1、向量法搞定立体几何一、基础知识 2.法向量的求法 法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。求法向量的步骤：（1） 设此面的法向量为（x，y，z）（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：（x1，y1，z1）, （x2，y2，z2）则有：（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求
2、解。（1）面OAC的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于x轴，所以可以直接设法向量为（x，0，0），其中x可以随便赋值。（2）面OAB的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y轴，所以可以直接设法向量为（0，y，0），其中y可以随便赋值。（3）面OBC的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z），其中z可以随便赋值（图1）例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC，OB垂直OC，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC的法向量？ 解：设ABC的法向量为，A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0）则： ，解得：x=z；y=x；令x=1
3、，则有y=z=1；则（1，1，1）为面ABC得法向量。二、学会建立坐标系1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴） 比如例二：2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.（）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（）设AA1=AC=求二面角A1ADC1的大小. （此图为建立完坐标系的图形
4、）一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为Z轴2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X轴和Y轴三、用向量法求解1.点与点的距离2.点到直线的距离（1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x0，y0）到此直线的距离为： （2）用面积法求解（原理：面积相等） 图解：求A到BC的距离3.点到面的距离 （1）用体积法求解（原理：体积相等。适用于体积和面积比较好求的立体）如前面的例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC，OB垂直OC，且 OA=OB=OC=1，如图所示，求点O到面ABC的距离？ 解：根据体积相等，设点O到面ABC的距离为d，AD为BC边的高：则有（2）用向量法求解如图：求P到
5、面ABCD的距离，设面ABCD的法向量为，O为P在面上的投影点，OP即为P到面ABCD的距离。A.的方向向上时O为点P在面ABCD 上的投影点，故OP便是点P到面ABCD的距离，则B. 的方向向下时O为点P在面ABCD 上的投影点，故OP便是点P到面ABCD的距离，则综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A与P构成向量），则不论的方向如何，其点到面的距离为：4.线与线的夹角因为线与线的夹角在0，90，所以其余弦值必为正值如果算的cos为负值，可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。（或者如果是在做小题无需写步骤，可直接用 ）5.
6、线与面的夹角因为线与面的夹角在（0，90，所以其的正余弦值必为正值A.法向量向上时(所求的角)+=90sin=cosB.法向量向下时=(所求的角)+ 90sin=sin（-90）=-cos0综上总结：不论怎么定法向量，都有 。6.面与面的夹角这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。请观察下面两个图：正面 正面反面反面为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向量所成
7、的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进还是出，由Z的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么Z为正值；反之，如果设出的方向为斜下方，那么Z为负值）。需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正面进出），这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。反面正面就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上图所示）。四.补充1如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可4. 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可五.应用实例：现已2008年全国卷为例：如图，正四棱柱中，,点E在上且.()证明：平面;()求二面角的大小.()以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，（解释：第一问已经证明平面，所以可以把作为平面的法向量，的Z值是负值，可以看出是射入的，则面的法向量应该是射出的，可以明显看出射出的法向量是向下延伸的，所以取Z为负值）令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分 希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！- 6 -用心 爱心 专心
