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的，i 为求和变,和f2(k)，则定义和,量，k 为参变量，结果仍为k 的函数。,用定义求卷积和,例：f(k)=a k(k),h(k)=b k(k)，求yzs(k)。,解：yzs(k)=f(k)*h(k),当i k时，(k-i)=0,(k)*
19、(k)=(k+1)(k),二、卷积的图解法,（1）换元：k换为 i得 f1(i)、f2(i),举例,卷积过程可分解为四步：,（2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)平移k f2(k i),（3）乘积：f1(i)f2(k i),（4）求和：i 从 到对乘积项求和。,注意：k 为参变量。,图解法求卷积和,例：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？,解：,（1）换元,（2）f2(i)反转得f2(i),（3）f2(i)右移2得f2(2i),（4）f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2)=4.5,f2(i),f2(2i),f(2)=f2(0)f1
20、(2)+f2(1)f1(1)+f2(2)f1(0),三、不进位乘法求卷积,方法：,将两序列样值以各自k的最高值按右端对齐，,然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最后,把同一列上的乘积值按对位求和。,对有限长序列，卷积和的计算用：不进位乘法,举例,不进位乘法求卷积和,例 f1(k)=1，2，3，4 k=0 f2(k)=4，5，6 k=0,1，2，3，4,5，6，7,解,7，14，21，28,6，12,18,24,5,10，15,20,+,5,16,34,52,45，28,求f(k)=f1(k)*f2(k),f(k)=5，16，34，52，45，28k=0,四、卷积和的性质,1.满足乘法的三律：(1
21、)交换律,(2)分配律,(3)结合律.,2.f(k)*(k)=f(k)，f(k)*(k k0)=f(k k0),3.f(k)*(k)=,4.f1(k k1)*f2(k k2)=f(k k1 k2),5.f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k),举例,f1(t)*f2(t)=f(t),性质求卷积和,例1 复合系统中h1(k)=(k)，h2(k)=(k 5)，求复合系统的单位序列响应h(k)。,解 根据h(k)的定义，有,h(k)=(k)*h1(k)(k)*h2(k)*h1(k)=h1(k)h2(k)*h1(k),=h1(k)*h1(k)h2(k)*h1(k)=(k)
22、*(k)(k 5)*(k)=(k+1)(k)(k+1 5)(k 5)=(k+1)(k)(k 4)(k 5),(k)*(k)=(k+1)(k),3.4一、反卷积,对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易写出：,在y(k)=f(k)*h(k)中，若已知y(k)，h(k)，如何求f(k)（信号恢复）；如血压计传感器。若已知y(k)，f(k)，如何求h(k)（系统辩识）；如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘探等问题。这两类问题都是求反卷积的问题。,写成矩阵形式,目的反求f(k),同理,二举例,解：（1）求h(k),（2）,即,系统框图,以上两式相减得,三、应用实例,雷达探测系统,4.0 引言
23、,第四章 傅里叶变换和系统的 频域分析,时域分析:以冲激函数为基本信号，任意输入信号,本章:将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，,可分解为一系列冲激函数之和,即,而任意信号作用下的零状态响应yzs(t),yzs(t)=h(t)*f(t),任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦,信或虚指数信号之和。,用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。,变换域分析,1.学习3种变换域：频域、复频域、z变换,频域：傅里叶表变换，t；对象连续信号,复频域：拉普拉斯变换，ts；对象连续信号,z域：z变换，kz；对象离散序列,变换域分析,是信号内在的频率特性,2.频域分析：t,时间特性与其频率特性之间关系,信号的频谱、带宽等重要概念,傅里叶变换发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。,泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。,进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。,在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。,“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,
